سوالات فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: قانون واپاشی را مشخص می‌کنیم. در واپاشی بتای منفی، یک نوترونِ درون هسته به پروتون تبدیل می‌شود و الکترون گسیل می‌شود. پس تعداد پروتون‌ها یک واحد افزایش می‌یابد، اما تعداد کل پروتون‌ها و نوترون‌ها ثابت می‌ماند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۴).

بنابراین، قانون کلی این واپاشی، با صرف‌نظر از پادنوترینو مطابق ساده‌سازی کتاب، چنین است:
${}^{A}_{Z}\mathrm{X}\rightarrow{}^{A}_{Z+1}\mathrm{Y}+{}^{0}_{-1}\mathrm{e}^{-}$

گام دوم: عدد جرمی و عدد اتمی هستهٔ مادر را می‌خوانیم. برای ${}^{176}_{71}\mathrm{Lu}$ داریم:
$A=176$ و $Z=71$.

در نتیجه، برای هستهٔ دختر:
$A'=176$ و $Z'=71+1=72$.

گام سوم: عنصر دارای عدد اتمی $72$، هافنیم با نماد $\mathrm{Hf}$ است. پس معادلهٔ واپاشی به‌صورت زیر نوشته می‌شود:
${}^{176}_{71}\mathrm{Lu}\rightarrow{}^{176}_{72}\mathrm{Hf}+{}^{0}_{-1}\mathrm{e}^{-}$

در این معادله، مجموع عددهای جرمی دو طرف برابر است و عددهای اتمی نیز رابطهٔ $71=72+(-1)$ را برقرار می‌کنند. بنابراین هستهٔ دختر ${}^{176}_{72}\mathrm{Hf}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

برای تعیین وضعیت سوپاپ‌ها، مراحل مکش و تراکم را به‌ترتیب بررسی می‌کنیم:

۱. در ضربهٔ مکش، مخلوط بنزین و هوا از دریچهٔ ورودی وارد استوانه می‌شود. در پایان این مرحله، سوپاپ ورودی بسته می‌شود تا مخلوط در استوانه محبوس بماند؛ بنابراین، هنگام آغاز تراکم، سوپاپ ورودی بسته است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۳).

۲. در ضربهٔ تراکم، پیستون بالا می‌آید و حجم مخلوط را کاهش می‌دهد. برای آنکه مخلوط فشرده شود، نباید از دریچهٔ خروجی بیرون برود؛ پس سوپاپ خروجی نیز بسته می‌ماند. در این مرحله، فشار و دمای مخلوط افزایش می‌یابد (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۳).

بنابراین در ضربهٔ تراکم، سوپاپ ورودی و سوپاپ خروجی هر دو بسته‌اند.

پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق قضیهٔ کار ــ انرژی جنبشی، کار کل نیروهای وارد بر توپ برابر تغییر انرژی جنبشی آن است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۱):
$W_{\mathrm{t}}=K_2-K_1=\frac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2)$

ابتدا جرم توپ را به کیلوگرم تبدیل می‌کنیم:
$m=450\,\mathrm{g}=0.450\,\mathrm{kg}$

انرژی جنبشی توپ هنگام شوت و درست پیش از برخورد با دست‌های دروازه‌بان به‌ترتیب برابر است با:
$K_1=\frac{1}{2}\times0.450\times20^2=90\,\mathrm{J}$
$K_2=\frac{1}{2}\times0.450\times16^2=57.6\,\mathrm{J}$

بنابراین:
$W_{\mathrm{t}}=57.6-90=-32.4\,\mathrm{J}$

علامت منفی نشان می‌دهد که کار کل سبب کاهش انرژی جنبشی توپ شده است؛ این نتیجه با کاهش تندی نیز سازگار است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۶۱–۶۲). بازهٔ موردنظر از لحظهٔ شوت تا رسیدن توپ به دست‌های دروازه‌بان است، نه تا متوقف‌شدن آن در دست‌ها. همچنین، ممیز در گزینه‌ها با نشانهٔ «/» نوشته شده است؛ پس مقدار به‌دست‌آمده با گزینهٔ سوم مطابقت دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: نسبت خواسته‌شده را به مسافت و جابه‌جایی تبدیل می‌کنیم.
تندی متوسط برابر مسافت طی‌شده تقسیم بر مدت حرکت است، اما اندازهٔ سرعت متوسط از تقسیم اندازهٔ جابه‌جایی بر همان مدت به دست می‌آید. این تمایز در پرسش‌های بخش شناخت حرکت نیز بررسی شده است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۲۵). بنابراین:
$\displaystyle \frac{\text{تندی متوسط}}{|\text{سرعت متوسط}|}=\frac{\text{مسافت}/\Delta t}{|\Delta x|/\Delta t}=\frac{\text{مسافت}}{|\Delta x|}$

گام دوم: معادلهٔ سهمی را پیدا می‌کنیم.
برای حرکت با شتاب ثابت، نمودار مکان ــ زمان سهمی است؛ تعیین معادلهٔ حرکت از روی چنین نموداری در مسائل همین بخش مطرح شده است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۲۷–۲۸).

