سوال ۵۹ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

ابتدا باید مشخص کنیم کدام فوتون‌ها انرژی کافی برای جدا کردن الکترون از طلا دارند؛ سپس از میان خط‌های گسیلی هیدروژن، بلندترین طول موج مناسب را انتخاب کنیم.

گام اول: محاسبهٔ طول موج آستانهٔ طلا
شرط وقوع پدیدهٔ فوتوالکتریک این است که انرژی فوتون از تابع کار کمتر نباشد:
$E_\gamma=\dfrac{hc}{\lambda}\geq W_0\quad\Rightarrow\quad\lambda\leq\dfrac{hc}{W_0}$.
با داده‌های سؤال داریم:
$hc=(4.14\times10^{-15})(3\times10^8)=1.242\times10^{-6}\,\mathrm{eV\cdot m}=1242\,\mathrm{eV\cdot nm}$.
پس:
$\lambda_0=\dfrac{1242}{5.175}=240\,\mathrm{nm}$.
بنابراین طول موج تابش باید حداکثر $240\,\mathrm{nm}$ باشد. توجه کنید که این مقدار، آستانهٔ طلاست و لزوماً یک خط گسیلی هیدروژن نیست؛ طیف هیدروژن فقط طول موج‌های معینی دارد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۴).

گام دوم: تعیین تراز پایانی گذار
رابطهٔ ریدبرگ برای تابش گسیلی هیدروژن چنین است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۹):
$\dfrac{1}{\lambda}=R\left(\dfrac{1}{n_\mathrm{L}^2}-\dfrac{1}{n_\mathrm{U}^2}\right),\qquad n_\mathrm{U}>n_\mathrm{L}$.
اگر تراز پایانی $n_\mathrm{L}\geq2$ باشد، داریم:
$\dfrac{1}{\lambda}<\dfrac{R}{4}\quad\Rightarrow\quad\lambda>\dfrac{4}{R}=400\,\mathrm{nm}$.
پس هیچ‌یک از این گذارها نمی‌تواند الکترون را از طلا جدا کند. در نتیجه، باید گذارهای منتهی به تراز پایه، یعنی $n_\mathrm{L}=1$، را بررسی کنیم.

گام سوم: یافتن بلندترین طول موج مناسب
در یک رشته، بلندترین طول موج مربوط به گذار از نزدیک‌ترین تراز بالاتر به تراز پایانی است؛ همان روشی که در مثال تعیین بلندترین طول موج یک رشته به کار رفته است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۴). بنابراین برای گذارهای منتهی به حالت پایه، بلندترین طول موج مربوط به $2\to1$ است:
$\dfrac{1}{\lambda}=0.01\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)=0.01\times\dfrac{3}{4}\,\mathrm{nm^{-1}}$.
پس:
$\lambda=\dfrac{400}{3}\,\mathrm{nm}\simeq133.3\,\mathrm{nm}$.
این طول موج از $240\,\mathrm{nm}$ کمتر است؛ بنابراین انرژی کافی برای جدا کردن الکترون دارد و، چون بلندترین طول موجِ گذارهای منتهی به حالت پایه است، پاسخ خواسته‌شده خواهد بود.

پاسخ: گزینهٔ ۴