سوالات فیزیک کنکور تجربی ۱۳۹۹ با پاسخ تشریحی

گام اول: رابطهٔ جابه‌جایی را بنویسیم.
در حرکت با شتاب ثابت از حال سکون، سرعت برابر $v=at$ است. همچنین جابه‌جایی از مساحت زیر نمودار سرعت ــ زمان به دست می‌آید (فیزیک ۳، صفحهٔ ۲۰–۲۱). این مساحت در اینجا یک مثلث است؛ بنابراین:
$\Delta x=\frac{1}{2}tv=\frac{1}{2}at^2$

گام دوم: زمان‌های رسیدن را مقایسه کنیم.
جهت مثبت محور را به سوی مقصد می‌گیریم. چون مبدأ و مقصد دو متحرک یکسان است، جابه‌جایی آن‌ها برابر است. زمان حرکت جسم با شتاب $a$ را $t_1$ و زمان جسم با شتاب $\frac{9}{16}a$ را $t_2$ می‌نامیم. پس:
$\frac{1}{2}at_1^2=\frac{1}{2}\times\frac{9}{16}at_2^2$
با ساده‌کردن و گرفتن ریشهٔ مثبت، چون زمان حرکت مثبت است، داریم:
$\frac{t_1}{t_2}=\frac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad t_2=\frac{4}{3}t_1$
پس جسم با شتاب بیشتر، یعنی $a$، زودتر می‌رسد و زمان خواسته‌شده $t_1$ است.

گام سوم: از اختلاف زمان رسیدن استفاده کنیم.
طبق صورت سؤال:
$t_2-t_1=2\,\mathrm{s}$
بنابراین:
$\frac{4}{3}t_1-t_1=2\,\mathrm{s}\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{3}t_1=2\,\mathrm{s}\quad\Rightarrow\quad t_1=6\,\mathrm{s}$
برای کنترل، زمان جسم دیگر $8\,\mathrm{s}$ می‌شود که اختلاف آن با زمان جسم زودرس همان $2\,\mathrm{s}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: لحظهٔ تغییر جهت را مشخص می‌کنیم.
شیب نمودار مکان ــ زمان برابر سرعت است؛ بنابراین در رأس سهمی، یعنی $t=2\,\mathrm{s}$، سرعت صفر است. پیش از رأس شیب منفی و پس از آن مثبت است؛ پس متحرک در این لحظه تغییر جهت می‌دهد. این روشِ خواندن سرعت از شیب نمودار در مثال کتاب نیز به کار رفته است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۷–۱۸).

گام دوم: جابه‌جایی کل را به دست می‌آوریم.
با استفاده از تعریف سرعت متوسط داریم:
$\Delta x=\bar v\Delta t=(3\,\mathrm{m/s})(6-1)\,\mathrm{s}=15\,\mathrm{m}$.
این مقدار جابه‌جایی است، نه مسافت؛ زیرا در بازهٔ موردنظر تغییر جهت رخ داده است. در محاسبهٔ جابه‌جایی، بخش‌های حرکت با علامت در نظر گرفته می‌شوند، اما برای مسافت، طول بخش‌های مسیر را جمع می‌کنیم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹–۲۱).

گام سوم: شتاب حرکت را پیدا می‌کنیم.
اگر مکان رأس را $x_\mathrm{رأس}$ بنامیم، چون سرعت در رأس صفر است، رابطهٔ مکان در حرکت با شتاب ثابت به صورت زیر نوشته می‌شود (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۷–۱۸):
$x(t)=x_\mathrm{رأس}+\frac{1}{2}a(t-2\,\mathrm{s})^2$.
پس اختلاف مکان دو انتهای بازه برابر است با:
$x(6\,\mathrm{s})-x(1\,\mathrm{s})=\frac{1}{2}a\left[(4\,\mathrm{s})^2-(-1\,\mathrm{s})^2\right]=15\,\mathrm{m}$.
بنابراین:
$\frac{15}{2}a\,\mathrm{s^2}=15\,\mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad a=2\,\mathrm{m/s^2}$.

گام چهارم: مسافت دو بخش حرکت را جمع می‌کنیم.
از آغاز بازه تا رأس، متحرک در جهت منفی حرکت می‌کند و طول مسیر آن برابر است با:
$d_1=x(1\,\mathrm{s})-x_\mathrm{رأس}=\frac{1}{2}(2\,\mathrm{m/s^2})(1\,\mathrm{s})^2=1\,\mathrm{m}$.
از رأس تا انتهای بازه، حرکت در جهت مثبت است و داریم:
$d_2=x(6\,\mathrm{s})-x_\mathrm{رأس}=\frac{1}{2}(2\,\mathrm{m/s^2})(4\,\mathrm{s})^2=16\,\mathrm{m}$.
پس مسافت کل برابر است با:
$d=d_1+d_2=1+16=17\,\mathrm{m}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

برای یافتن لحظه‌های عبور از مبدأ باید شرط $x=0$ را بررسی کنیم. در هر بازه، شتاب ثابت است؛ بنابراین از رابطه‌های $v=v_i+a\Delta t$ و $x=x_i+v_i\Delta t+\tfrac{1}{2}a(\Delta t)^2$ استفاده می‌کنیم. کاربرد مرحله‌ای رابطهٔ مکان در حرکت با شتاب ثابت در کتاب نیز آمده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۲۰).