محور تقارن نمودار $t=3\,\mathrm{s}$ است. چون نمودار در $t=2\,\mathrm{s}$ محور زمان را قطع می‌کند، به دلیل تقارن، قطع دیگر در $t=4\,\mathrm{s}$ است. پس با قرار دادن زمان و مکان برحسب یکاهای SI می‌نویسیم:
$x(t)=k(t-2)(t-4)$
با استفاده از $x(0)=24\,\mathrm{m}$ داریم:
$24=k(-2)(-4)\quad\Rightarrow\quad k=3$
پس معادلهٔ مکان به صورت زیر است:
$x(t)=3(t-2)(t-4)$

گام سوم: مکان نقطهٔ بازگشت و مکان نهایی را محاسبه می‌کنیم.
در رأس سهمی، مماس بر نمودار افقی و سرعت صفر است؛ پیش از آن شیب منفی و پس از آن مثبت است، پس متحرک در این نقطه تغییر جهت می‌دهد (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۱۰–۱۱).

مکان نقطهٔ بازگشت:
$x(3)=3(3-2)(3-4)=-3\,\mathrm{m}$
مکان در پایان بازه:
$x(7)=3(7-2)(7-4)=45\,\mathrm{m}$

گام چهارم: مسافت و اندازهٔ جابه‌جایی را به دست می‌آوریم.
متحرک ابتدا از $24\,\mathrm{m}$ به $-3\,\mathrm{m}$ و سپس از آنجا به $45\,\mathrm{m}$ می‌رود. بنابراین:
$\text{مسافت}=|{-3}-24|+|45-(-3)|=27+48=75\,\mathrm{m}$
اما اندازهٔ جابه‌جایی فقط به مکان آغاز و پایان بستگی دارد:
$|\Delta x|=|45-24|=21\,\mathrm{m}$
در نتیجه:
$\displaystyle \frac{\text{تندی متوسط}}{|\text{سرعت متوسط}|}=\frac{75}{21}=\frac{25}{7}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. تبدیل شرط فاصله به شرط مکان
در حرکت روی محور، مکان نسبت به مبدأ تعیین می‌شود و می‌تواند مثبت یا منفی باشد؛ مطابق تعریف بردار مکان در کتاب، فاصلهٔ جسم تا مبدأ برابر اندازهٔ بردار مکان، یعنی $|x|$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۴–۵). پس شرط مسئله چنین است:
$|x|\leq 8\quad\Longleftrightarrow\quad -8\leq x\leq 8$.
با جای‌گذاری معادلهٔ مکان ــ زمان داریم:
$-8\leq 2t^2-12t+8\leq 8$.
در محاسبات زیر، زمان برحسب ثانیه و مکان برحسب متر است.

۲. بررسی کران بالای مکان
$2t^2-12t+8\leq 8$
$2t(t-6)\leq 0$.
بنابراین:
$0\leq t\leq 6$.

۳. بررسی کران پایین مکان
$2t^2-12t+8\geq -8$
$2t^2-12t+16\geq 0$
$2(t-2)(t-4)\geq 0$.
حاصل‌ضرب بیرون از فاصلهٔ دو ریشه نامنفی است؛ پس:
$t\leq 2\quad\text{یا}\quad t\geq 4$.

۴. اشتراک شرط‌ها و محاسبهٔ مدت
با اشتراک گرفتن دو شرط و در نظر گرفتن زمان‌های پس از $t=0$، بازه‌های مجاز عبارت‌اند از:
$0<t\leq 2\quad\text{و}\quad 4\leq t\leq 6$.
در بازهٔ بین این دو بخش، متحرک در سمت منفی محور و دورتر از $8\,\mathrm{m}$ از مبدأ قرار دارد. بنابراین مدت کلِ برقراری شرط برابر است با:
$\Delta t=(2-0)+(6-4)=4\,\mathrm{s}$.
حذف خودِ لحظهٔ آغاز، مدت را تغییر نمی‌دهد؛ زیرا لحظه یک مقدار مشخص از زمان است و طول زمانی ندارد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۹).

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: سرعت در انتهای هر بازه

در حرکت با شتاب ثابت، سرعت از رابطهٔ $v=v_0+a\Delta t$ به دست می‌آید (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۱۵). بنابراین در انتهای بازهٔ اول داریم:

$v_3=8+2\times3=14\,\mathrm{m/s}$

در بازهٔ دوم، شتاب برابر $-6\,\mathrm{m/s^2}$ است و این بازه $5\,\mathrm{s}$ طول می‌کشد؛ پس:

$v_8=14-6\times5=-16\,\mathrm{m/s}$

علامت سرعت در حرکت بر خط راست نشان‌دهندهٔ جهت حرکت است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۱۱). چون سرعت از مثبت به منفی رسیده است، متحرک در بازهٔ دوم تغییر جهت می‌دهد. پس برای محاسبهٔ مسافت باید این بازه را در لحظهٔ توقف تقسیم کنیم.

گام دوم: یافتن لحظهٔ تغییر جهت

زمان سپری‌شده از شروع بازهٔ دوم تا توقف را با $\tau$ نشان می‌دهیم:

$0=14-6\tau\quad\Rightarrow\quad\tau=\frac{7}{3}\,\mathrm{s}$

بنابراین لحظهٔ توقف و مدت حرکت پس از آن برابرند با:

$t_{\text{توقف}}=3+\frac{7}{3}=\frac{16}{3}\,\mathrm{s}$

$\Delta t_{\text{پس از توقف}}=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}\,\mathrm{s}$

گام سوم: محاسبهٔ مسافت کل

در هر بخش با شتاب ثابت و بدون تغییر جهت، مسافت برابر حاصل‌ضرب میانگین تندی ابتدا و انتهای آن بخش در مدت آن است؛ این همان مساحت ناحیهٔ بین نمودار سرعت ــ زمان و محور زمان، بدون درنظرگرفتن علامت مساحت است.

