سوال ۲۳۰ فیزیک کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

نکتهٔ مهم دربارهٔ صورت سؤال: توصیف شکل با پاسخ تأییدشده ناسازگار است. اگر شاخهٔ چپ باریک باشد و نفت در همان شاخه ریخته شود، آبِ شاخهٔ باریک پایین می‌رود، نه بالا. پاسخ تأییدشده مربوط به حالتی است که نفت در شاخهٔ پهن ریخته شود. ابتدا این حالتِ موردنظر را حل می‌کنیم.

۱. نسبت مساحت مقطع‌ها
مساحت مقطع دایره‌ای با مربع قطر متناسب است؛ بنابراین اگر مساحت شاخهٔ باریک را $A$ بگیریم، مساحت شاخهٔ پهن برابر است با:
$A_\text{پهن}=9A$.

۲. پایستگی حجم آب
بالا آمدن آب در شاخهٔ باریک نسبت به تراز اولیه را $x$ و پایین رفتن سطح تماس آب و نفت در شاخهٔ پهن را $y$ می‌نامیم. حجم آب جابه‌جا‌شده در دو شاخه برابر است، پس:
$Ax=9Ay\Rightarrow x=9y$.
اختلاف ارتفاع نهایی دو سطح آب نیز برابر $x+y$ است.

۳. برابری فشار در نقاط هم‌تراز
در یک مایع ساکن و پیوسته، فشار نقاط هم‌تراز برابر است؛ این اصل در توضیح فشارسنج جیوه‌ای نیز به کار رفته است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۶–۳۷). همچنین افزایش فشار در عمق از رابطهٔ $\Delta P=\rho gh$ به دست می‌آید (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۵–۳۶).

در تراز سطح تماس آب و نفت، فشار سمت نفت برابر $P_0+\rho_\text{نفت}gh_\text{نفت}$ و فشار سمت آب برابر $P_0+\rho_\text{آب}g(x+y)$ است. بنابراین:
$P_0+\rho_\text{نفت}gh_\text{نفت}=P_0+\rho_\text{آب}g(x+y)$
$\Rightarrow x+y=\dfrac{\rho_\text{نفت}}{\rho_\text{آب}}h_\text{نفت}=\dfrac{0.8}{1}\times5=4\,\mathrm{cm}$.
فشار جو و شتاب گرانش از دو طرف حذف می‌شوند؛ نسبت چگالی‌ها نیز بی‌واحد است، پس می‌توان ارتفاع‌ها را برحسب سانتی‌متر محاسبه کرد.

۴. محاسبهٔ بالا آمدن آب در شاخهٔ باریک
با جای‌گذاری $y=x/9$ داریم:
$x+\dfrac{x}{9}=4\,\mathrm{cm}\Rightarrow\dfrac{10x}{9}=4\,\mathrm{cm}\Rightarrow x=3.6\,\mathrm{cm}$.

پس در آرایش سازگار با پاسخ تأییدشده، آبِ شاخهٔ باریک به اندازهٔ $3.6\,\mathrm{cm}$ بالا می‌رود. اما اگر توصیف ارائه‌شده از شکل را عیناً بپذیریم، آبِ شاخهٔ باریک به اندازهٔ $3.6\,\mathrm{cm}$ پایین می‌رود و آبِ شاخهٔ پهن $0.4\,\mathrm{cm}$ بالا می‌آید؛ بنابراین برای درست بودن عبارت «بالا رفتن آب در لولهٔ باریک»، نفت باید در شاخهٔ پهن ریخته شود.

پاسخ: گزینهٔ ۲