گام اول: بررسی بازهٔ نخست
در بازهٔ $0\leq t\leq10\,\mathrm{s}$، مکان اولیه صفر، سرعت اولیه $10\,\mathrm{m/s}$ و شتاب $-2\,\mathrm{m/s^2}$ است. پس:
$x=(10\,\mathrm{m/s})t+\tfrac{1}{2}(-2\,\mathrm{m/s^2})t^2$.
با قرار دادن $x=0$ داریم:
$t[(10\,\mathrm{m/s})-(1\,\mathrm{m/s^2})t]=0$.
ریشه‌ها $t=0$ و $t=10\,\mathrm{s}$ هستند. طبق صورت سؤال، لحظهٔ آغاز حرکت نخستین عبور محسوب می‌شود؛ بنابراین در $t=10\,\mathrm{s}$ متحرک برای دومین بار از مبدأ می‌گذرد.

گام دوم: تعیین شرایط آغاز بازهٔ دوم
سرعت در لحظهٔ تغییر شتاب برابر است با:
$v(10\,\mathrm{s})=10\,\mathrm{m/s}+(-2\,\mathrm{m/s^2})(10\,\mathrm{s})=-10\,\mathrm{m/s}$.
پس بازهٔ دوم با مکان صفر، سرعت $-10\,\mathrm{m/s}$ و شتاب $+3\,\mathrm{m/s^2}$ آغاز می‌شود. توجه کنید که تغییر شتاب، سرعت را ناگهان تغییر نمی‌دهد.

گام سوم: یافتن بازگشت بعدی به مبدأ
زمان سپری‌شده از آغاز بازهٔ دوم را $\tau=t-10\,\mathrm{s}$ تعریف می‌کنیم. در این صورت:
$x=(-10\,\mathrm{m/s})\tau+\tfrac{1}{2}(3\,\mathrm{m/s^2})\tau^2$.
برای عبور از مبدأ:
$0=\tau[-10\,\mathrm{m/s}+(\tfrac{3}{2}\,\mathrm{m/s^2})\tau]$.
ریشهٔ $\tau=0$ همان عبور دوم است. ریشهٔ دیگر برابر است با:
$\tau=\dfrac{10\,\mathrm{m/s}}{\tfrac{3}{2}\,\mathrm{m/s^2}}=\dfrac{20}{3}\,\mathrm{s}$.
بنابراین زمان سومین عبور، از مبدأ زمان سؤال، برابر است با:
$t=10\,\mathrm{s}+\dfrac{20}{3}\,\mathrm{s}=\dfrac{50}{3}\,\mathrm{s}$.
این زمان در بازهٔ دوم نمودار قرار دارد و معتبر است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

حرکت جعبه دو مرحله دارد: ابتدا با طناب کشیده می‌شود و تندشونده است؛ پس از پارگی طناب، بر اثر اصطکاک کند می‌شود تا بایستد. جهت راست را مثبت می‌گیریم.

گام اول: محاسبۀ اصطکاک جنبشی
چون طناب افقی است و جعبه شتاب قائم ندارد، نیروی عمودی سطح برابر وزن جعبه است. مطابق روش مثال کتاب برای جعبه روی سطح افقی (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۰–۴۱):
$N=mg=100\times10=1000\,\mathrm{N}$
پس نیروی اصطکاک جنبشی، در خلاف جهت حرکت، برابر است با:
$f_k=\mu_kN=0.5\times1000=500\,\mathrm{N}$

گام دوم: حرکت پیش از پارگی طناب
طبق قانون دوم نیوتون، باید اصطکاک را از نیروی کشش کم کنیم؛ همین روش در مثال جعبۀ متصل به طناب به کار رفته است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۲–۴۳):
$a_1=\frac{T-f_k}{m}=\frac{550-500}{100}=0.5\,\mathrm{m/s^2}$
جعبه از سکون شروع به حرکت کرده است؛ بنابراین سرعت آن در لحظۀ پارگی طناب:
$v_1=v_0+a_1t=0+0.5\times4=2\,\mathrm{m/s}$
مسافت طی‌شده تا این لحظه نیز برابر است با:
$s_1=v_0t+\frac12a_1t^2=0+\frac12\times0.5\times4^2=4\,\mathrm{m}$

گام سوم: حرکت پس از پارگی طناب تا توقف
با پارگی طناب، کشش حذف می‌شود، اما جعبه فوراً نمی‌ایستد؛ اصطکاک جنبشی همچنان خلاف حرکت اثر می‌کند. این مرحله از نوع حرکت جسم روی سطح زبر تا توقف است که در مسئلۀ کتاب نیز مطرح شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۱، مسئلۀ ۱۱).
$a_2=-\frac{f_k}{m}=-\frac{500}{100}=-5\,\mathrm{m/s^2}$
با استفاده از رابطۀ مستقل از زمان و قرار دادن سرعت نهایی برابر صفر:
$v_f^2-v_1^2=2a_2s_2$
$0-2^2=2(-5)s_2\quad\Rightarrow\quad s_2=0.4\,\mathrm{m}$

گام چهارم: مسافت کل
در هر دو مرحله جعبه به سمت راست حرکت می‌کند؛ پس مسافت کل برابر مجموع دو مسافت است:
$s_{\mathrm{کل}}=s_1+s_2=4+0.4=4.4\,\mathrm{m}$

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. نیروی سطح را به دو مؤلفه تجزیه می‌کنیم. نیروی عمودی سطح، عمود بر سطح تماس است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۳۵–۳۶)، اما تمام نیروی واردشده از طرف سطح نیست؛ اصطکاک نیز از طرف سطح وارد می‌شود. بنابراین نیروی موردنظر سؤال، برآیند نیروی عمودی سطح و اصطکاک جنبشی است:
$\vec R=\vec F_N+\vec f_k$.
تمایز این دو مؤلفهٔ نیروی تماس در توضیح میکروسکوپی نیروهای سطح نیز مطرح شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۸).

