سوالات فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

۱. قدرت نفوذ نشان می‌دهد یک پرتو تا چه اندازه می‌تواند در ماده پیش برود. طبق مقایسهٔ کتاب، آلفا با لایه‌ای بسیار نازک از سرب متوقف می‌شود، بتا در سرب بیشتر نفوذ می‌کند و گاما بیشترین قدرت نفوذ را دارد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۲).

۲. پس رابطهٔ قدرت نفوذ این سه پرتو چنین است:
$P_{\alpha}<P_{\beta}<P_{\gamma}$
که در آن $P$ نشان‌دهندهٔ قدرت نفوذ است. بنابراین، ترتیب از کم‌نفوذترین به پرنفوذترین عبارت است از: ابتدا آلفا، سپس بتا و در پایان گاما.

۳. سؤال ترتیب افزایشی را از راست به چپ می‌خواهد؛ با خواندن گزینه‌ها در این جهت، گزینهٔ دوم همین ترتیب را بیان می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: رابطهٔ مناسب انرژی را می‌نویسیم. انرژی مکانیکی سامانهٔ جرم ـ فنر از رابطهٔ $E=\frac{1}{2}kA^2$ به دست می‌آید؛ در این رابطه، $k$ ثابت فنر و $A$ دامنهٔ نوسان است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۶۶–۶۷).

گام دوم: کمیت‌های ثابت را مشخص می‌کنیم. در سؤال فقط جرم وزنه دو برابر می‌شود، پس فنر همان است و $k_2=k_1$. دامنه نیز طبق صورت سؤال ثابت می‌ماند، یعنی $A_2=A_1$.

گام سوم: نسبت انرژی مکانیکی در دو حالت را حساب می‌کنیم:
$\frac{E_2}{E_1}=\frac{\frac{1}{2}k_2A_2^2}{\frac{1}{2}k_1A_1^2}=\frac{k_2}{k_1}\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2=1$.

بنابراین، با ثابت بودن فنر و دامنه، دو برابر شدن جرم انرژی مکانیکی را تغییر نمی‌دهد. نکته این است که افزایش جرم، آهنگ نوسان و تندی بیشینه را تغییر می‌دهد؛ پس نباید در رابطهٔ انرژی جنبشی، هم‌زمان جرم را تغییر داد و تندی را ثابت فرض کرد.

پاسخ: گزینهٔ ۴

برای انتخاب پاسخ، هر عبارت را جداگانه بررسی می‌کنیم.

الف) درست است. تابش گرمایی به اجسام بسیار داغ یا درخشان محدود نیست؛ جسم جامد در هر دمایی که در بحث کتاب مطرح است، تابش الکترومغناطیسی گسیل می‌کند. بنابراین دیده‌نشدن نور از یک جسم، نشانهٔ نبود تابش گرمایی نیست. (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۱)

ب) نادرست است. مطابق توضیح شکل مربوط به تابش گرمایی، در دماهای معمولی بیشتر تابش گسیل‌شده از سطح اجسام در ناحیهٔ فروسرخ است، نه فرابنفش. (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۱)

پ) نادرست است. واژهٔ «فقط» این عبارت را نادرست می‌کند؛ اجسام در دماهای معمولی نیز تابش گرمایی دارند. در دماهای بالا، تابش مرئی جسم می‌تواند آشکار شود، اما تابش گرمایی پیش از آن هم وجود دارد. (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۱)

ت) درست است. منظور از گازها در این بحث، گازهای رقیق و کم‌فشارِ اتمی است. این گازها پس از برانگیخته‌شدن، تنها طول‌موج‌های معینی گسیل می‌کنند؛ بنابراین طیف گسیلی آن‌ها به‌صورت خط‌های جدا از هم است، نه یک گسترهٔ پیوسته. (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۲۱ و ۱۲۲)

پس عبارت‌های «الف» و «ت» درست‌اند.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: میدان در فاصلهٔ اولیه را از روی نیرو پیدا می‌کنیم.
طبق تعریف میدان الکتریکی، اندازهٔ میدان برابر است با $E=F/|q_0|$؛ در این رابطه، $q_0$ باری است که نیرو بر آن وارد می‌شود (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰–۱۱). بنابراین باید نیرو را بر بار $4\,\mu\mathrm{C}$ تقسیم کنیم، نه بر بار منبع $q=+5\,\mu\mathrm{C}$.

در صورت سؤال، ممیز با «/» نوشته شده است؛ پس نیروی داده‌شده برابر $F=6.4\times10^{-2}\,\mathrm{N}$ است. با تبدیل میکروکولن به کولن داریم:
$E(r)=\frac{6.4\times10^{-2}}{4\times10^{-6}}=1.6\times10^{4}\,\mathrm{N/C}$.

گام دوم: اثر دو برابر شدن فاصله را اعمال می‌کنیم.
از قانون کولن، $F=k|q||q_0|/r^2$، و تعریف میدان نتیجه می‌شود که $E(r)=k|q|/r^2$؛ پس میدان بار نقطه‌ای با مربع فاصله نسبت وارون دارد (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۶ و صفحهٔ ۱۰–۱۱). بنابراین:
$\frac{E(2r)}{E(r)}=\frac{r^2}{(2r)^2}=\frac{1}{4}$.

در نتیجه:
$E(2r)=\frac{1.6\times10^{4}}{4}=4\times10^{3}\,\mathrm{N/C}$.

برای این روش نیازی به محاسبهٔ جداگانهٔ فاصلهٔ $r$ یا استفادهٔ عددی از مقدار بار منبع نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۱

نکتهٔ اصلی این است که همهٔ انرژی جنبشی اولیه بر اثر اصطکاک تلف نمی‌شود؛ بخشی از آن صرف بالا رفتن جسم و افزایش انرژی پتانسیل گرانشی می‌شود.

