سوالات کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

در برتوزایی طبیعی سه نوع ذرهٔ آلفا، بتا و گاما تولید می‌شود. در کدام مورد، به‌ترتیب از راست به چپ، قدرت نفوذ ذرات بیشتر می‌شود؟

اگر در یک سامانهٔ وزنه ـ فنر، جرم بسته شده به فنر را دو برابر کنیم، با ثابت ماندن دامنهٔ نوسان، انرژی مکانیکی سامانه چند برابر می‌شود؟

کدام مورد درست است؟
الف: یک جسم جامد، در هر دمایی تابش گرمایی گسیل می‌کند.
ب: در دماهای معمولی، بیشتر تابش گسیل‌شده از سطح اجسام در ناحیهٔ فرابنفش قرار دارد.
پ: تابش گرمایی، فقط از اجسام داغ گسیل می‌شود.
ت: طیف گسیلی گازها، خطی است.

بار الکتریکی نقطه‌ای $q = +5\,\mu\mathrm{C}$، از فاصلهٔ $r$ به بار الکتریکی ۴ میکروکولنی نیروی $6/4\times10^{-2}\,\mathrm{N}$ وارد می‌کند. میدان الکتریکی حاصل از بار $q$ در فاصلهٔ $2r$، چند نیوتون بر کولن است؟

مطابق شکل، مکعبی را با سرعت اولیهٔ $10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ موازی با سطح رو به بالا پرتاب می‌کنیم. این جسم ۶ متر روی سطح جابه‌جا شده و می‌ایستد. چنددرصد انرژی جنبشی اولیهٔ جسم توسط کار نیروی اصطکاک تلف شده است؟ ($g = 10\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}$)

شکل: سطح شیب‌داری که از بالا-چپ به پایین-راست پایین می‌آید و با افق زاویهٔ $30^\circ$ می‌سازد (زاویه در گوشهٔ پایین راست). مکعبی در پایین سطح شیب‌دار قرار دارد و با سرعت اولیهٔ $V_0$ موازی با سطح شیب‌دار رو به بالا پرتاب می‌شود (پیکان $V_0$ به سمت بالا-چپ).

کدام مورد درست است؟
الف: اندازه‌گیری‌های دقیق نشان داده است که جرم هسته از مجموع جرم پروتون‌ها و نوترون‌های تشکیل‌دهندهٔ هسته اندکی بیشتر است.
ب: انرژی لازم برای جدا کردن نوکلئون‌های یک هسته را انرژی بستگی هسته‌ای می‌نامند.
پ: در هسته‌های پایدار، هرچه هسته سنگین‌تر می‌شود، نسبت تعداد نوترون به تعداد پروتون افزایش می‌یابد.

معادلهٔ مکان ـ زمان متحرکی که روی محور $x$ حرکت می‌کند، در $\mathrm{SI}$ به‌صورت $x = \frac{2}{3}t^{2} - 6t + 15$ است. بعد از لحظهٔ $t = 0$، کمترین فاصلهٔ متحرک تا مبدأ محور چند متر است؟

متحرکی روی محور $x$، ۱۵ ثانیه با شتاب $4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$ حرکت می‌کند و در ادامه ۵ ثانیه با شتاب $-4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$ به حرکت خود ادامه می‌دهد. شتاب متوسط متحرک در این ۲۰ ثانیه، چند متر بر مربع ثانیه است؟

گلوله‌ای در شرایط خلأ از ارتفاع ۱۲۵ متری زمین رها می‌شود. سرعت متوسط گلوله در ۲ ثانیهٔ آخر حرکت، چند متر بر ثانیه است؟ ($g=10\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$)

نردبانی به جرم ۴۸ کیلوگرم به دیوار قائم بدون اصطکاک تکیه دارد و پایهٔ آن روی سطح افقی در آستانهٔ سُر خوردن قرار دارد. اگر نیرویی که سطح افقی به نردبان وارد می‌کند $120\sqrt{17}$ نیوتون باشد، ضریب اصطکاک ایستایی بین نردبان و سطح افقی چقدر است؟ ($g=10\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}$)