۲. وضعیت نخست را بررسی می‌کنیم. چون جسم با سرعت ثابت حرکت می‌کند، شتاب و در نتیجه نیروی خالص آن صفر است؛ این نتیجه از قانون دوم نیوتون به دست می‌آید (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۰). پس در راستای افقی و قائم داریم:
$f_{k1}=F_1$،
$F_{N1}=mg+F_2$.
از طرفی، برای لغزش روی سطح، رابطهٔ اصطکاک جنبشی برابر است با:
$f_{k1}=\mu_k F_{N1}$.
بنابراین زاویهٔ نیروی سطح با افق از رابطهٔ زیر تعیین می‌شود:
$\tan\theta_1=\dfrac{F_{N1}}{f_{k1}}=\dfrac{1}{\mu_k}$.

۳. جهت نیروی قائم را معکوس می‌کنیم. اکنون این نیرو رو به بالاست و نیروی عمودی سطح کاهش می‌یابد:
$F_{N2}=mg-F_2$.
جسم همچنان با سطح در تماس است و هنگام لغزش داریم:
$f_{k2}=\mu_k F_{N2}$.
در نتیجه:
$\tan\theta_2=\dfrac{F_{N2}}{f_{k2}}=\dfrac{1}{\mu_k}=\tan\theta_1$.
پس کاهش نیروی عمودی سطح، با کاهش متناسب اصطکاک همراه است؛ اندازهٔ نیروی سطح تغییر می‌کند، ولی زاویهٔ آن با افق ثابت می‌ماند. توجه کنید که پس از تغییر جهت نیرو، نباید سرعت را همچنان ثابت فرض کنیم.

۴. بازهٔ زاویه را مشخص می‌کنیم. در حالت نخست، اصطکاک با نیروی افقیِ غیرصفر موازنه می‌کند، پس مؤلفهٔ افقی نیروی سطح صفر نیست. بنابراین نیروی سطح قائم نیست و زاویهٔ آن با افق کمتر از زاویهٔ قائمه است:
$\theta_2=\theta_1<90^\circ$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. تعیین شتاب و نیروهای وارد بر کتاب

کتاب نسبت به آسانسور ساکن است؛ بنابراین نسبت به زمین همراه آسانسور شتاب رو به بالای $a=2\,\mathrm{m/s^2}$ دارد. پس نباید برآیند نیروهای قائم وارد بر آن را صفر بگیریم. کاربرد قانون دوم نیوتون در آسانسور شتاب‌دار در تمرین‌های کتاب نیز مطرح شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۰، مسئلهٔ ۲).

چهار نیرو به کتاب وارد می‌شود: وزن $mg$ رو به پایین، نیروی دست $F$ به سوی دیوار، نیروی عمودی سطح $N$ از دیوار و به سمت راست، و اصطکاک ایستایی $f_s$ از دیوار رو به بالا. بررسی همین نوع تماس کتاب و دیوار در کتاب درسی آمده است (فیزیک ۳، صفحات ۵۱–۵۲، مسئلهٔ ۱۵). چون کتاب روی دیوار نمی‌لغزد، اصطکاک از نوع ایستایی است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۷).

۲. محاسبهٔ مؤلفهٔ افقی نیروی تماس

شتاب افقی کتاب صفر است؛ بنابراین:

$\sum F_x=0\quad\Rightarrow\quad N-F=0$

$N=32\,\mathrm{N}$

۳. محاسبهٔ مؤلفهٔ قائم نیروی تماس

با انتخاب جهت بالا به‌عنوان جهت مثبت، قانون دوم نیوتون می‌دهد:

$f_s-mg=ma$

$f_s=m(g+a)=2(10+2)=24\,\mathrm{N}$

بنابراین اصطکاک علاوه بر مقابله با وزن، شتاب رو به بالای کتاب را نیز تأمین می‌کند.

۴. محاسبهٔ نیروی کتاب بر دیوار

نیروی دیوار بر کتاب، برآیند دو مؤلفهٔ عمود بر همِ نیروی عمودی سطح و اصطکاک است. طبق قانون سوم نیوتون، نیروی کتاب بر دیوار هم‌اندازه و خلاف جهت این برآیند است؛ پس اندازهٔ آن برابر است با:

$R=\sqrt{N^2+f_s^2}=\sqrt{32^2+24^2}=40\,\mathrm{N}$

نکتهٔ اصلی این است که سؤال، کل نیروی کتاب بر دیوار را می‌خواهد، نه فقط نیروی عمودی سطح را.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول ـ تعیین انرژی مکانیکی: سطح بدون اصطکاک است، پس انرژی مکانیکی نوسانگر ثابت می‌ماند و داریم: $E=K+U$. استفاده از این پایستگی، مبنای حل مسئله‌های بخش انرژی نوسانگر نیز هست (فیزیک ۳، صفحهٔ ۸۹، مسئله‌های ۶ و ۷).