گام اول: بررسی کار نیروها
پس از پرتاب، وزن، نیروی عمودی سطح و اصطکاک به جسم وارد می‌شوند. نیروی عمودی سطح بر جابه‌جایی عمود است، پس کار آن صفر است. وزن و اصطکاک هر دو مؤلفه‌ای خلاف جهت حرکت دارند و کار منفی انجام می‌دهند. این نتیجه از رابطهٔ $W=Fd\cos\theta$ به دست می‌آید (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۸).

افزایش ارتفاع جسم برابر است با:
$h=d\sin30^\circ=(6\,\mathrm{m})\times\frac12=3\,\mathrm{m}$

بنابراین کار وزن برابر است با:
$W_g=-mgh=-m(10\,\mathrm{N/kg})(3\,\mathrm{m})=-m(30\,\mathrm{J/kg})$

گام دوم: به‌کارگیری قضیهٔ کار و انرژی جنبشی
طبق این قضیه، کار کل نیروها برابر تغییر انرژی جنبشی جسم است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۱). انرژی جنبشی اولیه و نهایی عبارت‌اند از:
$K_1=\frac12mv_0^2=\frac12m(10\,\mathrm{m/s})^2=m(50\,\mathrm{J/kg})$
$K_2=0$

پس با توجه به صفر بودن کار نیروی عمودی سطح داریم:
$W_f+W_g=K_2-K_1$
$W_f-m(30\,\mathrm{J/kg})=-m(50\,\mathrm{J/kg})$
$W_f=-m(20\,\mathrm{J/kg})$

گام سوم: محاسبهٔ درصد اتلاف
مقدار انرژی تلف‌شده برابر قدرمطلق کار اصطکاک است. منظور از تلف‌شدن، نابودی انرژی نیست؛ این انرژی به انرژی درونی جسم و سطح تبدیل می‌شود (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۱).

بنابراین:
$\text{درصد اتلاف}=\frac{|W_f|}{K_1}\times100=\frac{m(20\,\mathrm{J/kg})}{m(50\,\mathrm{J/kg})}\times100=40\%$

جرم در نسبت حذف می‌شود و نیازی به دانستن آن نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای پاسخ، هر عبارت را جداگانه بررسی می‌کنیم.

عبارت «الف»: نادرست است.
جرم هسته از مجموع جرم پروتون‌ها و نوترون‌های جدا از هم کمتر است، نه بیشتر. این اختلاف را «کاستی جرم هسته» می‌نامند؛ بنابراین اشتباه عبارت، واژهٔ «بیشتر» است. کاستی جرم با انرژی لازم برای جداکردن نوکلئون‌ها ارتباط دارد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۱).

عبارت «ب»: درست است.
نوکلئون‌ها همان پروتون‌ها و نوترون‌های سازندهٔ هسته‌اند. برای جداکردن کامل آن‌ها از یکدیگر باید به هسته انرژی بدهیم؛ این انرژی، «انرژی بستگی هسته‌ای» نام دارد. پس عبارت «ب» تعریف درست این کمیت را بیان می‌کند. توجه کنیم که انرژی بستگی، انرژی لازم برای جداسازی است، نه انرژی‌ای که به همین مقدار درون هسته ذخیره شده باشد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۱).

عبارت «پ»: درست است.
نیروی الکتروستاتیکی بلندبرد است؛ بنابراین هر پروتون، پروتون‌های دیگر هسته را دفع می‌کند. در مقابل، نیروی هسته‌ای کوتاه‌برد است و هر نوکلئون عمدتاً بر نزدیک‌ترین نوکلئون‌های مجاور خود اثر جاذبه دارد. با افزایش تعداد پروتون‌ها، برای حفظ پایداری به نوترون‌های بیشتری نیاز است؛ نوترون‌ها بدون افزودن دافعهٔ الکتریکی، در جاذبهٔ هسته‌ای مشارکت می‌کنند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحات ۱۴۰ و ۱۴۱).

در نمودار هسته‌های پایدار نیز برای هسته‌های سبک تقریباً $N\approx Z$ است، اما هسته‌های پایدار سنگین‌تر در ناحیهٔ $N>Z$ قرار دارند و روند کلی، افزایش نسبت $N/Z$ را نشان می‌دهد. بنابراین عبارت «پ» مطابق روند بیان‌شده در کتاب درست است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحات ۱۴۰ و ۱۴۱).

در نتیجه، «الف» نادرست و «ب» و «پ» درست‌اند.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا باید «فاصله از مبدأ» را از «مسافت طی‌شده» جدا کنیم. بر اساس تعریف بردار مکان روی محور، فاصلهٔ متحرک تا مبدأ برابر $d=|x|$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴–۵).

گام اول: تعیین ویژگی‌های حرکت

معادلهٔ داده‌شده را با معادلهٔ حرکت با شتاب ثابت مقایسه می‌کنیم؛ این نوع حرکت در بخش «حرکت با شتاب ثابت» بررسی می‌شود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۷–۲۸):

$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$

بنابراین داریم:

$x_0=15\,\mathrm{m},\qquad v_0=-6\,\mathrm{m/s},\qquad a=\frac{4}{3}\,\mathrm{m/s^2}$

متحرک ابتدا در سمت مثبت محور قرار دارد و با سرعت منفی به سوی مبدأ حرکت می‌کند.

گام دوم: یافتن لحظهٔ کمینه شدن مکان

سرعت حرکت برابر است با:

$v=v_0+at=-6+\frac{4}{3}t$

پیش از صفر شدن سرعت، مکان کاهش می‌یابد و پس از آن افزایش پیدا می‌کند. پس کمترین مکان در لحظهٔ زیر رخ می‌دهد:

$-6+\frac{4}{3}t_*=0\quad\Rightarrow\quad t_*=\frac{9}{2}\,\mathrm{s}$

این لحظه شرط $t>0$ را نیز دارد.

