سوالات فیزیک کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

۱. نکتهٔ اصلی پرسش، اندازه‌گیری دما «بدون تماس با جسم» است؛ بنابراین باید دماسنجی را پیدا کنیم که برای تعیین دما به هم‌دماشدن حسگر خود با جسم وابسته نباشد.

۲. طبق کتاب، تابش گرمایی اجسام می‌تواند مبنای اندازه‌گیری دمای آن‌ها باشد. به این روش «تفسنجی» و به ابزار آن «تفسنج» می‌گویند. تفسنج با دریافت تابش گرمایی جسم، دمای آن را بدون تماس اندازه می‌گیرد (فیزیک ۱، صفحه‌های ۱۱۶–۱۱۷).

۳. در مقابل، دماسنج جیوه‌ای از تغییر ارتفاع ستون مایع استفاده می‌کند (فیزیک ۱، صفحهٔ ۸۴). ترموکوپل و دماسنج مقاومت پلاتینی نیز برای تعیین دمای جسم به تماس گرمایی حسگر با آن نیاز دارند؛ الکتریکی‌بودن سازوکارشان به معنای غیرتماسی‌بودن آن‌ها نیست.

پس ابزار موردنظر، تفسنج است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: رابطهٔ انرژی فوتون را می‌نویسیم:
$E=hf=\frac{hc}{\lambda}$
در این رابطه، $h$ ثابت پلانک و $c$ سرعت نور در خلأ است؛ پس انرژی فوتون با طول موج آن نسبت وارون دارد (فیزیک ۳، صفحهٔ ۹۸).

گام دوم: طول موج‌های فوتون اول و دوم را به‌ترتیب $\lambda_1=400\,\mathrm{nm}$ و $\lambda_2=600\,\mathrm{nm}$ می‌گیریم. نسبت خواسته‌شده برابر است با:
$\frac{E_1}{E_2}=\frac{hc/\lambda_1}{hc/\lambda_2}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$

گام سوم: چون طول موج‌ها هم‌یکا هستند، مستقیماً جای‌گذاری می‌کنیم:
$\frac{E_1}{E_2}=\frac{600\,\mathrm{nm}}{400\,\mathrm{nm}}=\frac{3}{2}=1.50$
این نسبت بدون یکاست. همچنین بزرگ‌تر بودن آن از یک منطقی است، زیرا فوتون اول طول موج کوتاه‌تر و در نتیجه انرژی بیشتری دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول ــ تشخیص حالت مسئله: چشمهٔ صوت ساکن است و فقط شنونده حرکت می‌کند؛ پس باید حالت «چشمهٔ ساکن و ناظر متحرک» را بررسی کنیم، نه حالت حرکت چشمه (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷۵–۷۶).

گام دوم ــ بررسی بسامد شنیده‌شده: شنونده هنگام دورشدن از چشمه، در مقایسه با حالت سکون، در مدت زمانی یکسان با جبهه‌های موج کمتری برخورد می‌کند. چون بسامد شنیده‌شده به تعداد این برخوردها در واحد زمان مربوط است، بسامد کاهش می‌یابد (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷۵–۷۶).

گام سوم ــ بررسی طول موج: طول موج، فاصلهٔ دو جبههٔ موج متوالی است. چشمه ساکن است و حرکت شنونده فاصلهٔ جبهه‌های ایجادشده در محیط را تغییر نمی‌دهد؛ بنابراین طول موج ثابت می‌ماند. تغییر فاصلهٔ جبهه‌ها در جلو و عقب چشمه، مربوط به حرکت خودِ چشمه است و نباید به این مسئله تعمیم داده شود (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷۵).

پس بسامد شنیده‌شده کاهش می‌یابد، ولی طول موج ثابت می‌ماند.

پاسخ: گزینهٔ ۱

طبق کتاب، مساحت علامت‌دار بین نمودار سرعت ـ زمان و محور زمان، جابه‌جایی متحرک را می‌دهد (فیزیک ۳، صفحهٔ ۲۰–۲۱). در این سؤال سرعت در تمام بازه نامنفی است و جهت حرکت عوض نمی‌شود؛ بنابراین مسافت پیموده‌شده نیز برابر مساحت زیر نمودار است.

۱. یکسان‌سازی یکاها
چون سرعت برحسب کیلومتر بر ساعت داده شده است، زمان‌ها را به ساعت تبدیل می‌کنیم:
$1\,\mathrm{min}=\frac{1}{60}\,\mathrm{h}$

۲. مسافت در بخش افزایشی سرعت
از $t=0$ تا $t=4\,\mathrm{min}$، سطح زیر نمودار یک مثلث است:
$s_1=\frac{1}{2}\times\frac{4}{60}\,\mathrm{h}\times60\,\mathrm{km/h}=2\,\mathrm{km}$

۳. مسافت در بخش سرعت ثابت
از $t=4\,\mathrm{min}$ تا $t=12\,\mathrm{min}$، سطح زیر نمودار یک مستطیل است:
$s_2=\frac{12-4}{60}\,\mathrm{h}\times60\,\mathrm{km/h}=8\,\mathrm{km}$

۴. مسافت در بخش پایانی تا زمان خواسته‌شده
سرعت از $t=12\,\mathrm{min}$ تا $t=14\,\mathrm{min}$ به‌صورت خطی از $60\,\mathrm{km/h}$ به صفر می‌رسد. بنابراین در میانهٔ این بازه، یعنی $t=13\,\mathrm{min}$، داریم:
$v_{13}=30\,\mathrm{km/h}$