مسافت بازهٔ اول:

$s_1=\frac{8+14}{2}\times3=33\,\mathrm{m}$

مسافت از شروع بازهٔ دوم تا توقف:

$s_2=\frac{14+0}{2}\times\frac{7}{3}=\frac{49}{3}\,\mathrm{m}$

مسافت پس از توقف تا پایان حرکت:

$s_3=\frac{0+16}{2}\times\frac{8}{3}=\frac{64}{3}\,\mathrm{m}$

پس مسافت کل برابر است با:

$s_{\text{کل}}=33+\frac{49}{3}+\frac{64}{3}=\frac{212}{3}\,\mathrm{m}$

گام چهارم: تندی متوسط

تندی متوسط، مسافت کل تقسیم بر زمان کل است؛ بنابراین:

$\text{تندی متوسط}=\frac{s_{\text{کل}}}{\Delta t}=\frac{\frac{212}{3}}{8}=\frac{53}{6}\,\mathrm{m/s}$

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تعیین بازه‌های زمانی
منظور از «$n$ ثانیهٔ دوم»، بازهٔ $n\,\mathrm{s}$ تا $2n\,\mathrm{s}$ و منظور از «$n$ ثانیهٔ سوم»، بازهٔ $2n\,\mathrm{s}$ تا $3n\,\mathrm{s}$ است. بنابراین نباید جابه‌جایی کل از آغاز حرکت تا پایان این بازه‌ها را مستقیماً با هم مقایسه کنیم.

۲. نوشتن رابطهٔ مکان ــ زمان
در حرکت با شتاب ثابت، رابطهٔ سرعت ــ زمان به صورت $v=v_0+at$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۵). چون متحرک از سکون شروع می‌کند، $v_0=0$ است و رابطهٔ مکان ــ زمان به صورت $x(t)=x_0+\frac{1}{2}at^2$ درمی‌آید.

۳. محاسبهٔ جابه‌جایی هر بازه
جابه‌جایی هر بازه، اختلاف مکان پایانی و آغازین آن است؛ این همان مفهوم جابه‌جایی به‌عنوان تغییر مکان است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۲–۳). اگر مدت هر بازه را $T=n\,\mathrm{s}$ بنامیم، برای بازهٔ دوم داریم:
$\Delta x_2=x(2T)-x(T)=\frac{1}{2}a\big[(2T)^2-T^2\big]=\frac{3}{2}aT^2$.
برای بازهٔ سوم نیز داریم:
$\Delta x_3=x(3T)-x(2T)=\frac{1}{2}a\big[(3T)^2-(2T)^2\big]=\frac{5}{2}aT^2$.

۴. تشکیل نسبت
با تقسیم جابه‌جایی بازهٔ سوم بر جابه‌جایی بازهٔ دوم، عامل‌های مشترک حذف می‌شوند:
$\frac{\Delta x_3}{\Delta x_2}=\frac{\frac{5}{2}aT^2}{\frac{3}{2}aT^2}=\frac{5}{3}$.
پس این نسبت به مدت بازه و مقدار شتاب وابسته نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۱

ابتدا نیروهای وارد بر جسم را مشخص می‌کنیم: وزن $W=mg$ رو به پایین و کشش نخ $T$ رو به بالا است. طبق تعریف کتاب، وزن نیروی گرانشی وارد بر جسم است و جهت آن به سمت زمین است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۳۵–۳۶).

طبق قانون دوم نیوتون، نیروی خالص هم‌جهت شتاب جسم است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۲). بنابراین چون شتاب رو به پایین است، وزن باید از کشش بیشتر باشد.

جهت پایین را مثبت می‌گیریم و می‌نویسیم:
$mg-T=ma$

با جای‌گذاری شتاب $a=0.8g$ داریم:
$mg-T=0.8mg$

پس:
$T=mg-0.8mg=0.2mg$

برای محاسبهٔ نسبت کشش به وزن، دو طرف را بر $W=mg$ تقسیم می‌کنیم:
$\frac{T}{W}=\frac{0.2mg}{mg}=0.2=\frac{1}{5}$

پس کشش نخ یک‌پنجم وزن جسم است؛ کمتر بودن کشش از وزن نیز با شتاب رو به پایین سازگار است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

برای تعیین نیروی خالص، ابتدا باید مشخص کنیم جسم پس از اعمال نیرو ساکن می‌ماند یا شروع به لغزش می‌کند. شتاب گرانش را مطابق مقادیر گزینه‌ها، $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ در نظر می‌گیریم.

گام اول: محاسبهٔ نیروی عمودی سطح
نیروی واردشده افقی است و جسم در راستای قائم شتاب ندارد؛ بنابراین وزن و نیروی عمودی سطح یکدیگر را خنثی می‌کنند:
$F_{\mathrm{N}}=mg=10\times10=100\,\mathrm{N}$.

گام دوم: بررسی امکان ساکن ماندن جسم
اصطکاک ایستایی تا یک مقدار بیشینه می‌تواند مانع حرکت شود و این مقدار از رابطهٔ $f_{\mathrm{s,max}}=\mu_{\mathrm{s}}F_{\mathrm{N}}$ به دست می‌آید (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۴۰–۴۱):
$f_{\mathrm{s,max}}=0.5\times100=50\,\mathrm{N}$.
چون $55\,\mathrm{N}>50\,\mathrm{N}$، اصطکاک ایستایی نمی‌تواند جسم را ساکن نگه دارد؛ پس جسم شروع به لغزش می‌کند.

گام سوم: محاسبهٔ اصطکاک هنگام لغزش
هنگام لغزش، اصطکاک جنبشی در خلاف جهت حرکت وارد می‌شود و اندازهٔ آن برابر $f_{\mathrm{k}}=\mu_{\mathrm{k}}F_{\mathrm{N}}$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۲):
$f_{\mathrm{k}}=0.25\times100=25\,\mathrm{N}$.

