نمونه سوال فصل ۳ ریاضی دهم با جواب

عدد مثبت در مرتبهٔ زوج دو ریشهٔ حقیقی قرینه دارد، ولی عدد منفی در مرتبهٔ فرد فقط یک ریشهٔ حقیقی دارد (صفحهٔ ۵۴). بنابراین از $x^4=81$ داریم $x=3$ یا $x=-3$ و از $y^3=-8$ داریم $y=-2$. زوج‌های مرتب ممکن عبارت‌اند از $(3,-2)$ و $(-3,-2)$؛ پس تعداد آن‌ها برابر $2$ است. پاسخ: گزینهٔ ۱

طبق تعریف توان گویا و نمای منفی، داریم $27^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{27})^2=9$ و $16^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{(\sqrt[4]{16})^3}=\frac{1}{8}$. همچنین $9^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$ است (صفحه‌های ۵۹ و ۶۰). در نتیجه مقدار عبارت برابر است با $\frac{9\times\frac{1}{8}}{\frac{1}{3}}=\frac{9}{8}\times3=\frac{27}{8}$. پاسخ: گزینهٔ ۲

در الگوی رشد مطرح‌شده در کتاب، عامل رشد پس از $t$ ساعت برابر $2^t$ است (صفحهٔ ۵۹). با جرم اولیهٔ $3\,\mathrm{g}$، جرم در زمان $\frac{1}{3}\,\mathrm{h}$ برابر $3\times2^{\frac{1}{3}}=3\sqrt[3]{2}\,\mathrm{g}$ است. جرم در زمان $\frac{4}{3}\,\mathrm{h}$ نیز برابر $3\times2^{\frac{4}{3}}=6\sqrt[3]{2}\,\mathrm{g}$ می‌شود؛ در این محاسبه از تعریف توان گویا استفاده شده است (صفحهٔ ۶۰). بنابراین افزایش جرم برابر $6\sqrt[3]{2}-3\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}\,\mathrm{g}$ است. پاسخ: گزینهٔ ۳

با دسته‌بندی مناسب جمله‌ها و سپس استفاده از اتحاد مزدوج داریم: $x^3+2x^2-9x-18=x^2(x+2)-9(x+2)=(x+2)(x^2-9)=(x+2)(x-3)(x+3)$ (صفحهٔ ۶۳). بنابراین سه عبارت نخست عامل چندجمله‌ای هستند. برای اطمینان از عامل‌نبودن $x-2$، اگر این عبارت عامل بود، مقدار چندجمله‌ای در $x=2$ صفر می‌شد؛ درحالی‌که این مقدار $8+8-18-18=-20$ است. پاسخ: گزینهٔ ۴

با اتحاد تفاضل مکعب‌ها، $x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$ است (صفحهٔ ۶۴). از اتحاد مربع تفاضل نیز داریم $x^2-6x+9=(x-3)^2$ (صفحهٔ ۶۳). مخرج عبارت اولیه در $x=3$ صفر می‌شود؛ پس این مقدار مجاز نیست (صفحهٔ ۶۵). برای $x\ne3$، با حذف یک عامل مشترک به $\frac{x^2+3x+9}{x-3}$ می‌رسیم. پاسخ: گزینهٔ ۱

قرار می‌دهیم $u=\sqrt[3]{5}$ و $v=\sqrt[3]{2}$. با استفاده از اتحاد تفاضل مکعب‌ها و روش گویاکردن مخرجِ شامل ریشهٔ سوم، داریم $\frac{u+v}{u-v}=\frac{(u+v)(u^2+uv+v^2)}{u^3-v^3}$ (صفحه‌های ۶۴ تا ۶۶). مخرج برابر $5-2=3$ است. صورت نیز برابر $u^3+2u^2v+2uv^2+v^3=7+2\sqrt[3]{50}+2\sqrt[3]{20}$ می‌شود. بنابراین حاصل برابر $\frac{7+2\sqrt[3]{50}+2\sqrt[3]{20}}{3}$ است. پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر $s=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ باشد، آنگاه $a=s^{\frac{2}{3}}$ و در نتیجه $a^3=s^2$ است (صفحه‌های ۵۹ و ۶۰). از اتحاد مزدوج داریم $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1$؛ بنابراین $s^{-1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ (صفحه‌های ۶۵ و ۶۶). پس $a^{-3}=s^{-2}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$. اکنون با اتحاد مربع مجموع و تفاضل به‌دست می‌آوریم: $a^3+a^{-3}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=2(3+2)=10$ (صفحهٔ ۶۳). پاسخ: گزینهٔ ۳