پس سطح زیر نمودار از $t=12\,\mathrm{min}$ تا $t=13\,\mathrm{min}$ یک ذوزنقه است، نه مثلث:
$s_3=\frac{60+30}{2}\,\mathrm{km/h}\times\frac{13-12}{60}\,\mathrm{h}=0.75\,\mathrm{km}$

۵. جمع مسافت‌ها
$s=s_1+s_2+s_3=2+8+0.75=10.75\,\mathrm{km}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. تشخیص رابطهٔ مسافت و جابه‌جایی
متحرک از حال سکون با شتاب ثابت شروع به حرکت می‌کند؛ بنابراین پس از شروع حرکت، علامت سرعت ثابت می‌ماند و تغییر جهت رخ نمی‌دهد. پس مسافت طی‌شده برابر بزرگی جابه‌جایی است. ارتباط تغییر جهت با تغییر علامت سرعت در مثال کتاب بررسی شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹).

۲. محاسبهٔ بزرگی شتاب
معادلهٔ مکان ــ زمان در حرکت با شتاب ثابت عبارت است از (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۶–۱۷):
$x-x_0=v_0t+\frac{1}{2}at^2$
چون $v_0=0$ و تغییر جهت نداریم، مسافت از شروع حرکت تا زمان $t$ برابر است با:
$s=\frac{1}{2}|a|t^2$
داده‌های کل حرکت را جای‌گذاری می‌کنیم:
$216=\frac{1}{2}|a|\times 12^2$
پس:
$|a|=3\,\mathrm{m/s^2}$

۳. یافتن بازهٔ زمانی موردنظر
مسافت در بازهٔ $t_a$ تا $t_b$ از تفاضل مسافت‌های طی‌شده از آغاز حرکت به دست می‌آید:
$s_{ab}=\frac{1}{2}|a|(t_b^2-t_a^2)$
نکتهٔ مهم این است که نباید فقط طول بازه را به‌جای $t$ در رابطهٔ مسافت از سکون گذاشت؛ زیرا متحرک در ابتدای بازه‌های گزینه‌ها ساکن نیست.

همهٔ بازه‌های پیشنهادی دارای مدت $t_b-t_a=2\,\mathrm{s}$ هستند. بنابراین:
$36\,\mathrm{m}=\frac{1}{2}(3\,\mathrm{m/s^2})(2\,\mathrm{s})(t_b+t_a)$
در نتیجه:
$t_b+t_a=12\,\mathrm{s}$
با داشتن مجموع و تفاضل زمان‌ها، به دست می‌آید:
$t_a=5\,\mathrm{s},\qquad t_b=7\,\mathrm{s}$
برای بررسی مستقیم:
$s_{ab}=\frac{3}{2}(7^2-5^2)=36\,\mathrm{m}$
پس بازهٔ به‌دست‌آمده همان مسافت خواسته‌شده را دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. نیروی سطح را درست شناسایی می‌کنیم.
نیروی تماس سطح با جسم، برآیند نیروی عمودی سطح و اصطکاک جنبشی است؛ بنابراین اگر آن را با $\vec R$ نشان دهیم، داریم:
$\vec R=\vec F_N+\vec f_k$
نیروی عمودی سطح رو به بالا و اصطکاک، خلاف حرکت جسم، رو به چپ است. این دو، مؤلفه‌های نیروی تماس سطح‌اند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۸).

۲. وضعیت اولیه را بررسی می‌کنیم.
چون جسم با سرعت ثابت حرکت می‌کند، شتاب آن صفر است و طبق قانون دوم نیوتون، نیروها در هر راستا متوازن‌اند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۰). در راستای افقی:
$F_1-f_k=0\quad\Rightarrow\quad f_k=48\,\mathrm{N}$
در راستای قائم نیز:
$F_N+F_2-mg=0\quad\Rightarrow\quad F_N=mg-16\,\mathrm{N}$
پس نیروی عمودی سطح لزوماً برابر وزن نیست و باید اثر نیروی قائم خارجی را هم حساب کرد (فیزیک ۳، صفحه‌های ۳۵–۳۶).

۳. اثر افزایش نیروی قائم را پیدا می‌کنیم.
پس از افزایش داده‌شده، نیروی قائم خارجی برابر است با:
$F'_2=32\,\mathrm{N}$
جسم همچنان با سطح تماس دارد و شتاب قائم ندارد؛ پس:
$F'_N=mg-32\,\mathrm{N}=F_N-16\,\mathrm{N}$
بنابراین نیروی عمودی سطح کاهش می‌یابد. چون جسم در حال لغزش است، رابطهٔ اصطکاک جنبشی در دو حالت چنین است:
$f_k=\mu_k F_N,\qquad f'_k=\mu_k F'_N$
ضریب اصطکاک ثابت است؛ در نتیجه اصطکاک نیز به همان نسبت نیروی عمودی سطح کاهش می‌یابد. توجه کنید که پس از تغییر نیرو، دیگر نباید حرکت را با سرعت ثابت فرض کنیم.