گام سوم: محاسبه و بررسی فاصلهٔ کمینه

$x_{\min}=\frac{2}{3}\left(\frac{9}{2}\right)^2-6\left(\frac{9}{2}\right)+15=\frac{27}{2}-27+15=\frac{3}{2}\,\mathrm{m}$

چون حتی کمترین مکان نیز مثبت است، متحرک هرگز به مبدأ نمی‌رسد و در تمام حرکت $|x|=x$ است. بنابراین:

$d_{\min}=\frac{3}{2}\,\mathrm{m}=1.5\,\mathrm{m}$

در نگارش گزینه‌های سؤال، $1/5$ نشانهٔ عدد اعشاری $1.5$ است، نه کسر یک‌پنجم.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: تعریف شتاب متوسط را می‌نویسیم. در حرکت بر خط راست، شتاب متوسط برابر تغییر سرعتِ کل تقسیم بر مدت‌زمان کل است و باید علامت جبری سرعت‌ها را در نظر گرفت (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۱۱):
$a_{\mathrm{av}}=\frac{\Delta v_{\mathrm{کل}}}{\Delta t_{\mathrm{کل}}}$

گام دوم: تغییر سرعت را در هر بازه حساب می‌کنیم. طبق معادلهٔ سرعت ــ زمان در حرکت با شتاب ثابت، $v=v_0+at$؛ پس $\Delta v=a\Delta t$ (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۱۵).

در بازهٔ نخست:
$\Delta v_1=a_1\Delta t_1=4\times15=60\,\mathrm{m/s}$

در بازهٔ دوم:
$\Delta v_2=a_2\Delta t_2=(-4)\times5=-20\,\mathrm{m/s}$

گام سوم: تغییر سرعتِ کل برابر مجموع جبری تغییر سرعت‌های دو بازه است:
$\Delta v_{\mathrm{کل}}=60+(-20)=40\,\mathrm{m/s}$

زمان کل نیز برابر است با:
$\Delta t_{\mathrm{کل}}=15+5=20\,\mathrm{s}$

بنابراین:
$a_{\mathrm{av}}=\frac{40}{20}=2\,\mathrm{m/s^2}$

نکته: چون مدت‌زمان دو بازه برابر نیست، نمی‌توان میانگین حسابی دو شتاب را گرفت؛ باید اثر هر شتاب را در مدت‌زمان همان بازه لحاظ کرد. همچنین دانستن سرعت اولیه لازم نیست، زیرا فقط تغییر سرعت اهمیت دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. تعیین نوع حرکت و قرارداد علامت
گلوله در خلأ رها می‌شود؛ بنابراین سرعت اولیهٔ آن صفر و شتاب آن ثابت و برابر شتاب گرانش است. این همان حرکت سقوط آزادِ بررسی‌شده در کتاب است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۸). جهت رو به پایین را مثبت و مبدأ مکان را نقطهٔ رها شدن می‌گیریم؛ در نتیجه:
$x(t)=\tfrac12 gt^2=5t^2$.

۲. محاسبهٔ زمان کل سقوط
در لحظهٔ رسیدن به زمین، جابه‌جایی گلوله برابر $125\,\mathrm{m}$ است؛ پس:
$125=5t_f^2\quad\Rightarrow\quad t_f=5\,\mathrm{s}$.
بنابراین دو ثانیهٔ آخر حرکت از لحظهٔ $t_1=3\,\mathrm{s}$ تا لحظهٔ $t_2=5\,\mathrm{s}$ است.

۳. محاسبهٔ جابه‌جایی در بازهٔ خواسته‌شده
مکان گلوله در ابتدای این بازه برابر است با:
$x(3)=5\times3^2=45\,\mathrm{m}$.
پس جابه‌جایی آن در دو ثانیهٔ آخر برابر می‌شود با:
$\Delta x=x(5)-x(3)=125-45=80\,\mathrm{m}$.

۴. محاسبهٔ سرعت متوسط
طبق تعریف کتاب، سرعت متوسط برابر نسبت جابه‌جایی به مدت زمان همان بازه است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۳–۴):
$v_{\mathrm{av}}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{80\,\mathrm{m}}{2\,\mathrm{s}}=40\,\mathrm{m/s}$.
جهت این سرعت رو به پایین است؛ بنابراین مقدار موردنظر سؤال $40\,\mathrm{m/s}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: نیروهای وارد بر نردبان را مشخص می‌کنیم.
نیروها عبارت‌اند از وزن رو به پایین، نیروی عمودی زمین رو به بالا، نیروی افقی دیوار و اصطکاک ایستایی زمین به سمت دیوار. چون دیوار بدون اصطکاک است، نیروی قائم وارد نمی‌کند. همچنین نردبان در آستانهٔ لغزش هنوز در تعادل است؛ همان نکته‌ای که در مثال نردبان کتاب به کار رفته است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۴۵–۴۶).

گام دوم: نیروی عمودی زمین را از تعادل قائم به دست می‌آوریم:
$\sum F_y=0\Rightarrow N=mg$
$N=(48\,\mathrm{kg})(10\,\mathrm{N/kg})=480\,\mathrm{N}$

گام سوم: نیروی اصطکاک را محاسبه می‌کنیم.
نیرویی که سطح افقی به نردبان وارد می‌کند، برآیند دو مؤلفهٔ عمود بر هم، یعنی نیروی عمودی و اصطکاک است. پس با نام‌گذاری اندازهٔ این برآیند به صورت $R$ داریم:
$R^2=N^2+f_s^2$
$f_s=\sqrt{(120\sqrt{17})^2-480^2}\,\mathrm{N}$
با توجه به $480=4\times120$، محاسبه ساده می‌شود:
$f_s=120\sqrt{17-16}\,\mathrm{N}=120\,\mathrm{N}$

گام چهارم: ضریب اصطکاک ایستایی را به دست می‌آوریم.
در آستانهٔ لغزش، اصطکاک ایستایی به بیشینهٔ خود رسیده است و رابطهٔ $f_{s,\max}=\mu_s N$ برقرار است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۴۵–۴۶). بنابراین:
$\mu_s=\dfrac{f_{s,\max}}{N}=\dfrac{120}{480}=0.25$
ضریب اصطکاک بدون یکا است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

نکتهٔ اصلی این است که «نیروی واردشده از طرف سطح» فقط نیروی عمودی سطح نیست؛ سطح هم نیروی عمودی و هم اصطکاک به جعبه وارد می‌کند، پس باید برآیند این دو نیرو را به دست آوریم.

