سوال ۴۵ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

نکتهٔ اصلی سؤال، تفاوت «لحظهٔ مشاهده» با «مدت حرکت» است؛ متحرک $\mathrm{B}$ با تأخیر $2\,\mathrm{s}$ شروع به حرکت می‌کند.

گام اول: نوشتن رابطهٔ مکان دو متحرک
در حرکت با شتاب ثابت، سرعت به‌صورت خطی با زمان تغییر می‌کند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۵). همچنین جابه‌جایی برابر مساحت زیر نمودار سرعت ــ زمان است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۲۰–۲۱). بنابراین برای حرکت از حال سکون، با مدت حرکت $\tau$ داریم:
$\Delta x=\frac12\tau v=\frac12 a\tau^2$.

نقطهٔ شروع مشترک را مبدأ مکان و جهت حرکت را جهت مثبت می‌گیریم. پس:
$x_{\mathrm A}=\frac12 at^2$،
$x_{\mathrm B}=\frac12\left(a+0.5\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\right)(t-2\,\mathrm s)^2\qquad(t\geq2\,\mathrm s)$.

گام دوم: تعیین شتاب از شرط رسیدن
در لحظهٔ $t=6\,\mathrm s$، مدت حرکت متحرک اول $6\,\mathrm s$ و مدت حرکت متحرک دوم $4\,\mathrm s$ است. چون در این لحظه به یکدیگر می‌رسند، مکان‌هایشان برابر است:
$\frac12 a(6\,\mathrm s)^2=\frac12\left(a+0.5\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\right)(4\,\mathrm s)^2$.
با ساده‌سازی:
$36a=16\left(a+0.5\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\right)$،
$20a=8\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$،
$a=0.4\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$.
پس شتاب متحرک دوم برابر است با:
$a_{\mathrm B}=0.9\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$.

گام سوم: محاسبهٔ فاصله در لحظهٔ خواسته‌شده
در لحظهٔ $t=10\,\mathrm s$، مدت حرکت دو متحرک به‌ترتیب $10\,\mathrm s$ و $8\,\mathrm s$ است. بنابراین:
$x_{\mathrm A}=\frac12\left(0.4\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\right)(10\,\mathrm s)^2=20\,\mathrm m$،
$x_{\mathrm B}=\frac12\left(0.9\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\right)(8\,\mathrm s)^2=28.8\,\mathrm m$.
فاصلهٔ دو متحرک، قدرمطلق اختلاف مکان آن‌هاست:
$d=|x_{\mathrm B}-x_{\mathrm A}|=|28.8-20|\,\mathrm m=8.8\,\mathrm m$.

پاسخ: گزینهٔ ۲