گام چهارم: محاسبهٔ نیروی خالص
نیروهای قائم متوازن‌اند؛ بنابراین نیروی خالص فقط افقی است. با انتخاب جهت نیروی واردشده به‌عنوان جهت مثبت داریم:
$F_{\mathrm{net}}=F-f_{\mathrm{k}}=55-25=30\,\mathrm{N}$.
پس نیروی خالص در جهت نیروی واردشده است و مطابق قانون دوم نیوتون، جسم در همین جهت شتاب می‌گیرد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۲).

پاسخ: گزینهٔ ۳

نکتهٔ اصلی، تفاوت «مسافت» و «بزرگی جابه‌جایی» است. چون زمانِ محاسبهٔ دو کمیت یکسان است، داریم:
$\displaystyle \frac{\text{تندی متوسط}}{|\text{سرعت متوسط}|}=\frac{s/\Delta t}{|\Delta x|/\Delta t}=\frac{s}{|\Delta x|}$
بنابراین کافی است مسافت طی‌شده و بزرگی جابه‌جایی را پیدا کنیم.

گام اول: تعیین دوره و مکان اولیه
با مقایسهٔ معادلهٔ سؤال با $x=A\cos\omega t$ و استفاده از رابطهٔ $\omega=\frac{2\pi}{T}$ داریم (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۳):
$\displaystyle \omega=\frac{16\pi}{3}\,\mathrm{rad/s}\quad\Rightarrow\quad T=\frac{2\pi}{16\pi/3}=\frac{3}{8}\,\mathrm{s}$
پس بازهٔ موردنظر برابر است با:
$\displaystyle \Delta t=\frac{1}{2}\,\mathrm{s}=\frac{4T}{3}=T+\frac{T}{3}$
همچنین در آغاز حرکت:
$\displaystyle x_i=A\cos 0=A$

گام دوم: محاسبهٔ مکان نهایی و جابه‌جایی
در انتهای بازه داریم:
$\displaystyle x_f=A\cos\left(\frac{16\pi}{3}\times\frac{1}{2}\right)=A\cos\frac{8\pi}{3}=-\frac{A}{2}$
بنابراین:
$\displaystyle |\Delta x|=|x_f-x_i|=\left|-\frac{A}{2}-A\right|=\frac{3A}{2}$

گام سوم: محاسبهٔ مسافت کل
نوسانگر بین دو نقطهٔ بازگشت $x=+A$ و $x=-A$ حرکت می‌کند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۳). در یک دورهٔ کامل، از $+A$ به $-A$ می‌رود و به $+A$ بازمی‌گردد؛ پس مسافت این بخش $4A$ است.

در زمان باقی‌مانده، یعنی $\frac{T}{3}$، ابتدا طی $\frac{T}{2}$ به نقطهٔ بازگشت نمی‌رسد؛ بنابراین باید دقت کنیم که تقسیم‌بندی مناسب کل بازه چیست: پس از یک دوره، حرکت از $+A$ آغاز می‌شود و چون $\frac{T}{3}<\frac{T}{2}$ است، بدون رسیدن به $-A$ تا $-\frac{A}{2}$ پیش می‌رود. در نتیجه مسافت این بخش برابر است با:
$\displaystyle s_2=\left| -\frac{A}{2}-A\right|=\frac{3A}{2}$
پس مسافت کل:
$\displaystyle s=4A+\frac{3A}{2}=\frac{11A}{2}$

گام چهارم: محاسبهٔ نسبت
$\displaystyle \frac{\text{تندی متوسط}}{|\text{سرعت متوسط}|}=\frac{11A/2}{3A/2}=\frac{11}{3}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ــ رابطهٔ مناسب را انتخاب می‌کنیم.
انرژی مکانیکی سامانهٔ جرم ــ فنر در حرکت هماهنگ ساده برابر است با $E=\frac{1}{2}kA^2$؛ در این رابطه، $k$ ثابت فنر و $A$ دامنهٔ نوسان است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۶۶–۶۷). بنابراین انرژی مکانیکی، با ثابت‌بودن فنر و دامنه، به جرم وزنه وابسته نیست.

گام دوم ــ دو حالت را مقایسه می‌کنیم.
چون وزنهٔ جدید به همان فنر بسته می‌شود، $k_2=k_1$ است. همچنین طبق صورت سؤال، دامنه تغییر نمی‌کند؛ پس $A_2=A_1=A$ است. در نتیجه:
$\frac{E_2}{E_1}=\frac{k_2}{k_1}\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2=1$

گام سوم ــ انرژی جدید را به دست می‌آوریم.
$E_2=E_1=8\,\mathrm{J}$

نکته: نصف‌شدن جرم به معنی نصف‌شدن انرژی نیست؛ زیرا تندی نوسان نیز تغییر می‌کند. در این مسئله، ثابت‌ماندن فنر و دامنه برای تعیین انرژی کافی است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: محاسبهٔ شدت صوت از تراز شدت صوت

طبق تعریف تراز شدت صوت در کتاب داریم (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۸۰):
$\beta=(10\,\mathrm{dB})\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$

با قرار دادن تراز داده‌شده:
$90\,\mathrm{dB}=(10\,\mathrm{dB})\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\Rightarrow \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)=9$

پس:
$\frac{I}{I_0}=10^9\Rightarrow I=10^9\times10^{-12}=10^{-3}\,\mathrm{W/m^2}$

گام دوم: محاسبهٔ توان عبوری از یک سانتی‌متر مربع

شدت صوت، توان متوسط عبوری از واحد سطح عمود بر راستای انتشار است؛ بنابراین $I=P_{\mathrm{av}}/A$ و در نتیجه $P_{\mathrm{av}}=IA$ (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۷۹–۸۰).

