سوال ۲۳۳ فیزیک کنکور تجربی ۱۳۹۹ با پاسخ تشریحی

نکتهٔ اصلی این است که $P_1$ فشار مطلق ته استوانه است؛ بنابراین فشار هوا را هم در بر می‌گیرد. مطابق رابطهٔ فشار در شارهٔ ساکن، داریم $P=P_0+\rho gh$ (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۴). تفاوت فشار مطلق و فشار پیمانه‌ای نیز در کتاب توضیح داده شده است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۸).

گام اول: تبدیل یکاها و محاسبهٔ فشار هوا

چون $1\,\mathrm{g/L}=1\,\mathrm{kg/m^3}$، چگالی دو مایع و ارتفاع اولیه عبارت‌اند از:

$\rho_1=1250\,\mathrm{kg/m^3},\qquad \rho_2=800\,\mathrm{kg/m^3},\qquad h_1=0.10\,\mathrm{m}$

همچنین برای ستون جیوه داریم:

$\rho_{\text{جیوه}}=13500\,\mathrm{kg/m^3},\qquad h_{\text{جیوه}}=0.75\,\mathrm{m}$

فشار معادل ستون جیوه از رابطهٔ $P_0=\rho_{\text{جیوه}}gh_{\text{جیوه}}$ به دست می‌آید (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۹):

$P_0=13500\times10\times0.75=101250\,\mathrm{Pa}$

گام دوم: محاسبهٔ فشار اولیهٔ ته استوانه

$P_1=P_0+\rho_1gh_1=101250+1250\times10\times0.10=102500\,\mathrm{Pa}$

گام سوم: تعیین افزایش فشار لازم

فشار نهایی باید $1.02P_1$ باشد؛ پس:

$\Delta P=1.02P_1-P_1=0.02P_1=0.02\times102500=2050\,\mathrm{Pa}$

مایع افزوده‌شده سبک‌تر است و در مدل لایه‌ای روی مایع اولیه قرار می‌گیرد. با اعمال رابطهٔ فشار به هر لایه، فشار ته ظرف برابر مجموع فشار هوا و سهم هر دو ستون مایع است؛ بنابراین:

$P_{\text{نهایی}}=P_0+\rho_1gh_1+\rho_2gh_2=P_1+\rho_2gh_2$

در نتیجه افزایش فشار فقط ناشی از مایع افزوده‌شده است:

$\rho_2gh_2=2050\,\mathrm{Pa}$

$h_2=\frac{2050}{800\times10}=0.25625\,\mathrm{m}=25.625\,\mathrm{cm}$

گام چهارم: محاسبهٔ حجم مایع افزوده‌شده

با توجه به ثابت بودن سطح مقطع استوانه:

$V_2=Ah_2=(20\,\mathrm{cm^2})(25.625\,\mathrm{cm})=512.5\,\mathrm{cm^3}$

پاسخ: گزینهٔ ۳