نمونه سوال ریاضی دهم با جواب

در تعریف دنباله، پشت‌سرهم قرارگرفتن عددها مطرح است و لازم نیست میان جمله‌ها الگوی مشخصی وجود داشته باشد. همچنین در نماد $t_n$، اندیس جایگاه جمله را مشخص می‌کند، نه مقدار آن را. متغیرهای اندیس‌دار نیز فقط از نظر شیوهٔ نام‌گذاری با متغیرهای تک‌حرفی تفاوت دارند. بنابراین فقط عبارت نخست درست است. (صفحه‌های ۱۴، ۱۵، ۱۸ و ۱۹) پاسخ: گزینهٔ ۱

مجموعهٔ داده‌شده برابر $A=\{2,3,4,\ldots\}$ است. اگر مرجع $\mathbb{Z}$ باشد، متمم آن $\{\ldots,-2,-1,0,1\}$ خواهد بود که نامتناهی است. اگر مرجع $\mathbb{W}$ باشد، متمم به $\{0,1\}$ محدود می‌شود و دو عضو دارد. این تفاوت به وابستگی متمم به مجموعهٔ مرجع مربوط است. (صفحه‌های ۲، ۵، ۶ و ۸) پاسخ: گزینهٔ ۳

در دایرهٔ مثلثاتی، شعاع برابر یک است و نسبت‌های سینوس و کسینوس زاویه، به‌ترتیب با عرض و طول نقطهٔ انتهایی آن برابرند؛ بنابراین $\sin\theta=y$ و $\cos\theta=x$. همچنین برای مؤلفه‌های ناصفر، $\tan\theta=\frac{y}{x}$ و $\cot\theta=\frac{x}{y}$ است. پس تنها رابطه‌های گزینهٔ نخست همواره درست‌اند. (صفحه‌های ۳۶ و ۳۷)
پاسخ: گزینهٔ ۱

چون $P(x,y)$ روی دایره‌ای با مرکز مبدأ و شعاع واحد است، با استفاده از فیثاغورس داریم $x^2+y^2=1$. از $y=2x$ نتیجه می‌شود $5x^2=1$. نقطه در ربع سوم است؛ بنابراین $x=-\frac{1}{\sqrt{5}}$ و $y=-\frac{2}{\sqrt{5}}$. اکنون $\sin\theta+\cos\theta=y+x=-\frac{3}{\sqrt{5}}=-\frac{3\sqrt{5}}{5}$. (صفحه‌های ۳۱، ۳۶ و ۳۸)
پاسخ: گزینهٔ ۳

عدد مثبت در مرتبهٔ زوج دو ریشهٔ حقیقی قرینه دارد، ولی عدد منفی در مرتبهٔ فرد فقط یک ریشهٔ حقیقی دارد (صفحهٔ ۵۴). بنابراین از $x^4=81$ داریم $x=3$ یا $x=-3$ و از $y^3=-8$ داریم $y=-2$. زوج‌های مرتب ممکن عبارت‌اند از $(3,-2)$ و $(-3,-2)$؛ پس تعداد آن‌ها برابر $2$ است. پاسخ: گزینهٔ ۱

طبق تعریف توان گویا و نمای منفی، داریم $27^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{27})^2=9$ و $16^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{(\sqrt[4]{16})^3}=\frac{1}{8}$. همچنین $9^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$ است (صفحه‌های ۵۹ و ۶۰). در نتیجه مقدار عبارت برابر است با $\frac{9\times\frac{1}{8}}{\frac{1}{3}}=\frac{9}{8}\times3=\frac{27}{8}$. پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق ویژگی حاصل‌ضرب صفر، اگر حاصل‌ضرب دو عبارت برابر صفر باشد، دست‌کم یکی از آنها صفر است. ممکن است هر دو نیز صفر باشند، اما این اتفاق الزامی نیست. همچنین دربارهٔ مجموع آنها نمی‌توان حکم قطعی داد. (صفحهٔ ۷۱) پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا معادله را بر $3$ تقسیم می‌کنیم: $x^2-4x+\frac{5}{3}=0$. بنابراین $x^2-4x=-\frac{5}{3}$. برای مربع کامل شدن سمت چپ، به دو طرف $4$ اضافه می‌کنیم: $(x-2)^2=4-\frac{5}{3}=\frac{7}{3}$. (صفحه‌های ۷۳ و ۷۴) پاسخ: گزینهٔ ۴

در تابع از $A$ به $B$، برای هر عضو $A$ باید دقیقاً یک خروجی تعیین شود؛ اما مشترک‌بودن خروجی چند ورودی ممنوع نیست (صفحهٔ ۹۷). همچنین برد می‌تواند فقط بخشی از مجموعهٔ مقصد باشد (صفحهٔ ۱۰۱). بنابراین متفاوت‌بودن همهٔ خروجی‌ها یا استفاده‌شدن از همهٔ اعضای $B$ ضروری نیست، ولی هیچ عضو $A$ نمی‌تواند بدون خروجی بماند. پاسخ: گزینهٔ ۱

برای ساختن تابع، هر عضو دامنه باید دقیقاً یک خروجی داشته باشد (صفحهٔ ۹۷) و برد شامل خروجی‌هایی است که واقعاً به کار رفته‌اند (صفحهٔ ۱۰۱). از مجموعهٔ سه‌عضوی $B$، می‌توان به $3$ روش دو عضو برای برد انتخاب کرد. برای هر جفت انتخاب‌شده، هرکدام از سه عضو دامنه دو انتخاب دارد؛ پس $2\times2\times2=8$ تخصیص داریم. دو تخصیص، همهٔ ورودی‌ها را به تنها یکی از دو خروجی می‌فرستند و باید حذف شوند. بنابراین تعداد مطلوب برابر است با $3(8-2)=18$. پاسخ: گزینهٔ ۲

برای کلیپ، انتخاب قالب و موسیقی دو مرحلهٔ ضروری‌اند؛ بنابراین طبق اصل ضرب، $3\times2=6$ کلیپ ممکن است. پوستر و کلیپ دو انتخاب جایگزین هستند؛ پس طبق اصل جمع، تعداد انتخاب‌ها برابر است با $4+6=10$ (صفحه‌های ۱۲۰ تا ۱۲۲). پاسخ: گزینهٔ ۱

کارت‌های «الف» و «ب» به‌ترتیب در ابتدا و انتهای ردیف ثابت‌اند. بنابراین چهار کارت متمایز دیگر باید در چهار جایگاه میانی چیده شوند. تعداد این چیدمان‌ها برابر با $4!$ است (صفحه‌های ۱۲۸ و ۱۳۰). پاسخ: گزینهٔ ۳

در تعریف کتاب، دو نکته هم‌زمان مطرح است: نتیجهٔ یک بار اجرای آزمایش از پیش قطعی نیست، اما حالت‌هایی که ممکن است رخ دهند، شناخته شده‌اند. همچنین، تعریف آزمایش تصادفی به هم‌شانس بودن نتیجه‌ها وابسته نیست (صفحهٔ ۱۴۲). پاسخ: گزینهٔ ۲

با استفاده از رابطهٔ اجتماع داریم: $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=\frac{3}{5}+\frac{1}{2}-\frac{4}{5}=\frac{3}{10}$. پیشامد «دقیقاً یکی» از حذف اشتراک از اجتماع حاصل می‌شود؛ بنابراین احتمال آن برابر است با $\frac{4}{5}-\frac{3}{10}=\frac{1}{2}$ (صفحه‌های ۱۴۷ و ۱۴۸). پاسخ: گزینهٔ ۴