مساحت موردنظر برابر است با:
$A=1\,\mathrm{cm^2}=(10^{-2}\,\mathrm{m})^2=10^{-4}\,\mathrm{m^2}$

بنابراین:
$P_{\mathrm{av}}=(10^{-3}\,\mathrm{W/m^2})(10^{-4}\,\mathrm{m^2})=10^{-7}\,\mathrm{W}$

گام سوم: تبدیل وات به میکرووات

چون $1\,\mathrm{W}=10^6\,\mu\mathrm{W}$، داریم:
$P_{\mathrm{av}}=10^{-7}\times10^6\,\mu\mathrm{W}=10^{-1}\,\mu\mathrm{W}$

نکته: فاصلهٔ $50\,\mathrm{m}$ در این محاسبه نقشی ندارد؛ زیرا تراز شدت صوت در همان مکان داده شده و نیازی به محاسبهٔ توان کل چشمه نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: ناحیهٔ مناسب را مشخص می‌کنیم.
چون $q_2=-4q_1$ است، دو بار ناهمنام‌اند و $|q_2|=4|q_1|$. میدان بار مثبت به سمت بیرون و میدان بار منفی به سمت خود بار است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۷–۱۸). بنابراین در فاصلهٔ بین دو بار، میدان‌ها هم‌جهت‌اند و برآیندشان صفر نمی‌شود.

در دو ناحیهٔ بیرونی، میدان‌ها خلاف جهت‌اند. برای برابر شدن اندازهٔ آن‌ها، نقطه باید از بار بزرگ‌تر دورتر باشد؛ پس نقطهٔ میدان صفر در سمت چپ $q_1$ قرار دارد. در سمت راست $q_2$، هم بزرگی بار $q_2$ بیشتر است و هم فاصله از آن کمتر است؛ بنابراین میدان آن غالب خواهد بود.

گام دوم: شرط برابری اندازهٔ میدان‌ها را می‌نویسیم.
فاصلهٔ نقطهٔ موردنظر تا $q_1$ را $r$ می‌نامیم. چون فاصلهٔ دو بار $2d$ است، فاصلهٔ این نقطه تا $q_2$ برابر $r+2d$ خواهد بود. با استفاده از رابطهٔ میدان بار نقطه‌ای، $E=k|q|/r^2$، داریم:
$\frac{k|q_1|}{r^2}=\frac{k|q_2|}{(r+2d)^2}=\frac{4k|q_1|}{(r+2d)^2}$
پس:
$(r+2d)^2=4r^2$
چون فاصله‌ها مثبت‌اند:
$r+2d=2r\quad\Rightarrow\quad r=2d$

گام سوم: فاصله تا بار خواسته‌شده را حساب می‌کنیم.
مقدار $r$ فاصله تا $q_1$ است، نه تا $q_2$. بنابراین:
$r_2=r+2d=2d+2d=4d$
در نتیجه فاصلهٔ نقطهٔ میدان صفر از $q_2$، برابر $4$ برابر $d$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا فاصلهٔ بارها را مشخص می‌کنیم. اگر طول ضلع مربع را $a$ بگیریم، چون $q_1$ و $q_2$ در دو سر یک ضلع‌اند، داریم: $r_{12}=a$. همچنین $q_2$ و $q_3$ در دو سر یک قطر قرار دارند؛ پس با قضیهٔ فیثاغورس: $r_{32}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

طبق قانون کولن، بزرگی نیروی بین دو بار از رابطهٔ $F=k\frac{|q_i||q_j|}{r^2}$ به دست می‌آید؛ این رابطه در محاسبهٔ نیروهای دوتایی در مثال کتاب نیز به کار رفته است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۹، مثال ۱ـ۳).

چون سه بار یکسان‌اند، بزرگی هرکدام را $q$ می‌نامیم. بنابراین بزرگی نیرویی که $q_1$ به $q_2$ وارد می‌کند، برابر است با:
$F_{1\to2}=k\frac{q^2}{a^2}$.

بزرگی نیرویی که $q_3$ به $q_2$ وارد می‌کند نیز برابر است با:
$F_{3\to2}=k\frac{q^2}{(a\sqrt{2})^2}=k\frac{q^2}{2a^2}$.

اکنون نسبت خواسته‌شده را محاسبه می‌کنیم:
$\frac{F_{1\to2}}{F_{3\to2}}=\frac{kq^2/a^2}{kq^2/(2a^2)}=2$.

پس نیروی بارِ واقع در فاصلهٔ ضلع، دو برابر نیروی بارِ واقع در فاصلهٔ قطر است. توجه کنید که سؤال نسبت بزرگی دو نیروی جداگانه را می‌خواهد، نه برایند آن‌ها؛ بنابراین جمع برداری نیروها لازم نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. نسبت مقاومت‌ها را از حالت اتصال جداگانه پیدا می‌کنیم.
طبق رابطهٔ توان مصرفی مقاومت، $P=\frac{V^2}{R}$؛ بنابراین در ولتاژ یکسان، توان با مقاومت نسبت وارون دارد (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۷).
اگر اختلاف پتانسیل ثابت منبع را $V$ بنامیم، داریم:
$P_A=\frac{V^2}{R_A}$ و $P_B=\frac{V^2}{R_B}$.
پس با توجه به دادهٔ سؤال:
$\frac{P_A}{P_B}=\frac{V^2/R_A}{V^2/R_B}=\frac{R_B}{R_A}=2$.
در نتیجه:
$\frac{R_A}{R_B}=\frac{1}{2}$.

