سوال ۴۷ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

جهت رو به پایین را مثبت می‌گیریم. در خلأ، گلوله با شتاب ثابت $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ سقوط می‌کند. توجه کنید که «رها شدن» یعنی سرعت در نقطهٔ $A$ صفر است، نه در نقطهٔ $B$؛ این مسئله از نوع سقوط آزاد و بررسی بخش‌های مختلف مسیر آن است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۲۸).

گام اول: سرعت گلوله در نقاط $B$ و $C$
برای پیمودن فاصلهٔ $BC=90\,\mathrm{m}$ در مدت $3\,\mathrm{s}$، از رابطهٔ جابه‌جایی در حرکت با شتاب ثابت استفاده می‌کنیم:
$\Delta x=v_B\Delta t+\tfrac12 g(\Delta t)^2$
$90=3v_B+\tfrac12(10)(3)^2=3v_B+45$
پس:
$v_B=15\,\mathrm{m/s}$
بنابراین سرعت در نقطهٔ $C$ برابر است با:
$v_C=v_B+g\Delta t=15+10(3)=45\,\mathrm{m/s}$

گام دوم: سرعت درست پیش از برخورد با زمین
فاصلهٔ نقطهٔ $C$ تا زمین $50\,\mathrm{m}$ است. از رابطهٔ مستقل از زمان داریم:
$v_{\text{زمین}}^2=v_C^2+2g\Delta x=45^2+2(10)(50)=3025$
پس، با توجه به جهت حرکت:
$v_{\text{زمین}}=55\,\mathrm{m/s}$

گام سوم: مسافت طی‌شده در سه ثانیهٔ پایانی
سرعت گلوله در سه ثانیه پیش از برخورد برابر است با:
$v_*=v_{\text{زمین}}-g(3)=55-30=25\,\mathrm{m/s}$
در حرکت با شتاب ثابت، جابه‌جایی برابر حاصل‌ضرب میانگین سرعت‌های ابتدا و انتهای بازه در مدت آن است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۲۰–۲۱). چون گلوله در این بازه پیوسته رو به پایین حرکت می‌کند، این جابه‌جایی همان ارتفاع آن از زمین در آغاز بازه است:
$h=\dfrac{v_*+v_{\text{زمین}}}{2}\Delta t=\dfrac{25+55}{2}\times3=120\,\mathrm{m}$

پاسخ: گزینهٔ ۳