هنگام عبور از تعادل، تندی نوسانگر بیشینه است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۵۵–۵۶). در این مکان فنر تغییر طول ندارد، بنابراین انرژی پتانسیل کشسانی صفر است و تمام انرژی مکانیکی به صورت انرژی جنبشی است؛ در نتیجه: $E=K_{\max}=0.8\,\mathrm{mJ}$.

گام دوم ـ محاسبهٔ انرژی جنبشی در لحظهٔ موردنظر: وقتی انرژی پتانسیل برابر $0.4\,\mathrm{mJ}$ است، انرژی جنبشی از تفاضل انرژی مکانیکی و پتانسیل به دست می‌آید:
$K=E-U=0.8-0.4=0.4\,\mathrm{mJ}=4\times10^{-4}\,\mathrm{J}$.

گام سوم ـ محاسبهٔ تندی: ابتدا جرم را به یکای SI تبدیل می‌کنیم: $m=100\,\mathrm{g}=0.1\,\mathrm{kg}$. سپس از رابطهٔ انرژی جنبشی استفاده می‌کنیم:
$K=\frac12 mv^2\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2K}{m}}$.

با جای‌گذاری داده‌ها:
$v=\sqrt{\frac{2\times4\times10^{-4}}{0.1}}\,\mathrm{m/s}=\sqrt{8\times10^{-3}}\,\mathrm{m/s}$.

اکنون تندی را به سانتی‌متر بر ثانیه تبدیل می‌کنیم:
$v=100\sqrt{8\times10^{-3}}\,\mathrm{cm/s}=\sqrt{80}\,\mathrm{cm/s}=4\sqrt{5}\,\mathrm{cm/s}$.

این مقدار اندازهٔ سرعت است؛ جهت حرکت از اطلاعات سؤال مشخص نمی‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: شدت و تراز شدت را از هم متمایز می‌کنیم. طبق تعریف کتاب، تراز شدت صوت از رابطهٔ $\beta=(10\,\mathrm{dB})\log_{10}(I/I_0)$ به دست می‌آید؛ بنابراین تغییر تراز با تغییر شدت رابطه‌ای لگاریتمی دارد (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷۲–۷۳).

گام دوم: اگر شدت‌های اولیه و نهایی را به‌ترتیب $I_1$ و $I_2$ بنامیم، دادهٔ سؤال چنین است: $I_2/I_1=1000$. با کم کردن تراز اولیه از تراز نهایی داریم:
$\Delta\beta=\beta_2-\beta_1=(10\,\mathrm{dB})[\log_{10}(I_2/I_0)-\log_{10}(I_1/I_0)]=(10\,\mathrm{dB})\log_{10}(I_2/I_1)$.

گام سوم: نسبت شدت‌ها را جای‌گذاری می‌کنیم:
$\Delta\beta=(10\,\mathrm{dB})\log_{10}(1000)=(10\,\mathrm{dB})\times3=30\,\mathrm{dB}$.

پس تراز شدت صوت به اندازهٔ $30\,\mathrm{dB}$ افزایش می‌یابد، نه اینکه چند برابر شود. همچنین نیازی به محاسبهٔ تغییر دامنه نیست، زیرا نسبت شدت‌ها مستقیماً در سؤال داده شده است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

برای پاسخ، باید دو ویژگی را هم‌زمان بررسی کنیم: استفاده از پژواکِ امواج فراصوت و استفاده از اثر دوپلر برای تعیین تندی.

گام اول ـ نقش پژواک: در مکان‌یابی پژواکی، موج به جسم می‌رسد و بازتاب آن دریافت می‌شود؛ اطلاعات موج بازگشتی برای شناسایی مکان جسم به کار می‌رود (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷۹).

گام دوم ـ نقش اثر دوپلر: اگر جسم بازتابنده حرکت کند، بسامد موج بازگشتی می‌تواند با بسامد موج ارسالی متفاوت باشد. این تغییر بسامد، اطلاعاتی دربارهٔ حرکت جسم می‌دهد و می‌توان از آن برای تعیین تندی استفاده کرد (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷۹).

گام سوم ـ تطبیق با کاربرد موردنظر: در بررسی شارش خون، کاوه امواج فراصوت را به درون بدن می‌فرستد و بازتاب آن‌ها را از گویچه‌های قرمز متحرک دریافت می‌کند. با بررسی تغییر بسامد موج بازگشتی، تندی حرکت گویچه‌ها و در نتیجه تندی شارش خون تعیین می‌شود. فعالیت «اندازه‌گیری تندی شارش خون» نیز دقیقاً همین کاربردِ ترکیبیِ مکان‌یابی پژواکی و اثر دوپلر را مطرح می‌کند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷۹).

بنابراین، صرف استفاده از بازتاب، تمرکز امواج یا حتی اثر دوپلر کافی نیست؛ در این پرسش باید موج نیز فراصوت باشد.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تعیین جهت گذار: طبق مدل بور، گسیل فوتون هنگام رفتن الکترون از تراز انرژی بالاتر به تراز پایین‌تر رخ می‌دهد؛ بنابراین در این سؤال مدار اولیه باید شرط $n>3$ را داشته باشد (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۵).