۴. بزرگی و جهت نیروی سطح را مقایسه می‌کنیم.
بزرگی نیروی سطح از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
$R=\sqrt{F_N^2+f_k^2}=F_N\sqrt{1+\mu_k^2}$
پس با کاهش نیروی عمودی سطح، بزرگی نیروی سطح نیز کاهش می‌یابد.
اما نسبت مؤلفه‌های آن ثابت می‌ماند:
$\dfrac{f'_k}{F'_N}=\dfrac{f_k}{F_N}=\mu_k$
بنابراین جهت نیروی سطح تغییر نمی‌کند. چون جهت نیروی افقی خارجی نیز ثابت است، زاویهٔ نیروی سطح با $\vec F_1$ ثابت می‌ماند.

پاسخ: گزینهٔ ۴

وزن جسم در سطح یک سیاره، همان نیروی گرانشی وارد بر جسم است و از رابطهٔ $W=G\frac{Mm}{R^2}$ به دست می‌آید؛ در این رابطه، $M$ جرم سیاره، $R$ شعاع آن و $m$ جرم جسم است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۹).

جرم و شعاع زمین را با $M_e$ و $R_e$ و جرم و شعاع سیاره را با $M_p$ و $R_p$ نشان می‌دهیم. طبق داده‌های سؤال داریم:
$M_p=2M_e$ و $R_p=2R_e$.

جرم هر دو جسم برابر با $m=1\,\mathrm{kg}$ است؛ بنابراین با نسبت‌گیری، جرم جسم و ثابت گرانش حذف می‌شوند:
$\frac{W_p}{W_e}=\frac{GM_pm/R_p^2}{GM_em/R_e^2}=\frac{M_p}{M_e}\left(\frac{R_e}{R_p}\right)^2$.

اکنون داده‌ها را جای‌گذاری می‌کنیم:
$\frac{W_p}{W_e}=2\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

پس وزن جسم روی این سیاره نصف وزن آن روی زمین است. نکتهٔ مهم این است که دو برابر شدن جرم سیاره، وزن را دو برابر می‌کند، اما دو برابر شدن شعاع، آن را به یک‌چهارم کاهش می‌دهد؛ حاصل این دو اثر، نصف شدن وزن است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. تبدیل یکاها

داده‌های مسئله در یکاهای SI عبارت‌اند از:

$m=2.0\,\mathrm{kg}$

$k=2.0\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{cm}}=200\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$

$A=8.0\,\mathrm{cm}=0.08\,\mathrm{m}$

$v=40\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=0.40\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

۲. محاسبهٔ انرژی مکانیکی

با چشم‌پوشی از نیروهای اتلافی، انرژی مکانیکی نوسانگر ثابت است و از رابطهٔ $E=\tfrac{1}{2}kA^2$ به دست می‌آید (فیزیک ۳، صفحه‌های ۵۸–۵۹):

$E=\frac{1}{2}\times200\times(0.08)^2=0.64\,\mathrm{J}$

۳. محاسبهٔ انرژی جنبشی در لحظهٔ موردنظر

$K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\times2\times(0.40)^2=0.16\,\mathrm{J}$

۴. محاسبهٔ انرژی پتانسیل کشسانی

طبق رابطهٔ $E=K+U$، بخشی از انرژی مکانیکی که جنبشی نیست، به‌صورت انرژی پتانسیل کشسانی ذخیره شده است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۵۸–۵۹). بنابراین:

$U=E-K=0.64-0.16=0.48\,\mathrm{J}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. رابطهٔ تندی بیشینه را می‌نویسیم. در حرکت هماهنگ ساده، تندی هنگام عبور از نقطهٔ تعادل بیشینه می‌شود و برابر است با:
$v_{\max}=A\omega$
این رابطه در مثال تندی بیشینهٔ نوسانگر آمده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۸–۵۹).

۲. بسامد زاویه‌ای را برحسب دوره جای‌گذاری می‌کنیم. طبق رابطهٔ $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$ (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۶)، داریم:
$v_{\max}=\dfrac{2\pi A}{T}\quad\Rightarrow\quad T=\dfrac{2\pi A}{v_{\max}}$

۳. داده‌ها را با یکاهای سازگار می‌نویسیم. دامنه باید به متر تبدیل شود و تندی داده‌شده نیز برابر با عدد اعشاری زیر است:
$A=7\,\mathrm{mm}=7\times10^{-3}\,\mathrm{m}$
$v_{\max}=4.4\,\mathrm{m/s}$
بنابراین:
$T=\dfrac{2\times\frac{22}{7}\times7\times10^{-3}}{4.4}\,\mathrm{s}=\dfrac{44\times10^{-3}}{4.4}\,\mathrm{s}=0.01\,\mathrm{s}$
پس دورهٔ تناوب برابر با یک صدم ثانیه است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

برای بررسی سه کمیت، باید اثر چشمه و ویژگی‌های ریسمان را جدا کنیم.

۱. تندی موج: تندی انتشار موج عرضی در ریسمان از رابطۀ $v=\sqrt{F/\mu}$ به دست می‌آید که در آن $F$ نیروی کشش و $\mu$ چگالی خطی جرم ریسمان است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۶۵). در این مسئله، چگالی خطی ریسمان ثابت در نظر گرفته می‌شود؛ بنابراین با افزایش کشش، تندی موج افزایش می‌یابد.