گام اول: اصطکاک ایستایی در دو حالت
چون جعبه ابتدا ساکن است، برآیند نیروهای افقی صفر است؛ بنابراین:
$F_1-f_s=0\quad\Rightarrow\quad f_s=40\,\mathrm{N}$
این همان روش تعیین اصطکاک ایستایی از تعادل افقی است (فیزیک ۳، ریاضی، صفحهٔ ۴۰).

با وارد کردن نیروی قائم رو به پایین، نیروی افقی تغییری نمی‌کند. از طرفی افزایش نیروی عمودی سطح، بیشینهٔ اصطکاک ایستایی را افزایش می‌دهد؛ بنابراین جعبه همچنان می‌تواند ساکن بماند. دقت کنید که رابطهٔ $f_{s,\max}=\mu_sF_N$ برای بیشینهٔ اصطکاک است و در حالت کلی فقط داریم $f_s\leq\mu_sF_N$ (فیزیک ۳، ریاضی، صفحه‌های ۴۰–۴۱). پس:
$f_s'=F_1=40\,\mathrm{N}\quad\Rightarrow\quad\frac{f_s'}{f_s}=1$

گام دوم: نیروی عمودی سطح در دو حالت
وزن جعبه برابر است با:
$W=mg=(8\,\mathrm{kg})(10\,\mathrm{N/kg})=80\,\mathrm{N}$
با توجه به صفر بودن شتاب قائم، برآیند نیروهای قائم نیز صفر است؛ مشابه روشی که در مثال کتاب به کار رفته است (فیزیک ۳، ریاضی، صفحه‌های ۴۲–۴۳).

پیش از وارد کردن نیروی دوم:
$F_N=W=80\,\mathrm{N}$
پس از وارد کردن نیروی دوم، سطح باید هم وزن و هم نیروی رو به پایین را متعادل کند:
$F_N'=W+F_2=80\,\mathrm{N}+40\,\mathrm{N}=120\,\mathrm{N}$

گام سوم: برآیند نیروهای سطح
نیروی عمودی سطح و اصطکاک بر هم عمودند؛ پس بزرگی نیروی کل سطح در حالت اول برابر است با:
$R=\sqrt{F_N^2+f_s^2}=\sqrt{80^2+40^2}\,\mathrm{N}=40\sqrt{5}\,\mathrm{N}$
و در حالت دوم:
$R'=\sqrt{(F_N')^2+(f_s')^2}=\sqrt{120^2+40^2}\,\mathrm{N}=40\sqrt{10}\,\mathrm{N}$
بنابراین:
$\frac{R'}{R}=\frac{40\sqrt{10}}{40\sqrt{5}}=\sqrt{2}$

در نتیجه، اصطکاک ایستایی ثابت می‌ماند و بزرگی نیروی کل سطح $\sqrt{2}$ برابر می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. ارتباط شیب نمودار با شتاب
طبق رابطهٔ نیروی خالص متوسط و تغییر تکانه، داریم $F_{\mathrm{av}}=\frac{\Delta p}{\Delta t}$ (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۷–۴۸). از طرفی، برای جرم ثابت، رابطهٔ $p=mv$ برقرار است؛ بنابراین:
$\frac{\Delta p}{\Delta t}=m\frac{\Delta v}{\Delta t}=ma_{\mathrm{av}}$.
چون نمودار تکانه ـ زمان خط راست است، شیب و در نتیجه شتاب ثابت‌اند؛ پس شتاب لحظه‌ای در $t=5\,\mathrm{s}$ نیز با همین روش به دست می‌آید.

۲. محاسبهٔ شیب نمودار
با استفاده از دو نقطهٔ داده‌شده داریم:
$F=\frac{0-18}{5-0}=-3.6\,\mathrm{N}$.
علامت منفی نشان می‌دهد نیرو و شتاب در جهت منفی محور حرکت‌اند.

۳. تبدیل جرم و محاسبهٔ بزرگی شتاب
جرم برحسب کیلوگرم برابر است با:
$m=450\,\mathrm{g}=0.450\,\mathrm{kg}$.
بنابراین:
$|a|=\frac{|F|}{m}=\frac{3.6}{0.450}=8\,\mathrm{m/s^2}$.

نکته: در لحظهٔ $t=5\,\mathrm{s}$، تکانه و سرعت صفر می‌شوند، اما شتاب صفر نیست؛ زیرا شیب نمودار تکانه ـ زمان همچنان غیرصفر است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

دو ماهواره را در مدارهای دایره‌ای به دور زمین در نظر می‌گیریم. نکتهٔ اصلی این است که با تغییر تندی مداری، شعاع مدار نیز تغییر می‌کند.

گام اول: ارتباط تندی با شعاع مدار

مطابق مثال ماهواره در کتاب، نیروی گرانش زمین نقش نیروی مرکزگرا را دارد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۵–۵۶). بنابراین، با نمادگذاری جرم زمین به صورت $M$ و جرم ماهواره به صورت $m$، داریم:
$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Rightarrow\quad v^2=\frac{GM}{r}$
در این رابطه، $r$ فاصلهٔ ماهواره از مرکز زمین است. چون هر دو ماهواره به دور زمین می‌گردند، $GM$ برای آن‌ها یکسان است؛ پس:
$\frac{r_A}{r_B}=\left(\frac{v_B}{v_A}\right)^2$
با توجه به دادهٔ سؤال، $v_A=2v_B$، در نتیجه:
$\frac{r_A}{r_B}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$

گام دوم: محاسبهٔ نسبت دوره‌ها

در حرکت دایره‌ای یکنواخت، دوره برابر است با طول مسیر یک دور تقسیم بر تندی (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۹–۵۰):
$T=\frac{2\pi r}{v}$
بنابراین:
$\frac{T_A}{T_B}=\frac{r_A}{r_B}\frac{v_B}{v_A}=\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
پس دورهٔ ماهوارهٔ $A$، یک‌هشتم دورهٔ ماهوارهٔ $B$ است؛ زیرا هم مسیر یک دور آن کوتاه‌تر است و هم آن مسیر را با تندی بیشتری طی می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. تعیین مشخصات نوسان