۲. نوشتن رابطهٔ ریدبرگ: برای گذار گسیلی از مدار $n$ به مدار $n'$ داریم:
$\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right)$
این همان رابطه‌ای است که در محاسبات طیف خطی هیدروژن به کار می‌رود (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۲). با قرار دادن $n'=3$، $\lambda=1200\,\mathrm{nm}$ و $R=0.01\,\mathrm{nm}^{-1}$:
$\frac{1}{1200\,\mathrm{nm}}=(0.01\,\mathrm{nm}^{-1})\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{n^2}\right)$
پس با تقسیم دو طرف بر ثابت ریدبرگ:
$\frac{1}{12}=\frac{1}{9}-\frac{1}{n^2}$

۳. محاسبهٔ عدد کوانتومی مدار اولیه:
$\frac{1}{n^2}=\frac{1}{9}-\frac{1}{12}=\frac{4-3}{36}=\frac{1}{36}$
در نتیجه $n^2=36$ و چون عدد کوانتومی مدار عددی صحیح و مثبت است، $n=6$ به دست می‌آید (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۵). این مقدار شرط $n>3$ را نیز برآورده می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۳

برای تعیین ناحیهٔ طیف، ابتدا طول موج را از انرژی هر فوتون به دست می‌آوریم.

۱. رابطهٔ انرژی فوتون
طبق رابطهٔ انرژی فوتون در کتاب داریم: $E=hf=\dfrac{hc}{\lambda}$؛ بنابراین $\lambda=\dfrac{hc}{E}$ (فیزیک ۳، صفحهٔ ۹۸).

۲. تبدیل انرژی به ژول
چون ثابت پلانک برحسب ژول‌ثانیه داده شده است، انرژی را نیز به ژول تبدیل می‌کنیم. با استفاده از $1\,\mathrm{eV}=1.6\times10^{-19}\,\mathrm{J}$ داریم:
$E=(4\times10^{-7})(1.6\times10^{-19})=6.4\times10^{-26}\,\mathrm{J}$.
این تبدیل یکا در مثال کتاب نیز به کار رفته است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۹۸).

۳. محاسبهٔ طول موج
$\lambda=\dfrac{(6.63\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s})(3\times10^8\,\mathrm{m/s})}{6.4\times10^{-26}\,\mathrm{J}}\simeq3.1\,\mathrm{m}$.

۴. تعیین ناحیهٔ طیف
طول موجی در حدود چند متر در ناحیهٔ امواج رادیویی قرار دارد، نه در گسترهٔ مرئی، فرابنفش یا فروسرخ. برای مقایسه، کتاب طول موج $550\,\mathrm{nm}$ را نمونه‌ای از نور مرئی معرفی می‌کند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۹۸)؛ طول موج این سؤال میلیون‌ها برابر آن است. پس موج موردنظر رادیویی است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ـ تعیین کمیت ثابت: طبق توضیح کتاب دربارهٔ شارژ خازن، در حالت تعادل اختلاف پتانسیل خازن با اختلاف پتانسیل باتری برابر می‌شود. چون اتصال به باتری برقرار می‌ماند، پس از تغییر فاصله نیز اختلاف پتانسیل ثابت است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۲۸–۲۹):
$V'=V$
بنابراین گزارهٔ ب نادرست است.

گام دوم ـ بررسی میدان الکتریکی: برای میدان یکنواخت میان صفحه‌های خازن تخت، رابطهٔ $E=V/d$ برقرار است؛ کاربرد این رابطه در مسئلهٔ دو صفحهٔ موازی نیز مطرح شده است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۳۷–۳۸، مسئلهٔ ۱۸). با دو برابر شدن فاصله، یعنی $d'=2d$، داریم:
$E'=\frac{V'}{d'}=\frac{V}{2d}=\frac{E}{2}$
پس گزارهٔ الف درست است.

گام سوم ـ بررسی ظرفیت: ظرفیت خازن تخت از رابطهٔ $C=\varepsilon A/d$ به دست می‌آید؛ در این رابطه، $A$ مساحت هر صفحه و $\varepsilon$ گذردهی الکتریکی محیط میان صفحه‌هاست. با ثابت ماندن مساحت و جنس محیط، ظرفیت با فاصلهٔ صفحه‌ها نسبت وارون دارد؛ وابستگی ظرفیت به ساختمان خازن در پرسش‌های بخش خازن نیز بررسی شده است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۳۸، مسئله‌های ۲۱ و ۲۳). بنابراین:
$C'=\frac{\varepsilon A}{2d}=\frac{C}{2}$
پس ظرفیت نصف می‌شود، نه دو برابر؛ در نتیجه گزارهٔ پ نادرست است.

گام چهارم ـ بررسی بار: مطابق تعریف ظرفیت، $C=Q/V$ و در نتیجه $Q=CV$ است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۲۸–۲۹). چون اختلاف پتانسیل ثابت و ظرفیت نصف شده است:
$Q'=C'V'=\frac{C}{2}V=\frac{Q}{2}$
بنابراین بزرگی بار هر صفحه نصف می‌شود و گزارهٔ ت درست است. اتصال به باتری اجازهٔ جابه‌جایی بار را می‌دهد؛ پس نباید بار خازن را ثابت فرض کرد.

در نتیجه، فقط گزاره‌های الف و ت درست‌اند.
پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا مقاومت ولت‌سنج و زمان را به یکاهای مناسب تبدیل می‌کنیم:
$R_V=60\,\mathrm{k\Omega}=6\times10^4\,\Omega$، و $t=60\,\mathrm{s}$.

