سوال ۵۵ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

دو ماهواره را در مدارهای دایره‌ای به دور زمین در نظر می‌گیریم. نکتهٔ اصلی این است که با تغییر تندی مداری، شعاع مدار نیز تغییر می‌کند.

گام اول: ارتباط تندی با شعاع مدار

مطابق مثال ماهواره در کتاب، نیروی گرانش زمین نقش نیروی مرکزگرا را دارد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۵–۵۶). بنابراین، با نمادگذاری جرم زمین به صورت $M$ و جرم ماهواره به صورت $m$، داریم:
$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Rightarrow\quad v^2=\frac{GM}{r}$
در این رابطه، $r$ فاصلهٔ ماهواره از مرکز زمین است. چون هر دو ماهواره به دور زمین می‌گردند، $GM$ برای آن‌ها یکسان است؛ پس:
$\frac{r_A}{r_B}=\left(\frac{v_B}{v_A}\right)^2$
با توجه به دادهٔ سؤال، $v_A=2v_B$، در نتیجه:
$\frac{r_A}{r_B}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$

گام دوم: محاسبهٔ نسبت دوره‌ها

در حرکت دایره‌ای یکنواخت، دوره برابر است با طول مسیر یک دور تقسیم بر تندی (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۹–۵۰):
$T=\frac{2\pi r}{v}$
بنابراین:
$\frac{T_A}{T_B}=\frac{r_A}{r_B}\frac{v_B}{v_A}=\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
پس دورهٔ ماهوارهٔ $A$، یک‌هشتم دورهٔ ماهوارهٔ $B$ است؛ زیرا هم مسیر یک دور آن کوتاه‌تر است و هم آن مسیر را با تندی بیشتری طی می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۳