سوال ۴۸ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

۱. تعیین وضعیت ابتدا و انتهای حرکت

طول طبیعی فنر $L_0=20\,\mathrm{cm}$ است و وزنه از حال سکون در همین طول رها می‌شود؛ بنابراین در ابتدا فنر کشیده نشده و انرژی جنبشی وزنه صفر است. در بیشترین طول فنر نیز وزنه به نقطهٔ بازگشت می‌رسد: لحظه‌ای می‌ایستد و سپس به سمت بالا حرکت می‌کند. پس تندی و انرژی جنبشی آن در این لحظه نیز صفر است. رابطهٔ انرژی جنبشی $K=\frac{1}{2}mv^2$ است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۴).

۲. نوشتن قضیهٔ کار ـ انرژی جنبشی

افزایش طول فنر تا نقطهٔ بازگشت را $x$ می‌نامیم. وزنه به همین اندازه پایین می‌آید؛ بنابراین کار نیروی وزن مثبت و برابر $W_g=mgx$ است. نیروی فنر در خلاف جهت جابه‌جایی است و اندازهٔ آن از صفر تا $kx$ افزایش می‌یابد؛ در نتیجه کار آن برابر $W_s=-\frac{1}{2}kx^2$ است.

طبق قضیهٔ کار ـ انرژی جنبشی، کار کل با تغییر انرژی جنبشی برابر است؛ کاربرد این قضیه برای حرکت قائم نیز در تمرین‌های کتاب آمده است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۶۳–۶۴). چون انرژی جنبشی ابتدا و انتها صفر است، داریم:

$W_g+W_s=\Delta K=0$

$mgx-\frac{1}{2}kx^2=0$

$x\left(mg-\frac{1}{2}kx\right)=0$

ریشهٔ $x=0$ همان وضعیت رها شدن است. ریشهٔ غیرصفر، افزایش طول فنر در نقطهٔ بازگشت را می‌دهد:

$x_{\max}=\frac{2mg}{k}=\frac{2\times1\times10}{400}\,\mathrm{m}=0.05\,\mathrm{m}=5\,\mathrm{cm}$

۳. محاسبهٔ طول بیشینه

$L_{\max}=L_0+x_{\max}=20\,\mathrm{cm}+5\,\mathrm{cm}=25\,\mathrm{cm}$

بنابراین بیشترین طول فنر $25\,\mathrm{cm}$ و تندی وزنه در این وضعیت $0\,\mathrm{cm/s}$ است.

نکته: رابطهٔ $kx=mg$ وضعیت تعادل را مشخص می‌کند، نه نقطهٔ بازگشت را. وزنه هنگام عبور از تعادل هنوز تندی دارد و پایین‌تر می‌رود تا لحظه‌ای متوقف شود.

پاسخ: گزینهٔ ۱