گام اول: محاسبهٔ جریان عبوری از ولت‌سنج
ولت‌سنج مقاومت محدود دارد؛ بنابراین با اتصال آن به باتری، مدار بسته می‌شود و جریان از ولت‌سنج و مقاومت درونی باتری می‌گذرد. مطابق رابطهٔ جریان مدار باتری در کتاب داریم (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۳):
$I=\dfrac{\mathcal{E}}{R_V+r}=\dfrac{6}{60000+3}\,\mathrm{A}$.
چون $r\ll R_V$ است، برای تعیین مرتبهٔ بزرگی می‌توان نوشت:
$I\simeq\dfrac{6}{6\times10^4}=10^{-4}\,\mathrm{A}$.

گام دوم: محاسبهٔ بار عبوری در یک دقیقه
طبق تعریف شدت جریان، بار عبوری از مقطع رسانا برابر $Q=It$ است. بنابراین:
$Q\simeq10^{-4}\times60=6\times10^{-3}\,\mathrm{C}$.

گام سوم: محاسبهٔ تعداد الکترون‌ها
بار هر الکترون از نظر اندازه برابر $e=1.6\times10^{-19}\,\mathrm{C}$ است؛ پس با استفاده از $Q=Ne$ داریم:
$N=\dfrac{Q}{e}\simeq\dfrac{6\times10^{-3}}{1.6\times10^{-19}}=3.75\times10^{16}$.
بنابراین تعداد الکترون‌های عبوری چند برابر $10^{16}$ است و مرتبهٔ موردنظر سؤال، $10^{16}$ خواهد بود.

پاسخ: گزینهٔ ۱

توان خروجی باتری، توان تحویلی آن به مدار خارجی است؛ بنابراین از رابطهٔ $P_{\text{خروجی}}=VI_{\text{کل}}$ استفاده می‌کنیم، که در آن $V$ ولتاژ دو سر باتری و $I_{\text{کل}}$ جریان عبوری از باتری است.

گام اول: توان خروجی در مدار اول
در مدار اول فقط مقاومت $25\,\Omega$ به باتری وصل است و جریان آن $2\,\mathrm{A}$ است. با استفاده از تعریف مقاومت، $R=V/I$، داریم (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶):
$V_1=I_1R=2\times25=50\,\mathrm{V}$
پس توان خروجی باتری برابر است با:
$P_1=V_1I_1=50\times2=100\,\mathrm{W}$

گام دوم: ولتاژ و جریان کل در مدار دوم
در صورت سؤال، جریان جدید مقاومت $25\,\Omega$ برابر $1.92\,\mathrm{A}$ است. بنابراین ولتاژ دو سر آن برابر است با:
$V_2=1.92\times25=48\,\mathrm{V}$
در اتصال موازی، ولتاژ دو سر مقاومت‌ها یکسان است و جریان باتری برابر مجموع جریان شاخه‌هاست (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۸). پس جریان مقاومت $100\,\Omega$ برابر می‌شود با:
$I_{100}=\frac{V_2}{100}=\frac{48}{100}=0.48\,\mathrm{A}$
بنابراین جریان کل باتری در مدار دوم:
$I_{\text{کل، دوم}}=1.92+0.48=2.40\,\mathrm{A}$

گام سوم: محاسبهٔ افزایش توان خروجی
توان خروجی باتری در مدار دوم برابر است با:
$P_2=V_2I_{\text{کل، دوم}}=48\times2.40=115.2\,\mathrm{W}$
در نتیجه:
$\Delta P=P_2-P_1=115.2-100=15.2\,\mathrm{W}$

نکتهٔ مهم این است که با افزودن شاخهٔ موازی، ولتاژ دو سر باتری از $50\,\mathrm{V}$ به $48\,\mathrm{V}$ کاهش یافته است؛ پس نباید باتری را آرمانی و ولتاژ دو سر آن را ثابت فرض کنیم.

پاسخ: گزینهٔ ۳

نکتهٔ ضروری: پاسخ تأییدشدهٔ اعلام‌شده با داده‌های صورت سؤال سازگار نیست. با توصیف فعلی مدار، گزینهٔ اول به دست می‌آید، نه گزینهٔ چهارم.

گام اول: رابطهٔ مناسب را انتخاب می‌کنیم. طبق تعریف مقاومت الکتریکی، مقاومت برابر نسبت اختلاف پتانسیل دو سر آن به جریان عبوری از خودش است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶):
$R=\frac{V_R}{I_R}$

گام دوم: داده‌های مربوط به خود مقاومت مجهول را مشخص می‌کنیم. در متن سؤال، اختلاف پتانسیل دو سر آن $V_R=12\,\mathrm{V}$ و جریان عبوری از آن $I_R=3\,\mathrm{A}$ ذکر شده است. بنابراین:
$R=\frac{12\,\mathrm{V}}{3\,\mathrm{A}}=4\,\Omega$

گام سوم: نقش بقیهٔ مدار را بررسی می‌کنیم. چون ولتاژ و جریان خود مقاومت معلوم‌اند، برای تعیین آن به مقاومت‌های موازی، نیروی محرکهٔ باتری یا مقاومت درونی باتری نیاز نداریم. وجود این اجزا، رابطهٔ ولتاژ و جریانِ خود مقاومت را تغییر نمی‌دهد.