۲. نسبت توان‌ها را در اتصال متوالی به دست می‌آوریم.
در اتصال متوالی، جریان عبوری از همهٔ مقاومت‌ها یکسان است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۰). این جریان مشترک را $I$ می‌نامیم. با استفاده از رابطهٔ $P=I^2R$ (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۷)، توان‌های جدید برابرند با:
$P_A'=I^2R_A$ و $P_B'=I^2R_B$.
بنابراین:
$\frac{P_A'}{P_B'}=\frac{I^2R_A}{I^2R_B}=\frac{R_A}{R_B}=\frac{1}{2}$.

نکتهٔ اصلی این است که در حالت اول، ولتاژ دو مقاومت برابر بود، ولی در حالت دوم جریان آنها برابر است. ثابت ماندن ولتاژ منبع به معنای ثابت ماندن ولتاژ دو سر تک‌تک مقاومت‌ها نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. تعیین رابطه و زاویه: طبق رابطهٔ نیروی مغناطیسی وارد بر سیم راست حامل جریان، داریم $F=I\ell B\sin\theta$؛ در این رابطه، $\theta$ زاویهٔ راستای سیم با میدان است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۹۲–۹۳). جریان از شرق به غرب و میدان از جنوب به شمال است؛ بنابراین این دو راستا بر هم عمودند و $\theta=90^\circ$ و $\sin\theta=1$ است.

۲. تبدیل واحد میدان: مانند تبدیل واحد به‌کاررفته در مثال کتاب، هر گاوس برابر $10^{-4}\,\mathrm{T}$ است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۹۳). پس میدان داده‌شده برابر است با $B=0.45\,\mathrm{G}=0.45\times10^{-4}\,\mathrm{T}=4.5\times10^{-5}\,\mathrm{T}$.

۳. محاسبهٔ بزرگی نیرو: با طول $\ell=2\,\mathrm{m}$ و جریان $I=2\,\mathrm{A}$، داریم:
$F=(2\,\mathrm{A})(2\,\mathrm{m})(4.5\times10^{-5}\,\mathrm{T})\sin90^\circ=1.8\times10^{-4}\,\mathrm{N}$.

۴. تعیین جهت نیرو: نیروی مغناطیسی بر سیم هم بر راستای جریان و هم بر میدان عمود است و جهت آن با قاعدهٔ دست راست تعیین می‌شود (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۹۲–۹۳). در شکل، جریان به چپ و میدان به داخل صفحه است؛ با قرار دادن انگشتان دست راست در جهت جریان و خم‌کردن آن‌ها به سوی میدان، شست رو به پایین قرار می‌گیرد. بنابراین نیروی وارد بر سیم رو به پایین است.

پس جهت نیرو رو به پایین و بزرگی آن $1.8\times10^{-4}\,\mathrm{N}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: تعیین بیشینهٔ جریان
در جریان سینوسی، ضریب تابع سینوس دامنهٔ جریان است؛ همان روشی که در مثال جریان متناوب کتاب به کار رفته است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۵–۱۲۶). بنابراین از معادلهٔ $I=5\sin(100\pi t)$ داریم:
$I_{\mathrm m}=5\,\mathrm A$.
عدد $100\pi$ مربوط به تغییرات زمانی جریان است و برای محاسبهٔ بیشینهٔ انرژی به آن نیازی نداریم.

گام دوم: محاسبهٔ ضریب القاوری
انرژی ذخیره‌شده در القاگر از رابطهٔ $U=\frac12 LI^2$ به دست می‌آید (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۱). چون انرژی به مربع جریان وابسته است، در بیشینهٔ قدرمطلق جریان، انرژی نیز بیشینه می‌شود:
$U_{\max}=\frac12 LI_{\mathrm m}^{2}$.
با تبدیل انرژی به ژول داریم:
$U_{\max}=5\,\mathrm{mJ}=5\times10^{-3}\,\mathrm J$.
پس:
$L=\frac{2U_{\max}}{I_{\mathrm m}^{2}}=\frac{2\times5\times10^{-3}}{5^2}=4\times10^{-4}\,\mathrm H$.

گام سوم: تبدیل یکاهای هندسی
طول داده‌شده با نگارش اعشاری رایج در صورت سؤال، برابر است با:
$l=6.28\,\mathrm{cm}=0.0628\,\mathrm m$.
همچنین برای سطح هر حلقه داریم:
$A=20\,\mathrm{cm^2}=20\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}=2\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}$.

گام چهارم: محاسبهٔ تعداد حلقه‌ها
ضریب القاوری سیملولهٔ آرمانی بدون هسته از رابطهٔ $L=\mu_0\frac{AN^2}{l}$ به دست می‌آید (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۹–۱۲۰). بنابراین:
$N^2=\frac{Ll}{\mu_0 A}=\frac{(4\times10^{-4})(0.0628)}{(4\pi\times10^{-7})(2\times10^{-3})}$.
با تقریب $\pi\simeq3.14$:
$N^2\simeq10^4\quad\Rightarrow\quad N=100$.
پس سیملوله دارای $100$ حلقه است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: نیروی مغناطیسی را مقایسه می‌کنیم.
طبق رابطهٔ نیروی مغناطیسی، $F=|q|vB\sin\theta$ است؛ این نیرو بر سرعت ذره عمود است و جهت حرکت آن را تغییر می‌دهد (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۸۹). چون دو ذره با تندی و جهت یکسان وارد یک میدان می‌شوند، مقدارهای $v$، $B$ و زاویهٔ $\theta$ برای آن‌ها یکسان است.