در شکل زیر، نیروی $F_1=40\,\mathrm{N}$ بر جعبهٔ ۸ کیلوگرمی وارد می‌شود و جعبه ساکن می‌ماند. حال اگر نیروی عمودی $F_2=40\,\mathrm{N}$ را هم بر جعبه وارد کنیم، بزرگی نیروی اصطکاک ایستایی و نیرویی که از طرف سطح افقی به جسم وارد می‌شود، به‌ترتیب هرکدام چند برابر می‌شود؟ ($g=10\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}$)

شکل: جعبه‌ای روی سطح افقی قرار دارد. بردار نیروی $\vec{F_1}$ به‌صورت افقی و به سمت راست از سمت چپ به جعبه وارد می‌شود. بردار نیروی $\vec{F_2}$ به‌صورت عمودی و رو به پایین از بالا بر روی جعبه وارد می‌شود.

شکل زیر، نمودار تکانه ـ زمان متحرکی است که در مسیر مستقیم حرکت می‌کند. اگر جرم متحرک ۴۵۰ گرم باشد، بزرگی شتاب آن در لحظهٔ $t=5\,\mathrm{s}$ چند متر بر مربع ثانیه است؟

شکل: نمودار تکانه $P\left(\frac{\mathrm{kg.m}}{\mathrm{s}}\right)$ بر حسب زمان $t(\mathrm{s})$: خطی راست که از مقدار ۱۸ در لحظهٔ $t=0$ شروع می‌شود و به‌طور خطی کاهش می‌یابد و در $t=5\,\mathrm{s}$ محور زمان را قطع می‌کند (تکانه صفر می‌شود) و ادامه می‌یابد (به مقادیر منفی).

اگر تندی ماهوارهٔ A، دو برابر تندی ماهوارهٔ B باشد، دورهٔ آن چند برابر دورهٔ ماهوارهٔ B است؟

معادلهٔ حرکت هماهنگ سادهٔ یک نوسانگر در SI به‌صورت $x=0/04\cos 50t$ است. سرعت نوسانگر در لحظهٔ $t=0/07\pi\,\mathrm{s}$ چند متر بر ثانیه است؟

فنری به جرم $200\,\mathrm{g}$ و طول $50\,\mathrm{cm}$ را با نیروی $10\,\mathrm{N}$ می‌کشیم. اگر سر آزاد فنر با بسامد $20\,\mathrm{Hz}$ به نوسان درآوریم، طول موج ایجادشده در فنر چند سانتی‌متر است؟

تابع کار طلا برابر $5/175\,\mathrm{eV}$ است. از تابش‌های اتم هیدروژن، بلندترین طول موج گسیل‌شده‌ای که بتواند الکترونی را از طلا جدا کند، چند نانومتر است؟ ($R=0/01\,\mathrm{nm^{-1}}$ ، $h=4/14\times10^{-15}\,\mathrm{eV.s}$ و $c=3\times10^{8}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$)

دو کرهٔ رسانای کوچک از فاصلهٔ $r$ از هم قرار دارند. اولی دارای بار الکتریکی $q_1$ و دومی دارای بار الکتریکی $q_2=-6q_1$ است. کره‌ها در این حالت به هم نیروی الکتریکی $F$ وارد می‌کنند. اگر نصف $q_2$ را از کرهٔ (۲) به کرهٔ (۱) منتقل کنیم، در این حالت و از همین فاصله نیرویی که به هم وارد می‌کنند، جاذبه است یا دافعه و بزرگی آن چند $F$ است؟

در شکل زیر، با بستن کلید، اختلاف پتانسیل دو سر باتری ۲۰ درصد کاهش می‌یابد. مقاومت درونی باتری چند اهم است؟

شکل: مداری شامل باتری با نیروی محرکهٔ $\varepsilon$ و مقاومت درونی $r$ (درون خط‌چین بیضی) که به دو شاخهٔ موازی وصل است: شاخهٔ بالایی مقاومت $3\,\Omega$ و شاخهٔ پایینی مقاومت $6\,\Omega$ به‌صورت متوالی با یک کلید.