برای رسیدن به مقدار گزینهٔ چهارم، یعنی $12\,\Omega$، با ولتاژ داده‌شده باید جریان مقاومت $1\,\mathrm{A}$ باشد. چنین جریانی مثلاً از تقسیم جریان کل $3\,\mathrm{A}$ بین سه شاخهٔ یکسان حاصل می‌شود (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۸)، اما طبق توصیف موجود، مقاومت مجهول پیش از انشعاب قرار دارد و جریان خودش $3\,\mathrm{A}$ است. پس برای تأیید کلید اعلام‌شده باید شکل اصلی یا متن سؤال بازبینی شود.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. تعیین شار هر حلقه
طبق تعریف شار مغناطیسی، $\Phi=BA\cos\theta$ و زاویهٔ $\theta$ بین میدان و خط عمود بر سطح حلقه است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۸۷). چون میدان بر سطح حلقه‌ها عمود است، با انتخاب خط عمود هم‌جهت با میدان داریم $\theta=0^\circ$؛ بنابراین:
$\Phi=BA$

۲. نوشتن قانون فاراده
طبق قانون فاراده، نیروی محرکهٔ القایی متوسط پیچه برابر $\mathcal{E}_{\mathrm{av}}=-N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۹۰). چون مساحت و جهت حلقه‌ها ثابت‌اند، اندازهٔ نیروی محرکه از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
$|\mathcal{E}_{\mathrm{av}}|=NA\left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right|$

۳. تبدیل واحدها و خواندن نمودار
مساحت هر حلقه و تعداد حلقه‌ها عبارت‌اند از:
$A=40\,\mathrm{cm^2}=40\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}=4\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}$
$N=500$
نمودار خطی است؛ پس آهنگ تغییر میدان در تمام بازه، از جمله از $0$ تا $30\,\mathrm{ms}$، ثابت است. بنابراین می‌توان شیب را از دو سر نمودار محاسبه کرد:
$\frac{\Delta B}{\Delta t}=\frac{0-0.8}{40\times10^{-3}}=-20\,\mathrm{T/s}$
برای بررسی مستقیم بازهٔ سؤال نیز، میدان در لحظهٔ $30\,\mathrm{ms}$ برابر است با:
$B_2=0.8-20(30\times10^{-3})=0.2\,\mathrm{T}$
پس در این بازه، $\Delta B=0.2-0.8=-0.6\,\mathrm{T}$ و همان شیب به دست می‌آید.

۴. محاسبهٔ اندازهٔ نیروی محرکه
$|\mathcal{E}_{\mathrm{av}}|=500\times(4\times10^{-3})\times20=40\,\mathrm{V}$
علامت منفی قانون فاراده بیانگر جهت القاست؛ در این سؤال اندازهٔ نیروی محرکه خواسته شده است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول ـ تعیین وضعیت نهایی: تراکم بیشینهٔ فنر را $x$ می‌نامیم. در این لحظه وزنه پیش از تغییر جهت حرکت، لحظه‌ای می‌ایستد؛ بنابراین انرژی جنبشی نهایی آن صفر است. نکتهٔ مهم این است که وزنه علاوه بر فاصلهٔ اولیهٔ $2\,\mathrm{m}$، هنگام فشردن فنر نیز به اندازهٔ $x$ پایین می‌رود؛ پس افت ارتفاع کل برابر $2\,\mathrm{m}+x$ است.

گام دوم ـ محاسبهٔ انرژی جنبشی اولیه: طبق رابطهٔ انرژی جنبشی در کتاب (فیزیک ۱، صفحهٔ ۵۴)، داریم:
$K_i=\frac12 mv_0^2=\frac12\times2\times2^2=4\,\mathrm{J}$.

گام سوم ـ نوشتن پایستگی انرژی: با نبود نیروهای اتلافی، انرژی مکانیکی سامانه پایسته است؛ این اصل برای سامانهٔ دارای انرژی کشسانی نیز برقرار است (فیزیک ۱، صفحه‌های ۶۹–۷۰). فنر در ابتدا فشرده نیست و در انتها انرژی جنبشی وزنه صفر است؛ بنابراین انرژی ذخیره‌شده در فنر از مجموع انرژی جنبشی اولیه و کاهش انرژی پتانسیل گرانشی تأمین می‌شود:
$E_{\mathrm{s,max}}=K_i+mg(2\,\mathrm{m}+x)$.

با جایگذاری داده‌ها و نوشتن $x$ برحسب متر:
$46=4+2\times10\times(2+x)$
$46=44+20x$
$x=\frac{46-44}{20}=0.10\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{cm}$.

پس هنگام فشرده شدن فنر نیز باید کار نیروی وزن را در نظر گرفت؛ نمی‌توان افت ارتفاع وزنه را فقط برابر فاصلهٔ اولیه تا فنر دانست.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. معیار تغییر فشار کف
طبق رابطهٔ فشار در شارهٔ ساکن، داریم:
$P_{\text{کف}}=P_0+\rho_{\text{آب}}gh$
در این رابطه، $h$ ارتفاع سطح آب نسبت به کف است. چون فشار هوا و چگالی آب تغییر نمی‌کنند، تغییر فشار کف فقط به تغییر ارتفاع آب بستگی دارد (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۴).