۲. دورۀ تناوب موج: بسامد نوسان اجزای محیط با بسامد چشمه برابر است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۶۱–۶۲). چون فقط کشش ریسمان تغییر کرده و بسامد نوسان‌ساز تغییر نکرده است، بسامد موج ثابت می‌ماند. در نتیجه، طبق رابطۀ $T=1/f$، دورۀ تناوب موج نیز ثابت می‌ماند.

۳. طول موج: موج در مدت یک دورۀ تناوب به اندازۀ یک طول موج پیشروی می‌کند؛ پس $v=\lambda/T$ یا $\lambda=vT$ است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۶۵). چون تندی افزایش یافته و دوره ثابت مانده است، طول موج افزایش می‌یابد.

بنابراین به‌ترتیب، تندی موج افزایش می‌یابد، دورۀ تناوب ثابت می‌ماند و طول موج افزایش می‌یابد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

برای شمارش فوتون‌ها، انرژی کل نور خروجی در بازۀ زمانی موردنظر را بر انرژی هر فوتون تقسیم می‌کنیم؛ همین روش در مثال کتاب به کار رفته است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۹۸).

گام اول ـ تبدیل یکاها:
$P=663\,\mathrm{mW}=0.663\,\mathrm{W}$
$\lambda=600\,\mathrm{nm}=600\times10^{-9}\,\mathrm{m}$
$t=1\,\mathrm{min}=60\,\mathrm{s}$

گام دوم ـ محاسبۀ انرژی هر فوتون:
طبق رابطۀ انرژی فوتون داریم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۹۸):
$E_\gamma=hf=\frac{hc}{\lambda}$
پس:
$E_\gamma=\frac{(6.63\times10^{-34})(3\times10^8)}{600\times10^{-9}}=3.315\times10^{-19}\,\mathrm{J}$

گام سوم ـ محاسبۀ انرژی کل خروجی در یک دقیقه:
چون توان داده‌شده، توان نور خروجی است، نیازی به در نظر گرفتن بازده لیزر نداریم. بنابراین:
$E_{\text{کل}}=Pt=(0.663)(60)=39.78\,\mathrm{J}$

گام چهارم ـ محاسبۀ تعداد فوتون‌ها:
$N=\frac{E_{\text{کل}}}{E_\gamma}=\frac{39.78}{3.315\times10^{-19}}=12\times10^{19}=1.2\times10^{20}$

بنابراین در هر دقیقه $1.2\times10^{20}$ فوتون از لیزر گسیل می‌شود؛ این مقدار همان عدد گزینهٔ دوم است که در صورت سؤال با ممیز «/» نوشته شده است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

در رشتهٔ پفوند، همهٔ گذارها به تراز $n'=5$ ختم می‌شوند و رابطهٔ ریدبرگ به صورت زیر است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۰۱–۱۰۲):
$\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{5^2}-\frac{1}{n^2}\right),\qquad n=6,7,8,\ldots$

گام اول: تعیین بلندترین طول‌موج
با افزایش $n$، مقدار $\frac{1}{\lambda}$ افزایش و طول‌موج کاهش می‌یابد. پس بلندترین طول‌موج مربوط به کوچک‌ترین مقدار مجاز عدد کوانتومی آغازین، یعنی $n=6$ است؛ همان روشی که در مثال پفوند کتاب به کار رفته است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۲):
$\frac{1}{\lambda_1}=R\left(\frac{1}{25}-\frac{1}{36}\right)=\frac{11R}{900}$
بنابراین:
$\lambda_1=\frac{900}{11R}$

گام دوم: تعیین کوتاه‌ترین طول‌موج
کوتاه‌ترین طول‌موج در حد $n\to\infty$ به دست می‌آید؛ در این حد، $\frac{1}{n^2}\to0$ است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۲):
$\frac{1}{\lambda_2}=R\left(\frac{1}{25}-0\right)=\frac{R}{25}$
پس:
$\lambda_2=\frac{25}{R}$

گام سوم: محاسبهٔ نسبت
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{900}{11R}\times\frac{R}{25}=\frac{900}{275}=\frac{36}{11}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

نکتهٔ مهم: توضیح شکل با پاسخ تأییدشده سازگار نیست. ابتدا شکلِ توصیف‌شده را حل می‌کنیم و سپس مشخص می‌کنیم گزینهٔ اعلام‌شده با چه اصلاحی درست می‌شود.

۱. نیروهای وارد بر بار موردنظر
طبق اصل برهم‌نهی، نیروی خالص وارد بر هر بار، جمع برداری نیروهای ناشی از بارهای دیگر است (فیزیک ۲، صفحه‌های ۷–۸). نیروی وارد بر $q_2$ از طرف $q_1$ را با $\vec F_{1\to2}$ و از طرف $q_3$ را با $\vec F_{3\to2}$ نشان می‌دهیم:
$\vec F_T=\vec F_{1\to2}+\vec F_{3\to2}$.

در شکل توصیف‌شده، فاصله‌ها عبارت‌اند از:
$r_{12}=3\sqrt2\,\mathrm m,\qquad r_{32}=3\,\mathrm m$.
نیروی $\vec F_{3\to2}$ عمودی است؛ بنابراین مؤلفهٔ افقی نیرو فقط از $q_1$ ناشی می‌شود:
$F_{1\to2,x}=8\times10^{-3}\,\mathrm N$.

