سوالات فیزیک کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

گام اول: جابه‌جایی را از سرعت متوسط پیدا می‌کنیم. طبق تعریف سرعت متوسط داریم:
$\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$
پس در بازهٔ داده‌شده:
$\Delta x=\bar v\,\Delta t=10\times25=250\,\mathrm{m}$

گام دوم: جابه‌جایی را با مساحت زیر نمودار مرتبط می‌کنیم. مطابق کتاب، مساحت علامت‌دار بین نمودار سرعت ــ زمان و محور زمان برابر جابه‌جایی است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۲۰–۲۱). در این سؤال نمودار بالای محور زمان قرار دارد و سطح زیر آن مثلثی با قاعدهٔ $25\,\mathrm{s}$ و ارتفاع $v_{\max}$ است؛ بنابراین:
$\Delta x=\frac{1}{2}\times25\times v_{\max}$

گام سوم: دو مقدار جابه‌جایی را برابر قرار می‌دهیم:
$250=\frac{1}{2}\times25\times v_{\max}$
$v_{\max}=\frac{2\times250}{25}=20\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

نکته: لازم نیست قله در وسط بازهٔ زمانی باشد؛ مساحت مثلث فقط به قاعده و ارتفاع آن بستگی دارد. در نتیجه، برای این نمودار مثلثی، سرعت متوسط نصف بیشینهٔ سرعت است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

ابتدا سرعت متحرک در $A$ را پیدا می‌کنیم و سپس از شرط سکون در $O$ برای محاسبهٔ فاصلهٔ خواسته‌شده استفاده می‌کنیم.

گام اول: نوشتن معادلهٔ حرکت برای بازهٔ $AB$
در حرکت با شتاب ثابت، رابطهٔ جابه‌جایی به‌صورت $\Delta x=v_0\Delta t+\tfrac{1}{2}a(\Delta t)^2$ است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۶–۱۷). با درنظرگرفتن حرکت از $A$ به $B$ در جهت مثبت محور، داریم:
$\Delta x_{AB}=160\,\mathrm{m},\qquad \Delta t_{AB}=8\,\mathrm{s},\qquad a=2\,\mathrm{m/s^2}$
بنابراین:
$160=8v_A+\tfrac{1}{2}\times2\times8^2$
$160=8v_A+64\quad\Rightarrow\quad v_A=12\,\mathrm{m/s}$
نکتهٔ مهم این است که سرعت در $O$ صفر است، نه در $A$؛ پس نباید جملهٔ مربوط به سرعت اولیهٔ بازهٔ $AB$ را حذف کنیم.

گام دوم: تعیین زمان حرکت از $O$ تا $A$
از رابطهٔ سرعت ــ زمان حرکت با شتاب ثابت، که در استخراج معادلهٔ مکان ــ زمان نیز به کار رفته است، استفاده می‌کنیم (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۶–۱۷):
$v_A=v_O+a\Delta t_{OA}$
$12=0+2\Delta t_{OA}\quad\Rightarrow\quad\Delta t_{OA}=6\,\mathrm{s}$

گام سوم: محاسبهٔ فاصلهٔ $OA$
چون متحرک در $O$ ساکن است، داریم:
$\Delta x_{OA}=\tfrac{1}{2}a(\Delta t_{OA})^2=\tfrac{1}{2}\times2\times6^2=36\,\mathrm{m}$
نقطهٔ $A$ در سمت راست $O$ قرار دارد؛ بنابراین فاصلهٔ این دو نقطه برابر اندازهٔ همین جابه‌جایی، یعنی $36\,\mathrm{m}$ است. تمایز فاصله از مبدأ و مکان نیز در کتاب تأکید شده است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۴–۱۵).

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: نیروی عمودی دیواره را تعیین می‌کنیم.
نیروی عمودی سطح بر سطح تماس عمود است؛ بنابراین در این مسئله راستای افقی دارد، نه قائم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۵–۳۶). از تعادل افقی جسم داریم:
$F_N-F=0\quad\Rightarrow\quad F_N=60\,\mathrm{N}$

گام دوم: بررسی می‌کنیم که آیا جسم پس از وارد شدن نیروی اضافی همچنان ساکن می‌ماند.
مجموع نیروهای رو به پایین برابر است با:
$W+F_{\text{اضافی}}=20+10=30\,\mathrm{N}$
برای حفظ سکون، باید اصطکاکی به همین بزرگی و رو به بالا به جسم وارد شود. طبق کتاب، اصطکاک ایستایی متناسب با نیاز تعادل تغییر می‌کند و فقط در آستانهٔ لغزش به مقدار بیشینهٔ خود می‌رسد (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۸–۳۹). بیشینهٔ آن در این مسئله برابر است با:
$f_{s,\max}=\mu_s F_N=0.6\times60=36\,\mathrm{N}$
چون $30\,\mathrm{N}<36\,\mathrm{N}$، اصطکاک ایستایی می‌تواند مانع لغزش شود؛ پس جسم همچنان ساکن می‌ماند و داریم:
$f_s=30\,\mathrm{N}$
بنابراین ضریب اصطکاک جنبشی در حل مسئله کاربردی ندارد.