۲. انتقال چوب از آب به داخل ظرف شناور
در بحث شناوری، برای جسم شناورِ در حال تعادل، نیروی شناوری با وزن جسم برابر است؛ بنابراین وزن آب جابه‌جاشده برابر وزن جسم است (فیزیک ۱، بخش شناوری، صفحه‌های ۴۰–۴۱).
اگر جرم چوب را $m_{\text{چوب}}$ بگیریم، حجم آبی که چوب در حالت اولیه جابه‌جا می‌کند برابر است با:
$V_{\text{اولیهٔ چوب}}=\dfrac{m_{\text{چوب}}}{\rho_{\text{آب}}}$
با برداشتن چوب از آب، این حجم آزاد می‌شود؛ ولی با گذاشتن آن در ظرف شناور، ظرف باید وزن چوب را نیز تحمل کند. پس افزایش حجم فرورفتهٔ ظرف برابر است با:
$\Delta V_{\text{ظرف}}=\dfrac{m_{\text{چوب}}}{\rho_{\text{آب}}}$
این دو حجم دقیقاً برابرند؛ بنابراین حجم کل آب جابه‌جاشده، ارتفاع سطح آب و در نتیجه فشار کف ثابت می‌مانند.

۳. انتقال وزنهٔ فلزی از کف آب به داخل ظرف شناور
وزنه در حالت اولیه کاملاً زیر آب است و به اندازهٔ حجم خودش آب جابه‌جا می‌کند. اگر جرم و چگالی آن به‌ترتیب $m_{\text{فلز}}$ و $\rho_{\text{فلز}}$ باشند، داریم:
$V_{\text{فلز}}=\dfrac{m_{\text{فلز}}}{\rho_{\text{فلز}}}$
پس از انتقال وزنه به ظرف، ظرف برای تحمل وزن اضافه باید به اندازهٔ زیر آب بیشتری جابه‌جا کند:
$\Delta V_{\text{ظرف}}=\dfrac{m_{\text{فلز}}}{\rho_{\text{آب}}}$
وزنهٔ فلزی ته‌نشین شده است، پس چگالی آن از آب بیشتر است؛ مطابق توضیح کتاب دربارهٔ فرورفتن اجسام چگال‌تر از آب (فیزیک ۱، صفحه‌های ۴۰–۴۱):
$\rho_{\text{فلز}}>\rho_{\text{آب}}\quad\Rightarrow\quad\dfrac{m_{\text{فلز}}}{\rho_{\text{آب}}}>\dfrac{m_{\text{فلز}}}{\rho_{\text{فلز}}}$
بنابراین افزایش حجم فرورفتهٔ ظرف از حجم فلزی که از آب بیرون آورده‌ایم بیشتر است. در نتیجه سطح آب بالاتر می‌رود و فشار کف افزایش می‌یابد.

پس در انتقال چوب، فشار ثابت می‌ماند و در انتقال وزنهٔ فلزی، فشار افزایش می‌یابد.
پاسخ: گزینهٔ ۳

نکتهٔ اصلی این است که $P_1$ فشار مطلق ته استوانه است؛ بنابراین فشار هوا را هم در بر می‌گیرد. مطابق رابطهٔ فشار در شارهٔ ساکن، داریم $P=P_0+\rho gh$ (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۴). تفاوت فشار مطلق و فشار پیمانه‌ای نیز در کتاب توضیح داده شده است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۸).

گام اول: تبدیل یکاها و محاسبهٔ فشار هوا

چون $1\,\mathrm{g/L}=1\,\mathrm{kg/m^3}$، چگالی دو مایع و ارتفاع اولیه عبارت‌اند از:

$\rho_1=1250\,\mathrm{kg/m^3},\qquad \rho_2=800\,\mathrm{kg/m^3},\qquad h_1=0.10\,\mathrm{m}$

همچنین برای ستون جیوه داریم:

$\rho_{\text{جیوه}}=13500\,\mathrm{kg/m^3},\qquad h_{\text{جیوه}}=0.75\,\mathrm{m}$

فشار معادل ستون جیوه از رابطهٔ $P_0=\rho_{\text{جیوه}}gh_{\text{جیوه}}$ به دست می‌آید (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۹):

$P_0=13500\times10\times0.75=101250\,\mathrm{Pa}$

گام دوم: محاسبهٔ فشار اولیهٔ ته استوانه

$P_1=P_0+\rho_1gh_1=101250+1250\times10\times0.10=102500\,\mathrm{Pa}$

گام سوم: تعیین افزایش فشار لازم

فشار نهایی باید $1.02P_1$ باشد؛ پس:

$\Delta P=1.02P_1-P_1=0.02P_1=0.02\times102500=2050\,\mathrm{Pa}$

مایع افزوده‌شده سبک‌تر است و در مدل لایه‌ای روی مایع اولیه قرار می‌گیرد. با اعمال رابطهٔ فشار به هر لایه، فشار ته ظرف برابر مجموع فشار هوا و سهم هر دو ستون مایع است؛ بنابراین:

$P_{\text{نهایی}}=P_0+\rho_1gh_1+\rho_2gh_2=P_1+\rho_2gh_2$

در نتیجه افزایش فشار فقط ناشی از مایع افزوده‌شده است:

$\rho_2gh_2=2050\,\mathrm{Pa}$

$h_2=\frac{2050}{800\times10}=0.25625\,\mathrm{m}=25.625\,\mathrm{cm}$

گام چهارم: محاسبهٔ حجم مایع افزوده‌شده

با توجه به ثابت بودن سطح مقطع استوانه:

$V_2=Ah_2=(20\,\mathrm{cm^2})(25.625\,\mathrm{cm})=512.5\,\mathrm{cm^3}$

پاسخ: گزینهٔ ۳