سوال ۷۵ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سطح مقطع پیستون را $A$ و فشار هوا را $P_0=10^5\,\mathrm{Pa}$ می‌نامیم.

گام اول: فشار گاز در دو حالت تعادل
در حالت اولیه، نیروی رو به بالای گاز با مجموع نیروی فشار هوا و وزن پیستون برابر است؛ بنابراین:
$P_1A=P_0A+W\quad\Rightarrow\quad P_1=P_0+\frac{40\,\mathrm{N}}{A}$
پس از قرار دادن وزنه، وزن کل وارد بر گاز برابر $40+80=120\,\mathrm{N}$ می‌شود. در تعادل نهایی داریم:
$P_2A=P_0A+120\,\mathrm{N}\quad\Rightarrow\quad P_2=P_0+\frac{120\,\mathrm{N}}{A}$
در قوانین گازها باید فشار مطلق را به کار برد؛ یعنی فشار جو نیز باید در فشار گاز منظور شود، نه فقط فشار ناشی از وزن‌ها (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۱۸–۱۱۹).

گام دوم: حجم گاز در دو حالت
ارتفاع اولیهٔ گاز $h_1=26\,\mathrm{cm}$ است و با پایین‌آمدن پیستون به اندازهٔ $4\,\mathrm{cm}$، ارتفاع نهایی می‌شود:
$h_2=26-4=22\,\mathrm{cm}$
چون سطح مقطع استوانه ثابت است:
$V_1=Ah_1,\qquad V_2=Ah_2$

گام سوم: استفاده از قانون بویل
دما و مقدار گاز ثابت‌اند؛ پس مطابق قانون بویل داریم $P_1V_1=P_2V_2$ (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۲۰–۱۲۱). با جای‌گذاری فشارها و حجم‌ها:
$\left(P_0+\frac{40\,\mathrm{N}}{A}\right)Ah_1=\left(P_0+\frac{120\,\mathrm{N}}{A}\right)Ah_2$
بنابراین:
$(P_0A+40\,\mathrm{N})h_1=(P_0A+120\,\mathrm{N})h_2$
ارتفاع‌ها را به متر تبدیل می‌کنیم و جای می‌گذاریم:
$(P_0A+40\,\mathrm{N})(0.26\,\mathrm{m})=(P_0A+120\,\mathrm{N})(0.22\,\mathrm{m})$
با مرتب‌کردن عبارت‌ها:
$(0.04\,\mathrm{m})P_0A=16\,\mathrm{N\,m}\quad\Rightarrow\quad P_0A=400\,\mathrm{N}$
پس:
$A=\frac{400\,\mathrm{N}}{10^5\,\mathrm{Pa}}=4\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}=40\,\mathrm{cm^2}$

پاسخ: گزینهٔ ۲