۲. تعیین نیروی مایل و نیروی عمودی
خط واصل $q_1$ و $q_2$ با افق زاویهٔ $45^\circ$ می‌سازد. مثبت‌بودن مؤلفهٔ افقی نشان می‌دهد نیروی ناشی از $q_1$ به سمت راست و بالا و از نوع دافعه است. پس:
$F_{1\to2,y}=8\times10^{-3}\,\mathrm N$,
$F_{1\to2}=8\sqrt2\times10^{-3}\,\mathrm N$.
از جمع مؤلفه‌های عمودی داریم:
$F_{3\to2,y}=6\times10^{-3}-8\times10^{-3}=-2\times10^{-3}\,\mathrm N$.
پس نیروی ناشی از $q_3$ رو به پایین و جاذبه است. در نتیجه، $q_1$ و $q_2$ هم‌علامت، ولی $q_3$ و $q_2$ ناهم‌علامت‌اند؛ بنابراین نسبت $q_3/q_1$ منفی است.

۳. نسبت‌گیری با قانون کولن
با استفاده از قانون کولن، مطابق روش مثال‌های کتاب (فیزیک ۲، صفحه‌های ۸–۹)، داریم:
$\frac{F_{3\to2}}{F_{1\to2}}=\frac{|q_3|}{|q_1|}\frac{r_{12}^2}{r_{32}^2}$.
بنابراین:
$\frac{|q_3|}{|q_1|}=\frac{2}{8\sqrt2}\times\frac{9}{18}=\frac{\sqrt2}{16}$.
با لحاظ علامت:
$\boxed{\frac{q_3}{q_1}=-\frac{\sqrt2}{16}}$.
این مقدار در گزینه‌ها نیست؛ پس با توضیح فعلی شکل، هیچ گزینه‌ای درست نیست.

۴. آرایش سازگار با پاسخ تأییدشده
اگر منظور شکل این باشد که $q_2$ در رأس قائمه، $q_1$ در سمت چپ آن و $q_3$ بالای آن قرار دارد و فاصلهٔ هر دو از $q_2$ برابر $3\,\mathrm m$ است، دو نیرو مستقیماً افقی و عمودی خواهند بود؛ درست مانند روش جمع نیروهای عمود بر هم در مثال کتاب (فیزیک ۲، صفحهٔ ۹).
در این صورت:
$F_{1\to2}=8\times10^{-3}\,\mathrm N,\qquad F_{3\to2}=6\times10^{-3}\,\mathrm N$.
نیروی اول دافعه و نیروی دوم جاذبه است؛ پس نسبت بارها منفی است. با برابر بودن فاصله‌ها، قانون کولن می‌دهد:
$\frac{q_3}{q_1}=-\frac{F_{3\to2}}{F_{1\to2}}=-\frac{6}{8}=-\frac34$.
بنابراین پاسخ تأییدشده فقط با این اصلاح در جای بارها معتبر است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای جلوگیری از اشتباه، مقاومت ویژه را با $\rho$، چگالی را با $d$ و سطح مقطع را با $S$ نشان می‌دهیم.

گام اول ـ مقایسۀ سطح مقطع‌ها:
مقاومت الکتریکی رسانا به جنس و ابعاد آن وابسته است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۴۳). رابطۀ مربوط به این عوامل، که در تمرین‌های این بخش نیز به کار می‌رود، به‌صورت $R=\rho L/S$ است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۶۲–۶۳).

با توجه به برابری طول و مقاومت دو میله داریم:
$\frac{R_A}{R_B}=\frac{\rho_A}{\rho_B}\frac{L_A}{L_B}\frac{S_B}{S_A}\quad\Rightarrow\quad 1=2\times1\times\frac{S_B}{S_A}$
پس:
$\frac{S_A}{S_B}=2$
یعنی برای جبران مقاومت ویژۀ بیشترِ میلۀ $A$ و برابر ماندن مقاومت‌ها، سطح مقطع آن باید بزرگ‌تر باشد.

گام دوم ـ مقایسۀ حجم‌ها:
حجم هر میله از رابطۀ $V=SL$ به دست می‌آید. چون طول‌ها برابرند:
$\frac{V_A}{V_B}=\frac{S_A L_A}{S_B L_B}=2$

گام سوم ـ مقایسۀ جرم‌ها:
از تعریف چگالی، $d=m/V$، داریم $m=dV$. بنابراین:
$\frac{m_A}{m_B}=\frac{d_A}{d_B}\frac{V_A}{V_B}=3\times2=6$

پس جرم میلۀ $A$ شش برابر جرم میلۀ $B$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: تعیین مقاومت مجهول

مقاومت معادل داده‌شده، مربوط به مجموعهٔ مقاومت‌های خارجی است؛ مقاومت درونی باتری هنگام محاسبهٔ جریان کل به آن افزوده می‌شود. در مدار اولیه، $R_1$ و $R_2$ موازی‌اند و ترکیب آن‌ها با $R_3$ متوالی است. با استفاده از قواعد ترکیب مقاومت‌ها داریم (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶ و صفحه‌های ۵۸–۵۹):

$R_{eq}=R_3+\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

$9=6+\frac{6R_2}{6+R_2}\quad\Rightarrow\quad R_2=6\,\Omega$

پس مقاومت معادل بخش موازی برابر $3\,\Omega$ است.