طبق رابطهٔ مکان ــ زمان حرکت هماهنگ ساده، $x=A\cos\omega t$، ضریب کسینوس دامنه و ضریب زمان در شناسهٔ آن بسامد زاویه‌ای است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۶۳). بنابراین از معادلهٔ $x=0.04\cos(50t)$ داریم:

$A=0.04\,\mathrm{m},\qquad \omega=50\,\mathrm{rad/s}$

۲. تعیین مکان نوسانگر در لحظهٔ موردنظر

در زمان $t=0.07\pi\,\mathrm{s}$، فاز نوسان برابر است با:

$\omega t=50\times0.07\pi=\frac{7\pi}{2}$

پس:

$x=0.04\cos\frac{7\pi}{2}=0$

بنابراین نوسانگر در نقطهٔ تعادل است. طبق کتاب، تندی نوسانگر هنگام عبور از تعادل بیشینه است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۶۳).

۳. محاسبهٔ اندازهٔ سرعت و تعیین جهت آن

تندی بیشینه از رابطهٔ زیر به دست می‌آید (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۶۶–۶۷):

$v_{\max}=A\omega=0.04\times50=2\,\mathrm{m/s}$

برای تعیین علامت سرعت، توجه می‌کنیم که فاز $\frac{7\pi}{2}$ با $\frac{3\pi}{2}$ هم‌ارز است. با افزایش فاز از $\frac{3\pi}{2}$ به سمت $2\pi$، مکان از صفر به سوی بیشینهٔ مثبت می‌رود؛ پس نوسانگر در جهت مثبت محور حرکت می‌کند. در نتیجه:

$v=+2\,\mathrm{m/s}$

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا داده‌ها را به یکاهای SI تبدیل می‌کنیم:
$m=200\,\mathrm{g}=0.200\,\mathrm{kg}$، $L=50\,\mathrm{cm}=0.50\,\mathrm{m}$، $F=10\,\mathrm{N}$ و $f=20\,\mathrm{Hz}$.

گام اول ــ محاسبهٔ چگالی خطی جرم فنر:
چگالی خطی جرم، جرم واحد طول فنر است؛ بنابراین:
$\mu=\frac{m}{L}=\frac{0.200}{0.50}=0.40\,\mathrm{kg/m}$.

گام دوم ــ محاسبهٔ تندی انتشار موج:
طبق رابطهٔ تندی موج عرضی در فنر کشیده، تندی به نیروی کشش و چگالی خطی جرم وابسته است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۳):
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}=\sqrt{\frac{10}{0.40}}=\sqrt{25}=5\,\mathrm{m/s}$.

گام سوم ــ محاسبهٔ طول موج:
بسامد نوسان اجزای محیط با بسامد چشمه برابر است؛ پس بسامد موج نیز $20\,\mathrm{Hz}$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۶۹–۷۰). همچنین موج در مدت یک دوره، به اندازهٔ یک طول موج پیشروی می‌کند؛ بنابراین $v=\lambda f$ (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۳). در نتیجه:
$\lambda=\frac{v}{f}=\frac{5}{20}=0.25\,\mathrm{m}=25\,\mathrm{cm}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

ابتدا باید مشخص کنیم کدام فوتون‌ها انرژی کافی برای جدا کردن الکترون از طلا دارند؛ سپس از میان خط‌های گسیلی هیدروژن، بلندترین طول موج مناسب را انتخاب کنیم.

گام اول: محاسبهٔ طول موج آستانهٔ طلا
شرط وقوع پدیدهٔ فوتوالکتریک این است که انرژی فوتون از تابع کار کمتر نباشد:
$E_\gamma=\dfrac{hc}{\lambda}\geq W_0\quad\Rightarrow\quad\lambda\leq\dfrac{hc}{W_0}$.
با داده‌های سؤال داریم:
$hc=(4.14\times10^{-15})(3\times10^8)=1.242\times10^{-6}\,\mathrm{eV\cdot m}=1242\,\mathrm{eV\cdot nm}$.
پس:
$\lambda_0=\dfrac{1242}{5.175}=240\,\mathrm{nm}$.
بنابراین طول موج تابش باید حداکثر $240\,\mathrm{nm}$ باشد. توجه کنید که این مقدار، آستانهٔ طلاست و لزوماً یک خط گسیلی هیدروژن نیست؛ طیف هیدروژن فقط طول موج‌های معینی دارد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۴).

گام دوم: تعیین تراز پایانی گذار
رابطهٔ ریدبرگ برای تابش گسیلی هیدروژن چنین است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۹):
$\dfrac{1}{\lambda}=R\left(\dfrac{1}{n_\mathrm{L}^2}-\dfrac{1}{n_\mathrm{U}^2}\right),\qquad n_\mathrm{U}>n_\mathrm{L}$.
اگر تراز پایانی $n_\mathrm{L}\geq2$ باشد، داریم:
$\dfrac{1}{\lambda}<\dfrac{R}{4}\quad\Rightarrow\quad\lambda>\dfrac{4}{R}=400\,\mathrm{nm}$.
پس هیچ‌یک از این گذارها نمی‌تواند الکترون را از طلا جدا کند. در نتیجه، باید گذارهای منتهی به تراز پایه، یعنی $n_\mathrm{L}=1$، را بررسی کنیم.