گام دوم: رابطهٔ شعاع انحنا را به دست می‌آوریم.
نیروی عمود بر سرعت با شعاع انحنای مسیر رابطهٔ $F=mv^2/r$ دارد. بنابراین، با فرض انحراف ذرات، یعنی $\sin\theta\ne0$، داریم:
$r=\frac{mv^2}{F}=\frac{mv}{|q|B\sin\theta}$
پس در شرایط این سؤال، شعاع انحنا با نسبت جرم به بزرگی بار متناسب است:
$r\propto\frac{m}{|q|}$

گام سوم: جرم و بار دو ذره را در نظر می‌گیریم.
ذرهٔ $\alpha$ هستهٔ هلیم است و بار آن $+2e$ است. ذرهٔ $\beta$ در این مقایسه الکترون است و بزرگی بار آن $e$ است. همچنین جرم آلفا بسیار بیشتر از جرم بتاست؛ به‌طوری‌که $m_\alpha>2m_\beta$.
بنابراین:
$\frac{r_\alpha}{r_\beta}=\frac{m_\alpha/|q_\alpha|}{m_\beta/|q_\beta|}=\frac{m_\alpha}{2m_\beta}>1$
در نتیجه، شعاع انحنای مسیر ذرهٔ $\beta$ کوچک‌تر است. علت اصلی، جرم بسیار کمتر آن است که اثر بار کمترش را نیز جبران می‌کند. نیروی بیشتر وارد بر آلفا به‌تنهایی نشانهٔ انحراف بیشتر نیست؛ شتاب به نسبت نیرو به جرم بستگی دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۱

طبق تعریف کتاب، چگالی ماده از رابطهٔ $\rho=\frac{m}{V}$ به دست می‌آید (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۶–۱۷).

گام اول ـ خواندن نمودار: محور افقی جرم و محور عمودی حجم است. بنابراین در جرم $12\,\mathrm{g}$، حجم مایع $A$ برابر $10\,\mathrm{cm^3}$ و حجم مایع $B$ برابر $5\,\mathrm{cm^3}$ است. توجه کنید که شیب این نمودار $\frac{V}{m}=\frac{1}{\rho}$ است، نه خود چگالی.

گام دوم ـ انتخاب جرم‌های مساوی: چون چگالی هر مایع ثابت است، برای محاسبه می‌توانیم از هرکدام $12\,\mathrm{g}$ برداریم. در نتیجه جرم کل برابر است با:
$m_{\text{کل}}=12+12=24\,\mathrm{g}$.

با فرض جمع‌پذیری حجم‌ها، که فرض ضمنی این پرسش است، حجم مخلوط برابر می‌شود با:
$V_{\text{مخلوط}}=10+5=15\,\mathrm{cm^3}$.

گام سوم ـ محاسبهٔ چگالی مخلوط:
$\rho_{\text{مخلوط}}=\frac{m_{\text{کل}}}{V_{\text{مخلوط}}}=\frac{24}{15}=1.6\,\mathrm{g/cm^3}$.

در نگارش گزینه‌های سؤال، علامت «/» نشانهٔ اعشار است؛ بنابراین مقدار به‌دست‌آمده با گزینهٔ دوم مطابقت دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

این مسئله با برابری فشار در نقاط هم‌ترازِ یک مایع ساکن و پیوسته حل می‌شود؛ همان روشی که در مسائل لولهٔ مرتبطِ مبحث فشار در شاره‌ها به کار می‌رود (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۰–۵۱).

گام اول: اختلاف ارتفاع نهایی دو سطح جیوه را پیدا می‌کنیم.
سطح مقطع دو شاخه برابر است و حجم جیوه تغییر نمی‌کند؛ بنابراین وقتی جیوه در شاخهٔ مقابل به اندازهٔ $x=0.5\,\mathrm{cm}$ بالا می‌آید، در شاخهٔ زیر الکل نیز به همین اندازه پایین می‌رود. پس اختلاف ارتفاع نهایی دو سطح جیوه برابر است با:
$\Delta h=x+x=2(0.5)=1\,\mathrm{cm}$

گام دوم: فشارها را در یک تراز مقایسه می‌کنیم.
ارتفاع ستون الکل را $h$ و فشار هوای محیط را $p_0$ می‌نامیم. در مرز الکل و جیوه، فشار از سمت ستون الکل برابر است با:
$p=p_0+\rho_{\text{الکل}}gh$
در شاخهٔ مقابل، نقطهٔ هم‌تراز با این مرز، به اندازهٔ $\Delta h$ پایین‌تر از سطح آزاد جیوه قرار دارد؛ پس فشار آن برابر است با:
$p=p_0+\rho_{\text{جیوه}}g\Delta h$
با برابر قرار دادن این دو فشار و حذف فشار جو و شتاب گرانش داریم:
$\rho_{\text{الکل}}h=\rho_{\text{جیوه}}\Delta h$
بنابراین، با استفاده از یکاهای سازگارِ داده‌شده:
$h=\dfrac{13.6}{0.8}\times1=17\,\mathrm{cm}$

گام سوم: حجم الکل را محاسبه می‌کنیم.
حجم ستون الکل برابر حاصل‌ضرب سطح مقطع در ارتفاع آن است؛ رابطهٔ هندسی $V=Ah$ در بحث حجم شاره در لوله نیز به کار رفته است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۳–۴۴).
$V=Ah=(2\,\mathrm{cm^2})(17\,\mathrm{cm})=34\,\mathrm{cm^3}$

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. تعیین حالت نهایی برای کمترین جرم بخار

برای اینکه تمام یخ با کمترین مقدار بخار ذوب شود، دمای نهایی باید $0^\circ\mathrm{C}$ باشد؛ زیرا گرم‌کردن آب حاصل از ذوب تا دمایی بالاتر، به گرمای بیشتری نیاز دارد. یخ از ابتدا در نقطهٔ ذوب است، پس فقط گرمای نهان ذوب می‌گیرد و نیازی به افزایش دمای آن نیست. تفکیک گرمای تغییر دما از گرمای ذوب، مطابق روش مثال کتاب است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰۶).

