سوال ۴۵ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

شرط فاصله از مبدأ را ابتدا به شرطی برای مکان تبدیل می‌کنیم:
$|x|\le 10\,\mathrm{m}\quad\Longleftrightarrow\quad -10\,\mathrm{m}\le x\le +10\,\mathrm{m}$.

گام اول: معادلهٔ بخش شتاب‌دار
شیب نمودار سرعت ـ زمان، شتاب حرکت است؛ بنابراین:
$a=\dfrac{0-(-20)}{5-0}=4\,\mathrm{m/s^2}$.
با رابطهٔ مکان در حرکت با شتاب ثابت و با توجه به $x_0=42\,\mathrm{m}$ و $v_0=-20\,\mathrm{m/s}$، داریم:
$x=x_0+v_0t+\dfrac12at^2$.
پس اگر زمان بر حسب ثانیه و مکان بر حسب متر نوشته شود:
$x=42-20t+2t^2=2(t-5)^2-8$.
این همان کاربرد روابط حرکت با شتاب ثابت است که در تمرین‌های این مبحث نیز به کار می‌رود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۷–۲۸).

گام دوم: بررسی نقطهٔ بازگشت و زمان ورود به محدوده
در لحظهٔ $t=5\,\mathrm{s}$ سرعت صفر می‌شود و جهت حرکت از منفی به مثبت تغییر می‌کند. مکان در این لحظه کمینه است:
$x_{\min}=2(5-5)^2-8=-8\,\mathrm{m}$.
پس متحرک هرگز از مرز $x=-10\,\mathrm{m}$ عبور نمی‌کند؛ در نتیجه از نخستین رسیدن به $x=+10\,\mathrm{m}$ تا خروج دوباره از همین مرز، پیوسته در محدودهٔ مطلوب است.
برای یافتن زمان ورود می‌نویسیم:
$2(t-5)^2-8=10\quad\Rightarrow\quad(t-5)^2=9$.
ریشه‌ها $t=2\,\mathrm{s}$ و $t=8\,\mathrm{s}$ هستند. زمان ورود $t_{\mathrm{in}}=2\,\mathrm{s}$ است؛ اما اعتبار ریشهٔ دیگر را باید با محدودهٔ زمانی بخش شتاب‌دار بررسی کنیم.

گام سوم: تعیین آغاز بخش سرعت ثابت
در بخش مایل نمودار داریم:
$v=-20+4t$.
بنابراین زمان رسیدن سرعت به $8\,\mathrm{m/s}$ برابر است با:
$8=-20+4t\quad\Rightarrow\quad t=7\,\mathrm{s}$.
مکان در این لحظه:
$x(7)=42-20(7)+2(7)^2=0\,\mathrm{m}$.
پس معادلهٔ شتاب‌دار فقط تا $t=7\,\mathrm{s}$ معتبر است و ریشهٔ $t=8\,\mathrm{s}$ را نمی‌توان زمان خروج دانست.

گام چهارم: خروج در بخش حرکت یکنواخت
از $t=7\,\mathrm{s}$ به بعد، متحرک از مبدأ با سرعت ثابت $8\,\mathrm{m/s}$ حرکت می‌کند. طبق رابطهٔ جابه‌جایی با مساحت علامت‌دار زیر نمودار سرعت ـ زمان، در این بخش $\Delta x=v\Delta t$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۰–۲۱). بنابراین مدت رسیدن از مبدأ به مرز مثبت برابر است با:
$\Delta t=\dfrac{10\,\mathrm{m}}{8\,\mathrm{m/s}}=1.25\,\mathrm{s}$.
پس زمان خروج:
$t_{\mathrm{out}}=7+1.25=8.25\,\mathrm{s}$.
در نتیجه مدت حضور در محدودهٔ خواسته‌شده برابر است با:
$T=t_{\mathrm{out}}-t_{\mathrm{in}}=8.25-2=6.25\,\mathrm{s}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