گام سوم: یافتن بلندترین طول موج مناسب
در یک رشته، بلندترین طول موج مربوط به گذار از نزدیک‌ترین تراز بالاتر به تراز پایانی است؛ همان روشی که در مثال تعیین بلندترین طول موج یک رشته به کار رفته است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۴). بنابراین برای گذارهای منتهی به حالت پایه، بلندترین طول موج مربوط به $2\to1$ است:
$\dfrac{1}{\lambda}=0.01\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)=0.01\times\dfrac{3}{4}\,\mathrm{nm^{-1}}$.
پس:
$\lambda=\dfrac{400}{3}\,\mathrm{nm}\simeq133.3\,\mathrm{nm}$.
این طول موج از $240\,\mathrm{nm}$ کمتر است؛ بنابراین انرژی کافی برای جدا کردن الکترون دارد و، چون بلندترین طول موجِ گذارهای منتهی به حالت پایه است، پاسخ خواسته‌شده خواهد بود.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا بارهای پس از انتقال را به دست می‌آوریم و سپس قانون کولن را به کار می‌بریم.

گام اول: محاسبهٔ بارهای جدید
بار منتقل‌شده از کرهٔ دوم به کرهٔ اول برابر است با:
$\Delta q=\frac{q_2}{2}=\frac{-6q_1}{2}=-3q_1$

نکتهٔ مهم این است که انتقال بار باید با علامت جبری آن محاسبه شود. بنابراین بار جدید کرهٔ اول برابر است با:
$q'_1=q_1+\Delta q=q_1-3q_1=-2q_1$

از بار کرهٔ دوم نیز همین مقدار کم می‌شود:
$q'_2=q_2-\Delta q=-6q_1-(-3q_1)=-3q_1$

گام دوم: تعیین نوع نیرو
بارهای جدید، یعنی $-2q_1$ و $-3q_1$، هم‌علامت‌اند؛ پس نیروی بین آن‌ها دافعه است. مطابق قاعدهٔ بیان‌شده در کتاب، بارهای هم‌نام یکدیگر را دفع می‌کنند (فیزیک ۲ ریاضی، صفحهٔ ۶).

گام سوم: مقایسهٔ بزرگی نیروها
طبق قانون کولن، بزرگی نیروی الکتریکی از رابطهٔ $F=k\frac{|q_1q_2|}{r^2}$ به دست می‌آید (فیزیک ۲ ریاضی، صفحهٔ ۶). در حالت اولیه داریم:
$F=k\frac{|q_1(-6q_1)|}{r^2}=k\frac{6q_1^2}{r^2}$

پس از انتقال، فاصله تغییر نمی‌کند؛ بنابراین:
$F'=k\frac{|(-2q_1)(-3q_1)|}{r^2}=k\frac{6q_1^2}{r^2}=F$

پس نیرو دافعه است و بزرگی آن با نیروی اولیه برابر است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. مقاومت خارجی در دو حالت
وقتی کلید باز است، از شاخهٔ مقاومت $6\,\Omega$ جریانی نمی‌گذرد؛ بنابراین مقاومت خارجی مدار برابر است با:
$R_1=3\,\Omega$
با بستن کلید، دو مقاومت به دو نقطهٔ مشترک وصل‌اند و موازی می‌شوند. با جایگزین کردن این ترکیب با مقاومت معادل، مطابق روش تحلیل ترکیب مقاومت‌ها (فیزیک ۲ ریاضی، صفحهٔ ۷۰)، داریم:
$R_2=\dfrac{3\times6}{3+6}=2\,\Omega$

۲. ولتاژ دو سر باتری
برای باتری واقعی، رابطهٔ ولتاژ دو سر باتری $V=\varepsilon-Ir$ است و قاعدهٔ حلقه نیز می‌دهد $\varepsilon=I(R+r)$ (فیزیک ۲ ریاضی، صفحهٔ ۶۴). در نتیجه:
$I=\dfrac{\varepsilon}{R+r}\quad\Rightarrow\quad V=IR=\dfrac{\varepsilon R}{R+r}$
پس اگر مقدار عددی مقاومت‌ها را برحسب اهم بنویسیم، ولتاژ پیش و پس از بستن کلید برابر است با:
$V_1=\dfrac{3\varepsilon}{3+r},\qquad V_2=\dfrac{2\varepsilon}{2+r}$
نکته این است که با کلید باز نیز باتری از شاخهٔ بالایی جریان می‌دهد؛ بنابراین ولتاژ اولیه برابر نیروی محرکه نیست.

۳. استفاده از درصد کاهش ولتاژ
کاهش $20\%$ یعنی ولتاژ نهایی برابر $80\%$ ولتاژ اولیه است:
$\dfrac{V_2}{V_1}=0.8$
بنابراین:
$\dfrac{2(3+r)}{3(2+r)}=\dfrac{4}{5}$
با ضرب طرفین:
$10(3+r)=12(2+r)$
$30+10r=24+12r\quad\Rightarrow\quad 6=2r$
پس مقاومت درونی باتری برابر است با:
$r=3\,\Omega$

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. جریان‌ها را مشخص می‌کنیم.
جریان کل مدار را $I$ و جریان عبوری از مقاومت $12\,\Omega$ را $I_{12}$ می‌نامیم. مقاومت‌های $3\,\Omega$ و $6\,\Omega$ با مجموعهٔ موازی متوالی‌اند؛ بنابراین جریان هرکدام برابر $I$ است. در اتصال متوالی، جریان اجزا یکسان است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۰).

۲. شرط برابری توان‌ها را به کار می‌بریم.
با استفاده از رابطهٔ توان مصرفی مقاومت، $P=I^2R$، داریم:
$P_{12}=P_3\Rightarrow 12I_{12}^{2}=3I^{2}$
پس، برای اندازهٔ جریان‌ها:
$I_{12}=\frac{I}{2}$
بنابراین اختلاف پتانسیل دو سر مقاومت $12\,\Omega$ برابر است با:
$V_{\text{موازی}}=I_{12}(12\,\Omega)=I(6\,\Omega)$
چون این ولتاژ، ولتاژ دو سر کل بخش موازی نیز هست، مقاومت معادل آن می‌شود:
$R_{\text{موازی}}=\frac{V_{\text{موازی}}}{I}=6\,\Omega$