گام دوم: توان اولیهٔ مقاومت

با درنظرگرفتن مقاومت درونی باتری، جریان کل مدار برابر است با:

$I=\frac{\varepsilon}{R_{eq}+r}=\frac{20}{9+1}=2\,\mathrm{A}$

چون دو مقاومت موازی برابرند، جریان کل به‌طور مساوی بین آن‌ها تقسیم می‌شود؛ بنابراین:

$I_2=1\,\mathrm{A}$

از رابطهٔ توان مصرفی مقاومت به دست می‌آید:

$P_2=I_2^2R_2=1^2\times6=6\,\mathrm{W}$

گام سوم: بررسی اتصال‌ها پس از جابه‌جایی

باتری همراه با مقاومت درونی‌اش به جای $R_2$ می‌رود و $R_2$ در محل قبلی باتری قرار می‌گیرد. اکنون $R_2$ و $R_3$ در یک شاخه، بدون انشعاب بین آن‌ها، متوالی‌اند و این شاخه با $R_1$ موازی است. معیار متوالی بودن، نبودن انشعاب بین مقاومت‌هاست، نه شکل ظاهری رسم مدار (فیزیک ۲، صفحه‌های ۵۵–۵۶).

بنابراین مقاومت معادل خارجی جدید برابر است با:

$R'_{eq}=\frac{R_1(R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3}=\frac{6\times12}{6+12}=4\,\Omega$

جریان جدید باتری و اختلاف پتانسیل دو سر مجموعهٔ خارجی عبارت‌اند از:

$I'=\frac{\varepsilon}{R'_{eq}+r}=\frac{20}{4+1}=4\,\mathrm{A}$

$V'=I'R'_{eq}=4\times4=16\,\mathrm{V}$

این اختلاف پتانسیل به دو سر شاخهٔ متوالی شامل $R_2$ و $R_3$ نیز اعمال می‌شود. پس جریان عبوری از $R_2$ برابر است با:

$I'_2=\frac{V'}{R_2+R_3}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}\,\mathrm{A}$

گام چهارم: محاسبهٔ تغییر توان

$P'_2=(I'_2)^2R_2=\left(\frac{4}{3}\right)^2\times6=\frac{32}{3}\,\mathrm{W}$

$\Delta P_2=P'_2-P_2=\frac{32}{3}-6=\frac{14}{3}\,\mathrm{W}$

بنابراین توان مصرفی مقاومت $R_2$ به‌اندازهٔ $\frac{14}{3}\,\mathrm{W}$ افزایش می‌یابد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

نکتهٔ اصلی این است که ابزارها آرمانی نیستند: آمپرسنج افت ولتاژ دارد و از ولت‌سنج نیز جریان می‌گذرد. بنابراین باید مشخص کنیم هر ابزار، ولتاژ یا جریان کدام بخش مدار را اندازه می‌گیرد. این موضوع در مثال اندازه‌گیری مقاومت نیز مطرح شده است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۷). اعداد اعشاری صورت سؤال را با نقطه می‌نویسیم؛ مثلاً جریان مدار «الف» برابر $1.6\,\mathrm{A}$ است.

گام اول: محاسبهٔ مقاومت مدار «الف»

در این مدار، آمپرسنج و $R_1$ متوالی‌اند؛ پس جریان هر دو برابر عدد آمپرسنج است. ولت‌سنج نیز اختلاف پتانسیل دو سر مجموع آن‌ها را نشان می‌دهد. با توجه به جمع‌شدن مقاومت‌های متوالی (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶)، داریم:

$V_{\mathrm{الف}}=I_{\mathrm{الف}}(R_1+R_A)$

پس:

$R_1=\frac{V_{\mathrm{الف}}}{I_{\mathrm{الف}}}-R_A=\frac{72}{1.6}-5=45-5=40\,\Omega$

در این مرحله لازم نیست جریان ولت‌سنج را محاسبه کنیم؛ زیرا آمپرسنج فقط جریان شاخهٔ شامل خودش و مقاومت مجهول را نشان می‌دهد.

گام دوم: محاسبهٔ مقاومت مدار «ب»

در مدار «ب»، ولت‌سنج با $R_2$ موازی است؛ بنابراین اختلاف پتانسیل دو سر هر دو یکسان و برابر $73.8\,\mathrm{V}$ است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۷). جریان عبوری از ولت‌سنج برابر است با:

$I_V=\frac{V_{\mathrm{ب}}}{R_V}=\frac{73.8}{180}=0.41\,\mathrm{A}$

آمپرسنج پیش از انشعاب قرار دارد و مجموع جریان دو شاخه را اندازه می‌گیرد. با استفاده از رابطهٔ جریان کل و جریان شاخه‌های موازی (فیزیک ۲، صفحه‌های ۵۸ و ۵۹):

$I_{\mathrm{ب}}=I_{R_2}+I_V$

بنابراین:

$I_{R_2}=0.82-0.41=0.41\,\mathrm{A}$

اکنون قانون اهم را برای شاخهٔ مقاومت می‌نویسیم:

$R_2=\frac{V_{\mathrm{ب}}}{I_{R_2}}=\frac{73.8}{0.41}=180\,\Omega$

توجه کنید که در مدار «ب»، ولت‌سنج دو سر آمپرسنج نیست؛ پس افت ولتاژ آمپرسنج در عدد ولت‌سنج وارد نمی‌شود. همچنین برای یافتن این دو مقاومت، نیازی به تعیین نیروی محرکه و مقاومت درونی باتری نداریم.

