سوال ۵۳ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

نکتهٔ اصلی این است که «نیروی واردشده از طرف سطح» فقط نیروی عمودی سطح نیست؛ سطح هم نیروی عمودی و هم اصطکاک به جعبه وارد می‌کند، پس باید برآیند این دو نیرو را به دست آوریم.

گام اول: اصطکاک ایستایی در دو حالت
چون جعبه ابتدا ساکن است، برآیند نیروهای افقی صفر است؛ بنابراین:
$F_1-f_s=0\quad\Rightarrow\quad f_s=40\,\mathrm{N}$
این همان روش تعیین اصطکاک ایستایی از تعادل افقی است (فیزیک ۳، ریاضی، صفحهٔ ۴۰).

با وارد کردن نیروی قائم رو به پایین، نیروی افقی تغییری نمی‌کند. از طرفی افزایش نیروی عمودی سطح، بیشینهٔ اصطکاک ایستایی را افزایش می‌دهد؛ بنابراین جعبه همچنان می‌تواند ساکن بماند. دقت کنید که رابطهٔ $f_{s,\max}=\mu_sF_N$ برای بیشینهٔ اصطکاک است و در حالت کلی فقط داریم $f_s\leq\mu_sF_N$ (فیزیک ۳، ریاضی، صفحه‌های ۴۰–۴۱). پس:
$f_s'=F_1=40\,\mathrm{N}\quad\Rightarrow\quad\frac{f_s'}{f_s}=1$

گام دوم: نیروی عمودی سطح در دو حالت
وزن جعبه برابر است با:
$W=mg=(8\,\mathrm{kg})(10\,\mathrm{N/kg})=80\,\mathrm{N}$
با توجه به صفر بودن شتاب قائم، برآیند نیروهای قائم نیز صفر است؛ مشابه روشی که در مثال کتاب به کار رفته است (فیزیک ۳، ریاضی، صفحه‌های ۴۲–۴۳).

پیش از وارد کردن نیروی دوم:
$F_N=W=80\,\mathrm{N}$
پس از وارد کردن نیروی دوم، سطح باید هم وزن و هم نیروی رو به پایین را متعادل کند:
$F_N'=W+F_2=80\,\mathrm{N}+40\,\mathrm{N}=120\,\mathrm{N}$

گام سوم: برآیند نیروهای سطح
نیروی عمودی سطح و اصطکاک بر هم عمودند؛ پس بزرگی نیروی کل سطح در حالت اول برابر است با:
$R=\sqrt{F_N^2+f_s^2}=\sqrt{80^2+40^2}\,\mathrm{N}=40\sqrt{5}\,\mathrm{N}$
و در حالت دوم:
$R'=\sqrt{(F_N')^2+(f_s')^2}=\sqrt{120^2+40^2}\,\mathrm{N}=40\sqrt{10}\,\mathrm{N}$
بنابراین:
$\frac{R'}{R}=\frac{40\sqrt{10}}{40\sqrt{5}}=\sqrt{2}$

در نتیجه، اصطکاک ایستایی ثابت می‌ماند و بزرگی نیروی کل سطح $\sqrt{2}$ برابر می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۲