۳. جریان کل مدار را می‌یابیم.
اکنون بخش موازی را با مقاومت معادلش جایگزین می‌کنیم. مقاومت‌های باقی‌مانده و مقاومت درونی باتری همگی متوالی‌اند؛ پس مقاومت معادل کل از جمع آن‌ها به دست می‌آید (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۷۰–۷۱):
$R_{\text{کل}}=6+3+6+2=17\,\Omega$
این جمع با ترتیب درستِ اجزای مدار باید بررسی شود: بخش موازی $6\,\Omega$، مقاومت سمت راست $3\,\Omega$، مقاومت سمت چپ $6\,\Omega$ و مقاومت درونی $2\,\Omega$ است؛ بنابراین واقعاً $R_{\text{کل}}=17\,\Omega$ و جریان برابر است با:
$I=\frac{12}{17}\,\mathrm{A}$

۴. اختلاف پتانسیل دو سر باتری را حساب می‌کنیم.
هنگام جریان‌دهی باتری، ولتاژ دو سر آن از نیروی محرکه به اندازهٔ افت ولتاژ داخلی کمتر است؛ این تمایز در تمرین مربوط به باتریِ دارای مقاومت درونی نیز مطرح شده است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۸۰):
$V=\varepsilon-Ir=12-\frac{12}{17}\times2=\frac{180}{17}\,\mathrm{V}\approx10.59\,\mathrm{V}$

بنابراین توصیف نوشتاری شکل با پاسخ تأییدشده سازگار نیست و هیچ‌یک از گزینه‌ها از آن به دست نمی‌آید. برای رسیدن به پاسخ تأییدشده، یعنی $10\,\mathrm{V}$، باید جریان کل $1\,\mathrm{A}$ و مقاومت کل $12\,\Omega$ باشد؛ با توجه به مقاومت معادل بخش موازی، مقاومت سمت چپ باید $1\,\Omega$ باشد، نه $6\,\Omega$. در آن صورت:
$R_{\text{کل}}=6+3+1+2=12\,\Omega$
$I=\frac{12}{12}=1\,\mathrm{A}$
$V=12-1\times2=10\,\mathrm{V}$
پس با اصلاح یادشده، پاسخ تأییدشده حاصل می‌شود.
پاسخ: گزینهٔ ۲

در این سؤال باید عبارت «نادرست» را پیدا کنیم. ویژگی‌های این دماسنج در مثال دماسنج مقاومت پلاتینی آمده است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۴).

گام اول ـ بررسی جایگاه دماسنج: کتاب، دماسنج مقاومت پلاتینی را یکی از سه دماسنج معیار معرفی می‌کند؛ بنابراین گزینهٔ اول درست است.

گام دوم ـ بررسی اساس کار: مقاومت الکتریکی پلاتین با دما تغییر می‌کند؛ پس با اندازه‌گیری مقاومت آن می‌توان دما را تعیین کرد. بنابراین گزینهٔ دوم نیز درست است.

گام سوم ـ بررسی خوردگی: طبق بیان دقیق کتاب، پلاتین «تقریباً» دچار خوردگی نمی‌شود. پس گزینهٔ سوم در چارچوب بیان این سؤال، به مقاومت بسیار زیاد پلاتین در برابر خوردگی اشاره دارد و درست در نظر گرفته می‌شود.

گام چهارم ـ بررسی نقطهٔ ذوب: پلاتین نقطهٔ ذوب بالایی دارد، نه پایین. این ویژگی امکان استفاده از آن را در دماهای زیاد فراهم می‌کند. بنابراین ادعای پایین‌بودن نقطهٔ ذوب در گزینهٔ چهارم، برخلاف ویژگی ذکرشده در کتاب است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۴).

پاسخ: گزینهٔ ۴

در داده‌های سؤال ناسازگاری وجود دارد: گزینهٔ اعلام‌شده با شکل توصیف‌شده سازگار نیست و فاصله‌های نقطهٔ $B$ از دو سیم نیز مشخص نشده است. بررسی مرحله‌به‌مرحله این موضوع را روشن می‌کند.

۱. تعیین جهت میدان هر سیم
طبق قاعدهٔ دست راست، شست را در جهت جریان می‌گیریم؛ جهت خم‌شدن چهار انگشت، جهت میدان مغناطیسی است (فیزیک ۲ ریاضی، صفحهٔ ۹۵). بنابراین برای سیم قائم با جریان رو به بالا، میدان در سمت راست سیم درونسو، یعنی $\otimes$، و در سمت چپ سیم برونسو، یعنی $\odot$، است.

۲. بررسی نقطهٔ $A$
این نقطه در سمت راست هر دو سیم قرار دارد؛ پس میدان هر دو سیم در آن درونسو است و میدان برایند نیز $\otimes$ خواهد بود. در نتیجه، گزینهٔ اعلام‌شده که برای این نقطه جهت $\odot$ را پیشنهاد می‌کند، با توصیف شکل ناسازگار است.

۳. بررسی نقطهٔ $C$
این نقطه در سمت چپ هر دو سیم است؛ پس میدان هر دو سیم و میدان برایند در آن برونسو، یعنی $\odot$، خواهد بود. این نتیجه نیز با گزینهٔ اعلام‌شده سازگار نیست.

۴. بررسی نقطهٔ $B$
این نقطه سمت راست سیم چپ و سمت چپ سیم راست قرار دارد. بنابراین میدان سیم چپ در آن درونسو و میدان سیم راست برونسو است. برای سیم‌های بلند با جریان‌های برابر، میدان سیم نزدیک‌تر بزرگ‌تر است. در نتیجه:

• اگر $B$ به سیم چپ نزدیک‌تر باشد، میدان برایند درونسو و گزینهٔ ۲ درست است.
• اگر $B$ به سیم راست نزدیک‌تر باشد، میدان برایند برونسو و گزینهٔ ۴ درست است.
• اگر $B$ از دو سیم فاصلهٔ برابر داشته باشد، میدان برایند صفر است و هیچ‌یک از گزینه‌ها درست نیست. بررسی برآیند میدان سیم‌های موازی، موضوع تمرین همین بخش کتاب است (فیزیک ۲ ریاضی، صفحه‌های ۹۵–۹۶).