در نتیجه، به‌ترتیب داریم: $R_1=40\,\Omega$ و $R_2=180\,\Omega$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. نیروی مغناطیسی وارد بر ذرهٔ باردار متحرک، بر سرعت و میدان مغناطیسی عمود است. جهت نیرو برای بار مثبت با قاعدهٔ دست راست تعیین می‌شود و برای بار منفی، برعکس آن است؛ این نکته مبنای حل پرسش مربوط به الکترون در کتاب است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۷۲).

۲. در شکل، سرعت رو به پایین و نیرو رو به چپ است. چون میدان باید بر هر دو جهت عمود باشد، راستای آن عمود بر صفحهٔ شکل است؛ بنابراین فقط درون‌سو یا برون‌سو می‌تواند باشد.

۳. الکترون بار منفی دارد؛ پس برای استفاده از قاعدهٔ دست راست، ابتدا بار مثبتی را با همان سرعت در نظر می‌گیریم. نیروی وارد بر این بار مثبت باید خلاف نیروی الکترون، یعنی رو به راست باشد.

۴. با قرار دادن انگشتان دست راست در جهت سرعت، یعنی رو به پایین، و خم‌کردن آن‌ها به‌سوی داخل صفحه، شست رو به راست قرار می‌گیرد. پس میدان درون‌سو برای بار مثبت نیروی رو به راست و برای الکترون نیروی رو به چپ ایجاد می‌کند؛ درست مطابق شکل. درون‌سو یعنی عمود بر صفحه و به‌طرف داخل آن (فیزیک ۲، صفحه‌های ۷۴–۷۵).

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. شار مغناطیسی هر حلقه را بنویسیم. زاویه در رابطهٔ شار، بین میدان و خط عمود بر سطح حلقه است. چون سطح پیچه بر میدان عمود است، داریم $\theta=0^\circ$ و در نتیجه $\Phi=BA\cos\theta=BA$ (فیزیک ۲، صفحهٔ ۸۷–۸۸).

۲. داده‌ها را به یکاهای SI تبدیل کنیم:
$N=200$، $R=20\,\Omega$
$A=50\,\mathrm{cm^2}=50\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}=5\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}$
$\Delta t=2\,\mathrm{ms}=2\times10^{-3}\,\mathrm{s}$
تغییر میدان برابر است با:
$\Delta B=B_2-B_1=0.45-0.50=-0.05\,\mathrm{T}$
پس اندازهٔ تغییر شار هر حلقه می‌شود:
$|\Delta\Phi|=A|\Delta B|=(5\times10^{-3})(0.05)=2.5\times10^{-4}\,\mathrm{Wb}$

۳. نیروی محرکهٔ القایی متوسط را حساب کنیم. طبق قانون فاراده، اندازهٔ نیروی محرکه در پیچه از رابطهٔ $|\mathcal{E}_{\mathrm{av}}|=N\dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}$ به دست می‌آید (فیزیک ۲، صفحهٔ ۸۹):
$|\mathcal{E}_{\mathrm{av}}|=200\times\dfrac{2.5\times10^{-4}}{2\times10^{-3}}=25\,\mathrm{V}$

۴. جریان القایی متوسط را به دست آوریم. با استفاده از رابطهٔ جریان و مقاومت، مطابق مثال کتاب (فیزیک ۲، صفحهٔ ۸۹):
$|I_{\mathrm{av}}|=\dfrac{|\mathcal{E}_{\mathrm{av}}|}{R}=\dfrac{25}{20}=1.25\,\mathrm{A}$
علامت منفی تغییر میدان نشان‌دهندهٔ کاهش شار است؛ در این سؤال اندازهٔ جریان خواسته شده است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. انتخاب دو نقطهٔ هم‌تراز: یک نقطه را در سطح مشترک دو مایع در شاخهٔ چپ و نقطهٔ دیگر را در همان تراز، در مایع دومِ شاخهٔ راست انتخاب می‌کنیم. چون این دو نقطه به یک مایع پیوسته و ساکن تعلق دارند، فشارشان برابر است؛ این همان روش حل لوله‌های دو‌مایعی در کتاب است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۴–۳۵).

۲. نوشتن فشار در دو شاخه: با پایین رفتن در مایع، فشار به اندازهٔ $\rho gh$ افزایش می‌یابد. پس اگر فشار گاز را $P$ و فشار جو را $P_0$ بنامیم:
$P+\rho_1gh_1=P_0+\rho_2gh_2$
بنابراین فشار پیمانه‌ای مخزن برابر است با:
$P_{\mathrm g}=P-P_0=g(\rho_2h_2-\rho_1h_1)$
فشار پیمانه‌ای، اختلاف فشار گاز و فشار جو است و می‌تواند منفی باشد (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۸).

