سوال ۴۸ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

ابتدا باید «فاصله از مبدأ» را از «مسافت طی‌شده» جدا کنیم. بر اساس تعریف بردار مکان روی محور، فاصلهٔ متحرک تا مبدأ برابر $d=|x|$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴–۵).

گام اول: تعیین ویژگی‌های حرکت

معادلهٔ داده‌شده را با معادلهٔ حرکت با شتاب ثابت مقایسه می‌کنیم؛ این نوع حرکت در بخش «حرکت با شتاب ثابت» بررسی می‌شود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۷–۲۸):

$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$

بنابراین داریم:

$x_0=15\,\mathrm{m},\qquad v_0=-6\,\mathrm{m/s},\qquad a=\frac{4}{3}\,\mathrm{m/s^2}$

متحرک ابتدا در سمت مثبت محور قرار دارد و با سرعت منفی به سوی مبدأ حرکت می‌کند.

گام دوم: یافتن لحظهٔ کمینه شدن مکان

سرعت حرکت برابر است با:

$v=v_0+at=-6+\frac{4}{3}t$

پیش از صفر شدن سرعت، مکان کاهش می‌یابد و پس از آن افزایش پیدا می‌کند. پس کمترین مکان در لحظهٔ زیر رخ می‌دهد:

$-6+\frac{4}{3}t_*=0\quad\Rightarrow\quad t_*=\frac{9}{2}\,\mathrm{s}$

این لحظه شرط $t>0$ را نیز دارد.

گام سوم: محاسبه و بررسی فاصلهٔ کمینه

$x_{\min}=\frac{2}{3}\left(\frac{9}{2}\right)^2-6\left(\frac{9}{2}\right)+15=\frac{27}{2}-27+15=\frac{3}{2}\,\mathrm{m}$

چون حتی کمترین مکان نیز مثبت است، متحرک هرگز به مبدأ نمی‌رسد و در تمام حرکت $|x|=x$ است. بنابراین:

$d_{\min}=\frac{3}{2}\,\mathrm{m}=1.5\,\mathrm{m}$

در نگارش گزینه‌های سؤال، $1/5$ نشانهٔ عدد اعشاری $1.5$ است، نه کسر یک‌پنجم.

پاسخ: گزینهٔ ۱