پس برای تعیین پاسخ یکتا باید شکل اصلی، به‌ویژه جهت جریان‌ها و جای دقیق نقطهٔ $B$، بررسی شود. پاسخ: گزینهٔ ۱ با شکل توصیف‌شده سازگار نیست.

۱. منشأ اثر متقابل القاگرها: با تغییر جریان یک القاگر، میدان مغناطیسی آن تغییر می‌کند. اگر بخشی از این میدان از سطح حلقه‌های القاگر مجاور عبور کند، شار مغناطیسی آن نیز تغییر می‌کند و در آن نیروی محرکهٔ القایی ایجاد می‌شود. این اثر را «القای متقابل» می‌نامیم؛ سازوکار تغییر میدان و شار بر اثر تغییر جریان، در بحث القاگرها توضیح داده شده است (فیزیک ۲، صفحات ۱۱۸–۱۱۹).

۲. نقش جهت‌گیری حلقه‌ها: شار مغناطیسی در میدان یکنواخت از رابطهٔ $\Phi=BA\cos\theta$ به دست می‌آید که در آن $\theta$ زاویهٔ میدان با خط عمود بر سطح است. وقتی میدان موازی سطح باشد، $\theta=90^\circ$ و شار صفر می‌شود (فیزیک ۲، صفحهٔ ۱۱۲). بنابراین جهت‌گیری سطح حلقه‌ها می‌تواند شار عبوری از آنها را کاهش دهد.

۳. نتیجه برای مدار شکل: عمود قرار دادن سطح حلقه‌های دو القاگر مجاور، در آرایش موردنظر، شارِ میدان هر القاگر در دیگری و در نتیجه اثر القای متقابل را به حداقل می‌رساند. منظور این نیست که در هر آرایش واقعی، شار الزاماً کاملاً صفر می‌شود؛ هدف کاهش تأثیر ناخواستهٔ القاگرها بر یکدیگر است. توضیح شکل کتاب نیز مستقیماً همین کاربرد را بیان می‌کند (فیزیک ۲، صفحهٔ ۱۲۱، شکل ۴ـ۱۰).

پس هدف، افزایش شار، افزایش ضریب القاوری یا انتقال بیشتر انرژی نیست، بلکه به حداقل رساندن تأثیر متقابل القاگرهاست.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. شار هر حلقه را مشخص می‌کنیم. مطابق تعریف شار مغناطیسی، داریم $\Phi=BA\cos\theta$ که در آن $\theta$ زاویهٔ میدان با خط عمود بر سطح حلقه است. چون سطح حلقه‌ها بر میدان عمود است، $\theta=0^\circ$ و بنابراین $\Phi=BA$؛ همین وضعیت در مثال کتاب نیز بررسی شده است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۲).

۲. قانون فاراده را برای کل پیچه می‌نویسیم. برای پیچه‌ای با $N$ حلقه، اندازهٔ نیروی محرکهٔ القایی متوسط برابر است با:
$|\overline{\mathcal{E}}|=N\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|=NA\left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right|$.
در اینجا مساحت و جهت حلقه‌ها ثابت‌اند و فقط میدان تغییر می‌کند. مسئلهٔ چهارم تمرین‌های فصل نیز کاربرد قانون فاراده را برای همین آرایشِ سطح حلقه‌ها مطرح می‌کند (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۸). کاهش میدان بر جهت نیروی محرکه اثر دارد؛ برای محاسبهٔ اندازه، قدرمطلق آهنگ تغییر میدان را به کار می‌بریم.

۳. داده‌ها را جای‌گذاری می‌کنیم. با $N=500$، $|\overline{\mathcal{E}}|=1.2\,\mathrm{V}$ و $\left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right|=0.6\,\mathrm{T/s}$ داریم:
$A=\frac{|\overline{\mathcal{E}}|}{N\left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right|}=\frac{1.2}{500\times0.6}=0.004\,\mathrm{m^2}$.

۴. واحد مساحت را تبدیل می‌کنیم. چون $1\,\mathrm{m^2}=10^4\,\mathrm{cm^2}$، مساحت هر حلقه برابر است با:
$A=0.004\times10^4=40\,\mathrm{cm^2}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

طبق تعریف چگالی، جرم جسم را بر حجم آن تقسیم می‌کنیم: $\rho=\frac{m}{V}$ (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۶–۱۷).

گام اول: نسبت شعاع‌ها و جرم‌ها را بنویسیم.
شعاع کرهٔ $A$ به اندازهٔ $25\%$ کمتر از شعاع کرهٔ $B$ است؛ پس:
$\frac{r_A}{r_B}=1-\frac{25}{100}=\frac{3}{4}$
همچنین، طبق صورت سؤال:
$\frac{m_A}{m_B}=\frac{1}{2}$

گام دوم: نسبت حجم‌ها را حساب کنیم.
حجم کره از رابطهٔ $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ به دست می‌آید. بنابراین ضریب مشترک در نسبت حجم‌ها حذف می‌شود و داریم:
$\frac{V_A}{V_B}=\left(\frac{r_A}{r_B}\right)^3=\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64}$

گام سوم: نسبت چگالی‌ها را به دست آوریم.
با استفاده از تعریف چگالی:
$\frac{\rho_A}{\rho_B}=\frac{m_A/V_A}{m_B/V_B}=\frac{m_A}{m_B}\times\frac{V_B}{V_A}=\frac{1}{2}\times\frac{64}{27}=\frac{32}{27}\approx1.1852$
پس با اینکه جرم کرهٔ $A$ کمتر است، چگالی آن بیشتر است؛ زیرا حجم آن به نسبت بیشتری کاهش یافته است.

گام چهارم: درصد افزایش چگالی را حساب کنیم.
چون چگالی کرهٔ $B$ مبنای مقایسه است:
$\frac{\rho_A-\rho_B}{\rho_B}\times100=\left(\frac{32}{27}-1\right)\times100=\frac{5}{27}\times100\approx18.5$
بنابراین چگالی کرهٔ $A$ تقریباً $18.5\%$ بیشتر از چگالی کرهٔ $B$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