قرار می‌دهیم $t=x^{\frac{1}{3}}$. طبق تعریف توان گویا، $x=t^3$ و از $x>1$ نتیجه می‌شود $t>1$. همچنین شرط داده‌شده به $t+\frac{1}{t}=3$ تبدیل می‌شود (صفحه‌های ۵۹ و ۶۰). با تجزیهٔ تفاضل مکعب‌ها داریم $\frac{1}{t-1}-\frac{3}{t^3-1}=\frac{t^2+t+1-3}{(t-1)(t^2+t+1)}$. صورت برابر $t^2+t-2=(t-1)(t+2)$ است؛ پس چون $t\ne1$، عبارت به $\frac{t+2}{t^2+t+1}$ تبدیل می‌شود (صفحه‌های ۶۳ و ۶۴). از شرط مسئله، $t^2+1=3t$؛ بنابراین حاصل برابر $\frac{t+2}{4t}=\frac{1+\frac{2}{t}}{4}$ است. با اتحاد مربع مجموع و تفاضل داریم $(t-\frac{1}{t})^2=(t+\frac{1}{t})^2-4=5$. چون $t>1$، تفاضل مثبت است و $t-\frac{1}{t}=\sqrt{5}$. با کم‌کردن این رابطه از رابطهٔ مجموع، $\frac{2}{t}=3-\sqrt{5}$ به‌دست می‌آید (صفحهٔ ۶۳). در نتیجه مقدار خواسته‌شده $\frac{1+3-\sqrt{5}}{4}=\frac{4-\sqrt{5}}{4}$ است. پاسخ: گزینهٔ ۴

می‌گذاریم $t=-a$؛ پس $0<t<1$. برای عددی در این فاصله، کاهش نمای مثبت موجب افزایش مقدار توان می‌شود؛ بنابراین $t<t^{\frac{1}{3}}<t^{\frac{1}{5}}$. ریشه‌های فردِ عدد منفی، منفیِ ریشه‌های متناظرِ قدرمطلق آن هستند. با منفی‌کردن نامساوی و برعکس‌شدن جهت آن، داریم $-t^{\frac{1}{5}}<-t^{\frac{1}{3}}<-t$؛ یعنی $\sqrt[5]{a}<\sqrt[3]{a}<a$. این نتیجه با ویژگی ریشه‌های فرد و مقایسهٔ ریشهٔ سوم با خود عدد سازگار است (صفحه‌های ۵۱ تا ۵۳). پاسخ: گزینهٔ ۲

بر اساس تبدیل رادیکال به توان کسری و قاعدهٔ توانِ توان (صفحهٔ ۶۱)، داریم $\sqrt[n]{\sqrt[3]{32}}=((2^5)^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{n}}=2^{\frac{5}{3n}}$. بنابراین باید $\frac{5}{3n}=\frac{1}{6}$ باشد. با ضرب طرفین در $6n$، به $10=n$ می‌رسیم. پاسخ: گزینهٔ ۴

چون تساوی برای همهٔ مقدارهای حقیقی $x$ برقرار است، ضرایب توان‌های هم‌درجه در دو طرف برابرند. با اتحاد مکعب تفاضل (صفحه‌های ۶۲ و ۶۳)، داریم $(2x-3)^3=(2x)^3-3(2x)^2(3)+3(2x)(3^2)-3^3=8x^3-36x^2+54x-27$. پس $p=-36$ و $q=54$ و در نتیجه $p+q=-36+54=18$. پاسخ: گزینهٔ ۱

با استفاده از اتحاد مزدوج و اتحادهای مربع مجموع و تفاضل (صفحهٔ ۶۲ و صفحه‌های ۶۵ و ۶۶)، ابتدا مقدار داخل پرانتز را محاسبه می‌کنیم: $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2+(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{7-3}$. صورت برابر $(10+2\sqrt{21})+(10-2\sqrt{21})=20$ و مخرج برابر $4$ است؛ پس مقدار داخل پرانتز $5$ می‌شود. در نتیجه مقدار عبارت خواسته‌شده $5^2=25$ است. پاسخ: گزینهٔ ۳