در شکل زیر توان مصرفی دو مقاومت ۱۲اهمی و ۳اهمی با هم برابر است. اختلاف پتانسیل دو سر باتری چند ولت است؟

شکل: مداری متوالی شامل: مقاومت $R$ موازی با مقاومت $12\,\Omega$ در بالا، سپس مقاومت $3\,\Omega$ در سمت راست، مقاومت $6\,\Omega$ در سمت چپ، و باتری با $\varepsilon=12\,\mathrm{V}$ و مقاومت درونی $r=2\,\Omega$ در پایین (درون خط‌چین بیضی).

کدام مورد دربارهٔ دماسنج مقاومت پلاتینی درست نیست؟

در شکل زیر، جریان‌های الکتریکی هم‌اندازه و هم‌جهت در سیم‌ها جاری است. جهت میدان مغناطیسی حاصل از جریان‌های الکتریکی در نقاط $A$، $B$ و $C$ به‌ترتیب کدام‌اند؟

شکل: دو سیم راست قائم موازی هم، هر دو با جریان $I$ به سمت بالا. نقطهٔ $C$ سمت چپ سیم چپ، نقطهٔ $B$ بین دو سیم و نقطهٔ $A$ سمت راست سیم راست قرار دارد.

مطابق شکل، در بعضی از مدارها که چندین القاگر دارند، ملاحظه می‌شود که سطح دو القاگر مجاور را عمود بر هم قرار می‌دهند. علت این عمل چیست؟

شکل: عکسی از بخشی از یک مدار الکترونیکی که چند القاگر (سیم‌پیچ) روی آن قرار دارد و سطح دو القاگر مجاور عمود بر هم است.

پیچه‌ای شامل ۵۰۰ حلقه عمود بر میدان مغناطیسی قرار دارد و میدان مغناطیسی با آهنگ $0/6\,\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{s}}$ کاهش می‌یابد. اگر نیروی محرکهٔ القایی متوسط ایجادشده در پیچه ۱/۲ ولت باشد، مساحت هر حلقه چند سانتی‌متر مربع است؟

شعاع کره توپر $A$، ۲۵ درصد کمتر از شعاع کرهٔ توپر $B$ است. اگر جرم کره $A$ نصف جرم کرهٔ $B$ باشد، چگالی کرهٔ $A$ تقریباً چند درصد بیشتر از چگالی کرهٔ $B$ است؟

در شکل زیر، قطر مربع هاشورخورده، کدام است؟

شکل: دستگاه مختصات با محور افقی و محور عمودی. یک خط راست صعودی محور افقی را در نقطه‌ای با طول $3$ قطع می‌کند و محور عمودی را در نقطه‌ای با عرض $-9$ قطع می‌کند. مربع هاشورخورده در ناحیه چهارم (زیر محور افقی، سمت راست محور عمودی) قرار دارد؛ یک رأس آن بر مبدأ، دو ضلع آن روی نیم‌محورهای مثبت $x$ و منفی $y$ و رأس مقابل مبدأ روی خط است.

ضابطه تابع قطعه‌ای $f$ به‌صورت $f(x)=\begin{cases} x^2-x-7 & x \geq 1 \\ 2x-1 & x<1 \end{cases}$ است، برای چند مقدار $a$ ، $f(1-|a|)=f(2+|a|)$ است؟

اگر $3\sin^2 x + a\cos^2 x = 4$ باشد، $\cot^2 x$ با کدام مورد برابر است؟

در چند زیرمجموعه از مجموعه $\{12,13,15,18,23,24,25,26\}$ حاصل‌ضرب کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین عضو، مضرب 10 است؟

برای چند مقدار صحیح $m$ ، هر دو ریشه معادله $2x^2+7x+m=0$ بزرگ‌تر از $-3$ است؟

در یک مستطیل، نقاط $A(5,2)$ و $C(4,-1)$ دو رأس غیرمجاور و دو رأس $B$ و $D$ روی خط $x-3y=3$ واقع‌اند. اختلاف طول نقاط $B$ و $D$ کدام است؟

نمودار تابع $f(x)=\sqrt{1-\sqrt{1+x}}$ ، در چند نقطه تابع وارون خود را قطع می‌کند؟

اگر $\log(2-x)-\log\frac{1}{(x-2)^2}=3$ باشد، مقدار $\log_{\sqrt{2}}(-x)$ کدام است؟

در شکل زیر، مقدار $\cos 2\alpha$ کدام است؟

شکل: یک مثلث قائم‌الزاویه بزرگ که زاویه قائمه در پایین سمت راست است. زاویه $\alpha$ در رأس چپ پایین قرار دارد. ضلع افقی پایین با یک نقطه به دو پاره‌خط به طول 3 (سمت چپ) و 1 (سمت راست) تقسیم شده است. از رأس بالایی (روی ضلع عمودی سمت راست) پاره‌خطی به این نقطه روی ضلع پایینی رسم شده و زاویه بین این پاره‌خط و ضلع عمودی برابر $2\alpha$ است.