۳. تبدیل به ارتفاع معادل جیوه: در نگارش صورت سؤال، چگالی‌ها به‌ترتیب $1.2\,\mathrm{g/cm^3}$ و $1.57\,\mathrm{g/cm^3}$ هستند. اگر ارتفاع علامت‌دار معادل جیوه را $h_{\mathrm{Hg}}$ بگیریم، داریم:
$P_{\mathrm g}=\rho_{\mathrm{Hg}}g h_{\mathrm{Hg}}$
با برابر قرار دادن دو رابطه و حذف $g$:
$h_{\mathrm{Hg}}=\dfrac{\rho_2h_2-\rho_1h_1}{\rho_{\mathrm{Hg}}}$
چون چگالی‌ها همگی برحسب $\mathrm{g/cm^3}$ و ارتفاع‌ها برحسب $\mathrm{cm}$ هستند، ارتفاع حاصل نیز برحسب $\mathrm{cm}$ خواهد بود:
$h_{\mathrm{Hg}}=\dfrac{1.57\times8-1.2\times15}{13.6}\,\mathrm{cm}=\dfrac{12.56-18}{13.6}\,\mathrm{cm}=-0.4\,\mathrm{cm}=-4\,\mathrm{mm}$

پس فشار پیمانه‌ای مخزن $-4\,\mathrm{mmHg}$ است. علامت منفی نشان می‌دهد فشار گاز از فشار جو کمتر است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. انتخاب رابطهٔ مناسب: طبق قضیهٔ کار ـ انرژی جنبشی، مجموع کار همهٔ نیروهای وارد بر جسم برابر تغییر انرژی جنبشی آن است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۶۲):
$W_{\text{کل}}=\Delta K=K_f-K_i=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)$

۲. تعیین تندی اولیه: بسته در لحظهٔ رهاشدن، تندی بالون را نسبت به زمین دارد؛ پس «رهاشدن» به معنی شروع حرکت از سکون نیست. داده‌های لازم عبارت‌اند از:
$m=20\,\mathrm{kg},\qquad v_i=5\,\mathrm{m/s},\qquad v_f=25\,\mathrm{m/s}$

۳. محاسبهٔ کار کل:
$W_{\text{کل}}=\frac{1}{2}\times20\times(25^2-5^2)=10\times(625-25)=6000\,\mathrm{J}$
پس:
$W_{\text{کل}}=6\,\mathrm{kJ}$
کار کل مثبت است، زیرا انرژی جنبشی بسته افزایش یافته است.

نکته: ارتفاع و شتاب گرانش برای محاسبهٔ کار کل در این روش لازم نیستند. حاصل $mgh$ فقط کار نیروی وزن است، درحالی‌که کار کل، مجموع کار وزن و مقاومت هواست؛ این تمایز در مثال چترباز کتاب نیز به‌کار رفته است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۶۲).

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. انتخاب قانون مناسب: با ناچیز بودن مقاومت هوا، در طول پرواز فقط نیروی وزن روی توپ کار انجام می‌دهد؛ پس انرژی مکانیکی پایسته است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۶۹). دو وضعیت مورد بررسی، لحظهٔ پرتاب و لحظهٔ درست پیش از برخورد به بالای صخره‌اند.

۲. نوشتن انرژی‌ها: سطح زمین را مبدأ انرژی پتانسیل گرانشی می‌گیریم؛ بنابراین $h_1=0$ و داریم:
$K_1+U_1=K_2+U_2$
$\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2$
این همان روش مقایسهٔ انرژی در دو نقطهٔ مسیر پرتاب است که در مثال پرتاب توپ کتاب استفاده شده است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۶۹). جهت حرکت توپ و شکل مسیر در این محاسبه نقشی ندارند؛ انرژی جنبشی به تندی وابسته است.

۳. محاسبهٔ ارتفاع: با حذف جرم و مرتب‌کردن رابطه می‌رسیم به:
$h_2=\frac{v_1^2-v_2^2}{2g}$
اکنون داده‌ها را جای‌گذاری می‌کنیم:
$h_2=\frac{(20\,\mathrm{m/s})^2-(12\,\mathrm{m/s})^2}{2(10\,\mathrm{m/s^2})}=\frac{400-144}{20}\,\mathrm{m}=12.8\,\mathrm{m}$
پس ارتفاع صخره $12.8\,\mathrm{m}$ است؛ در گزینه‌ها این عدد با نگارش اعشاری $12/8$ آمده است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تعیین گرمای مورد نیاز

بازهٔ زمانی سؤال از شروع جوشیدن تا تبخیر کامل آب است؛ بنابراین نیازی به محاسبهٔ گرمای گرم‌شدن آب تا نقطهٔ جوش نداریم. در این مرحله، انرژی دریافتی صرف تغییر حالت می‌شود و رابطهٔ گرمای نهان تبخیر را به کار می‌بریم (فیزیک ۱، صفحهٔ ۱۰۹–۱۱۰):

$Q=mL_V$

با جای‌گذاری داده‌ها:

$Q=(4\,\mathrm{kg})\left(2256\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}\right)=9024\,\mathrm{kJ}$

۲. محاسبهٔ زمان با استفاده از توان

طبق فرض سؤال، تمام انرژی مصرفی کتری به آب می‌رسد؛ پس مانند مثال کتری برقی کتاب، داریم (فیزیک ۱، صفحهٔ ۱۰۹–۱۱۰):

$Q=P\Delta t\quad\Rightarrow\quad\Delta t=\frac{Q}{P}$

از آنجا که $2\,\mathrm{kW}=2\,\mathrm{kJ/s}$، زمان برابر است با:

$\Delta t=\frac{9024\,\mathrm{kJ}}{2\,\mathrm{kJ/s}}=4512\,\mathrm{s}$

۳. تبدیل ثانیه به دقیقه

$\Delta t=\frac{4512}{60}\,\mathrm{min}=75.2\,\mathrm{min}$

در نگارش گزینه‌ها، ممیز با علامت «/» آمده است؛ بنابراین این مقدار با گزینهٔ اول تطابق دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۱