سوال ۴۴ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: نسبت خواسته‌شده را به مسافت و جابه‌جایی تبدیل می‌کنیم.
تندی متوسط برابر مسافت طی‌شده تقسیم بر مدت حرکت است، اما اندازهٔ سرعت متوسط از تقسیم اندازهٔ جابه‌جایی بر همان مدت به دست می‌آید. این تمایز در پرسش‌های بخش شناخت حرکت نیز بررسی شده است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۲۵). بنابراین:
$\displaystyle \frac{\text{تندی متوسط}}{|\text{سرعت متوسط}|}=\frac{\text{مسافت}/\Delta t}{|\Delta x|/\Delta t}=\frac{\text{مسافت}}{|\Delta x|}$

گام دوم: معادلهٔ سهمی را پیدا می‌کنیم.
برای حرکت با شتاب ثابت، نمودار مکان ــ زمان سهمی است؛ تعیین معادلهٔ حرکت از روی چنین نموداری در مسائل همین بخش مطرح شده است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۲۷–۲۸).

محور تقارن نمودار $t=3\,\mathrm{s}$ است. چون نمودار در $t=2\,\mathrm{s}$ محور زمان را قطع می‌کند، به دلیل تقارن، قطع دیگر در $t=4\,\mathrm{s}$ است. پس با قرار دادن زمان و مکان برحسب یکاهای SI می‌نویسیم:
$x(t)=k(t-2)(t-4)$
با استفاده از $x(0)=24\,\mathrm{m}$ داریم:
$24=k(-2)(-4)\quad\Rightarrow\quad k=3$
پس معادلهٔ مکان به صورت زیر است:
$x(t)=3(t-2)(t-4)$

گام سوم: مکان نقطهٔ بازگشت و مکان نهایی را محاسبه می‌کنیم.
در رأس سهمی، مماس بر نمودار افقی و سرعت صفر است؛ پیش از آن شیب منفی و پس از آن مثبت است، پس متحرک در این نقطه تغییر جهت می‌دهد (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۱۰–۱۱).

مکان نقطهٔ بازگشت:
$x(3)=3(3-2)(3-4)=-3\,\mathrm{m}$
مکان در پایان بازه:
$x(7)=3(7-2)(7-4)=45\,\mathrm{m}$

گام چهارم: مسافت و اندازهٔ جابه‌جایی را به دست می‌آوریم.
متحرک ابتدا از $24\,\mathrm{m}$ به $-3\,\mathrm{m}$ و سپس از آنجا به $45\,\mathrm{m}$ می‌رود. بنابراین:
$\text{مسافت}=|{-3}-24|+|45-(-3)|=27+48=75\,\mathrm{m}$
اما اندازهٔ جابه‌جایی فقط به مکان آغاز و پایان بستگی دارد:
$|\Delta x|=|45-24|=21\,\mathrm{m}$
در نتیجه:
$\displaystyle \frac{\text{تندی متوسط}}{|\text{سرعت متوسط}|}=\frac{75}{21}=\frac{25}{7}$

پاسخ: گزینهٔ ۲