تعداد جواب‌های معادله $\cos(2x-\frac{\pi}{4})+\cos(x+\frac{\pi}{4})=0$ در بازه $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ کدام است؟

برای چند مقدار $a$، تابع $f(x)=\frac{3x^2-8x-3}{ax^2+(1-a)x+a+1}$ یک مجانب قائم دارد؟

به‌ازای مقادیر طبیعی $c$، تابع $f(x)=\begin{cases}\sqrt{x^2-2x+1} & |x|\le c\\ ax^2+bx+2 & |x|>c\end{cases}$ روی مجموعه اعداد حقیقی پیوسته است. کدام می‌تواند مقدار $\left[\frac{a}{b}\right]$ باشد؟

اگر $f(x)=\frac{8+\cos^3 x}{4-\cos^2 x}$ و $g(x)=\frac{2}{2-\cos x}$ باشد، حاصل عبارت $f'(\frac{7\pi}{6})-2g'(\frac{7\pi}{6})$ کدام است؟

به ازای چند مقدار صحیح $m$، تابع $f(x)=\begin{cases}b & x<a\\ b+(x-a)^m & x\ge a\end{cases}$ دارای نقطه گوشه‌ای است؟

تابع $f$ با ضابطه $f(x)=\sqrt{x(1-|x|)}$ را درنظر بگیرید. اگر $m$ و $n$ به‌ترتیب تعداد نقاط ماکسیمم و مینیمم نسبی و $k$ تعداد نقاط بحرانی تابع $f$ باشند، مقدار $m+n+k$ کدام است؟

عدد صحیح $a$ مضرب 8 و باقیمانده تقسیم آن بر 23 برابر 5 است. باقیمانده تقسیم $\frac{a}{4}$ بر 23 کدام است؟

به‌ازای برخی مقادیر طبیعی $n$ ، معادله سیاله $22n-1=57x+133y$ دارای جواب است. مجموع ارقام کوچک‌ترین عدد دو رقمی $n$ ، کدام است؟

در گراف $G$ ، $\Delta(G)+2\delta(G)=17$ ، $\Delta(\overline{G})-\delta(\overline{G})=2$ و $G$ با حداقل تعداد رأس رسم شده است. اگر $\overline{G}$ همبند باشد، بیشترین تعداد یال‌های گراف $G$ کدام است؟

برای کدام گزاره، می‌تون مثال نقض ارائه کرد؟

اگر $A^{-1}=\begin{bmatrix}4&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$ و $2I-3A^{-1}B^{-1}=\begin{bmatrix}-2&-4\\1&-1\end{bmatrix}$ باشد، مجموع درایه‌های قطر اصلی ماتریس $2A-3B^{-1}$ کدام است؟

اگر $A=\begin{bmatrix}1&1&1\\-1&-2&-1\\1&1&1\end{bmatrix}$ باشد، مجموع درایه‌های $A^2$ چند برابر مجموع درایه‌های $A$ است؟

خط $x=-\frac{5}{4}$ خط هادی سهمی به معادله $3y^2-3x-ay=0$ است. اختلاف مقادیر $a$ کدام است؟

درخصوص گزاره منطقی $((p \Rightarrow q) \wedge r) \Rightarrow (p \Rightarrow r)$ ، کدام مورد صحیح است؟

در جریان یک مسابقه بازیکن $A$ دو پنالتی می‌زند. این بازیکن با احتمال ۶۰ درصد پنالتی اول را گل می‌کند، در این‌صورت احتمال گل شدن پنالتی دوم ۸۰ درصد و در غیر این‌صورت ۳۰ درصد خواهد بود. با کدام احتمال وضعیت گل شدن دو پنالتی متفاوت است؟