سوال ۴۶ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

طبق مبحث سقوط آزاد، با نادیده‌گرفتن مقاومت هوا، هر دو گلوله شتاب ثابت و یکسانِ رو به پایین دارند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۱–۲۲). برای محاسبه، تقریب معمول $g\simeq 10\,\mathrm{m/s^2}$ را به کار می‌بریم.

گام اول ــ وضعیت هنگام رهاشدن گلولهٔ دوم:
مبدأ زمان را همین لحظه و جهت مثبت را رو به پایین می‌گیریم. گلولهٔ اول به مدت $1\,\mathrm{s}$ سقوط کرده است؛ پس جابه‌جایی و سرعت آن برابرند با:
$\Delta y_1=\frac{1}{2}g(1\,\mathrm{s})^2=5\,\mathrm{m}$
$v_{1,0}=g(1\,\mathrm{s})=10\,\mathrm{m/s}$
بنابراین گلولهٔ اول در ارتفاع $95\,\mathrm{m}$ از زمین است. گلولهٔ دوم از $10\,\mathrm{m}$ پایین‌تر از مکان همان لحظهٔ گلولهٔ اول، یعنی از ارتفاع $85\,\mathrm{m}$ و با سرعت اولیهٔ صفر رها می‌شود.

گام دوم ــ بررسی اختلاف مکان دو گلوله:
مبدأ مکان را محل گلولهٔ اول در لحظهٔ رهاشدن گلولهٔ دوم قرار می‌دهیم. اگر $t$ زمان سپری‌شده از این لحظه باشد، داریم:
$y_1=(10\,\mathrm{m/s})t+\frac{1}{2}gt^2$
$y_2=10\,\mathrm{m}+\frac{1}{2}gt^2$
با کم‌کردن دو رابطه، جمله‌های شتاب حذف می‌شوند:
$y_2-y_1=10\,\mathrm{m}-(10\,\mathrm{m/s})t$
پس فاصلهٔ دو گلوله برابر است با:
$d=\left|10\,\mathrm{m}-(10\,\mathrm{m/s})t\right|$
این فاصله ابتدا کاهش می‌یابد و در $t=1\,\mathrm{s}$ به صفر می‌رسد. پس از آن، گلولهٔ اول که سرعت بیشتری دارد پایین‌تر می‌رود و فاصله افزایش می‌یابد.

گام سوم ــ آیا هم‌مکان‌شدن پیش از برخورد با زمین رخ می‌دهد؟
در لحظهٔ هم‌مکان‌شدن، از آغاز سقوط گلولهٔ اول $2\,\mathrm{s}$ گذشته است. ارتفاع آن در این لحظه برابر است با:
$h=100\,\mathrm{m}-\frac{1}{2}(10\,\mathrm{m/s^2})(2\,\mathrm{s})^2=80\,\mathrm{m}$
بنابراین دو گلوله پیش از رسیدن گلولهٔ اول به زمین هم‌مکان می‌شوند و پس از آن نیز تا برخورد گلولهٔ اول با زمین، فاصله‌شان افزایش می‌یابد. در نتیجه، فاصله ابتدا کاهش و سپس افزایش پیدا می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۴