۲. محاسبهٔ گرمای موردنیاز

گرمای لازم برای ذوب یخ برابر است با:

$Q_{\text{یخ}}=m_{\text{یخ}}L_F=(100)(336)=33600\,\mathrm{J}$

محفظه نیز $6540\,\mathrm{J}$ گرما جذب می‌کند؛ بنابراین کل گرمای موردنیاز برابر است با:

$Q_{\text{لازم}}=33600+6540=40140\,\mathrm{J}$

۳. محاسبهٔ گرمای آزادشده از بخار

بخار در فشار یک اتمسفر ابتدا در دمای $100^\circ\mathrm{C}$ میعان می‌کند و سپس آب حاصل از آن تا $0^\circ\mathrm{C}$ سرد می‌شود. پس باید گرمای هر دو مرحله را در نظر بگیریم. در تغییر حالت، گرمای نهان مبادله می‌شود و دما ثابت می‌ماند؛ این تمایز در تمرین‌های تغییر حالت کتاب نیز مطرح شده است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۲۵ و ۱۲۶).

برای سازگاری واحدها، گرمای ویژهٔ آب را برحسب گرم می‌نویسیم:

$c_{\text{آب}}=4200\,\mathrm{J/(kg\cdot K)}=4.2\,\mathrm{J/(g\cdot K)}$

اگر جرم بخار $m$ گرم باشد، اندازهٔ گرمای آزادشدهٔ آن برابر است با:

$Q_{\text{بخار}}=mL_V+mc_{\text{آب}}(100-0)$

$Q_{\text{بخار}}=m[2256+4.2\times100]=2676m$

۴. برقراری موازنهٔ گرما

گرمای آزادشده از بخار، صرف ذوب یخ و گرم‌کردن محفظه می‌شود:

$2676m=40140$

$m=\dfrac{40140}{2676}=15\,\mathrm{g}$

بنابراین این جرم بخار دقیقاً گرمای لازم برای ذوب کامل یخ و تأمین گرمای جذب‌شده توسط محفظه را فراهم می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۲

سطح مقطع پیستون را $A$ و فشار هوا را $P_0=10^5\,\mathrm{Pa}$ می‌نامیم.

گام اول: فشار گاز در دو حالت تعادل
در حالت اولیه، نیروی رو به بالای گاز با مجموع نیروی فشار هوا و وزن پیستون برابر است؛ بنابراین:
$P_1A=P_0A+W\quad\Rightarrow\quad P_1=P_0+\frac{40\,\mathrm{N}}{A}$
پس از قرار دادن وزنه، وزن کل وارد بر گاز برابر $40+80=120\,\mathrm{N}$ می‌شود. در تعادل نهایی داریم:
$P_2A=P_0A+120\,\mathrm{N}\quad\Rightarrow\quad P_2=P_0+\frac{120\,\mathrm{N}}{A}$
در قوانین گازها باید فشار مطلق را به کار برد؛ یعنی فشار جو نیز باید در فشار گاز منظور شود، نه فقط فشار ناشی از وزن‌ها (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۱۸–۱۱۹).

گام دوم: حجم گاز در دو حالت
ارتفاع اولیهٔ گاز $h_1=26\,\mathrm{cm}$ است و با پایین‌آمدن پیستون به اندازهٔ $4\,\mathrm{cm}$، ارتفاع نهایی می‌شود:
$h_2=26-4=22\,\mathrm{cm}$
چون سطح مقطع استوانه ثابت است:
$V_1=Ah_1,\qquad V_2=Ah_2$

گام سوم: استفاده از قانون بویل
دما و مقدار گاز ثابت‌اند؛ پس مطابق قانون بویل داریم $P_1V_1=P_2V_2$ (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۲۰–۱۲۱). با جای‌گذاری فشارها و حجم‌ها:
$\left(P_0+\frac{40\,\mathrm{N}}{A}\right)Ah_1=\left(P_0+\frac{120\,\mathrm{N}}{A}\right)Ah_2$
بنابراین:
$(P_0A+40\,\mathrm{N})h_1=(P_0A+120\,\mathrm{N})h_2$
ارتفاع‌ها را به متر تبدیل می‌کنیم و جای می‌گذاریم:
$(P_0A+40\,\mathrm{N})(0.26\,\mathrm{m})=(P_0A+120\,\mathrm{N})(0.22\,\mathrm{m})$
با مرتب‌کردن عبارت‌ها:
$(0.04\,\mathrm{m})P_0A=16\,\mathrm{N\,m}\quad\Rightarrow\quad P_0A=400\,\mathrm{N}$
پس:
$A=\frac{400\,\mathrm{N}}{10^5\,\mathrm{Pa}}=4\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}=40\,\mathrm{cm^2}$

پاسخ: گزینهٔ ۲