گام سوم: نیروی کل جسم بر دیواره را حساب می‌کنیم.
نیروی تماس دیواره بر جسم دو مؤلفهٔ عمود بر هم دارد: نیروی عمودی سطح به سمت راست و اصطکاک به سمت بالا. مطابق روش محاسبهٔ نیروی سطح در مثال نردبان، بزرگی نیروی تماس از برآیند این دو مؤلفه به دست می‌آید (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۳–۴۴):
$R=\sqrt{F_N^2+f_s^2}=\sqrt{60^2+30^2}\,\mathrm{N}=30\sqrt{5}\,\mathrm{N}$
طبق قانون سوم نیوتون، نیروی جسم بر دیواره هم‌اندازه و خلاف جهت نیروی دیواره بر جسم است؛ بنابراین بزرگی نیروی خواسته‌شده نیز $30\sqrt{5}\,\mathrm{N}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. وزن، نیروی گرانشی واردشده از طرف زمین بر فضانورد است و از رابطهٔ $W=mg$ به دست می‌آید. جرم با تغییر مکان ثابت می‌ماند، اما شتاب گرانشی و در نتیجه وزن تغییر می‌کند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۳–۳۴).

۲. شتاب گرانشی در فاصلهٔ $r$ از مرکز زمین برابر $g=\frac{GM_e}{r^2}$ است. بنابراین، با مقایسهٔ شتاب گرانشی در مدار و سطح زمین داریم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۹):
$\displaystyle \frac{g}{g_0}=\left(\frac{R_e}{r}\right)^2$
در این سؤال، ارتفاع مدار برابر شعاع زمین است؛ پس فاصلهٔ فضانورد از مرکز زمین برابر است با:
$\displaystyle r=R_e+h=6400\,\mathrm{km}+6400\,\mathrm{km}=2R_e$

۳. در نتیجه شتاب گرانشی در مدار برابر می‌شود با:
$\displaystyle g=g_0\left(\frac{R_e}{2R_e}\right)^2=\frac{9.8}{4}=2.45\,\mathrm{m/s^2}$
پس وزن فضانورد در این ارتفاع برابر است با:
$\displaystyle W=mg=(80\,\mathrm{kg})(2.45\,\mathrm{m/s^2})=196\,\mathrm{N}$

۴. چرخیدن سفینه به دور زمین به معنی حذف گرانش نیست؛ نیروی گرانشی، حرکت مداری را ممکن می‌کند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۸). احساس بی‌وزنی ناشی از سقوط آزاد مشترک فضانورد و سفینه است و نباید آن را با صفرشدن وزن گرانشی اشتباه گرفت.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: تعیین تعادل نیروها
جسم در راستای افقی با سرعت ثابت حرکت می‌کند؛ پس شتاب آن صفر است و طبق قانون دوم نیوتون، برآیند نیروهای وارد بر آن صفر خواهد بود. بنابراین نیروی فنر به سمت راست و اصطکاک جنبشی به سمت چپ، اندازه‌های برابر دارند:
$F_{\mathrm{e}}=f_{\mathrm{k}}$.
همچنین در راستای قائم شتابی وجود ندارد و چون فنر افقی است، تنها نیروهای قائم، وزن و نیروی عمودی سطح‌اند؛ پس:
$F_{\mathrm{N}}=Mg=5\times10=50\,\mathrm{N}$.

گام دوم: محاسبهٔ نیروی فنر
طبق قانون هوک، اندازهٔ نیروی کشسانی فنر از رابطهٔ $F_{\mathrm{e}}=kx$ به دست می‌آید و تغییر طول باید برحسب متر باشد (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۱):
$x=5\,\mathrm{cm}=0.05\,\mathrm{m}$
$F_{\mathrm{e}}=200\times0.05=10\,\mathrm{N}$.
پس اصطکاک جنبشی نیز برابر با $10\,\mathrm{N}$ است.

گام سوم: محاسبهٔ ضریب اصطکاک جنبشی
طبق رابطهٔ اصطکاک جنبشی، $f_{\mathrm{k}}=\mu_{\mathrm{k}}F_{\mathrm{N}}$ (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۰). بنابراین:
$\mu_{\mathrm{k}}=\dfrac{f_{\mathrm{k}}}{F_{\mathrm{N}}}=\dfrac{10}{50}=0.2$.
ضریب اصطکاک کمیتی بدون یکا است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

منظور از توان پمپ در این پرسش، توان ورودی آن است؛ بنابراین ابتدا توان مفیدِ بالابردن آب را محاسبه می‌کنیم و سپس بازده را در نظر می‌گیریم.

گام اول: تبدیل یکاها
جرم آب جابه‌جاشده و مدت زمان داده‌شده در یکاهای SI برابرند با:
$m=252\times1000=252000\,\mathrm{kg}$
$\Delta t=1\,\mathrm{h}=3600\,\mathrm{s}$
پس جرم آب جابه‌جاشده در هر ثانیه برابر است با:
$\frac{m}{\Delta t}=\frac{252000}{3600}=70\,\mathrm{kg/s}$

گام دوم: محاسبهٔ توان مفید
انرژی مفید صرف افزایش انرژی پتانسیل گرانشی آب می‌شود؛ بنابراین $E_{\text{مفید}}=mgh$ است. با تقسیم این انرژی بر زمان، توان مفید به دست می‌آید؛ همین روش در مثال تلمبهٔ کتاب نیز به کار رفته است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۷۵–۷۶).
$P_{\text{مفید}}=\frac{mgh}{\Delta t}=\left(70\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}}\right)\left(10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}\right)(12\,\mathrm{m})=8400\,\mathrm{W}=8.4\,\mathrm{kW}$

گام سوم: اعمال بازده
طبق تعریف کتاب، بازده نسبت انرژی مفید خروجی به انرژی ورودی است؛ برای یک بازهٔ زمانی یکسان، این نسبت با نسبت توان مفید به توان ورودی برابر است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۷۴–۷۵):
$\eta=\frac{E_{\text{مفید}}}{E_{\text{ورودی}}}=\frac{P_{\text{مفید}}}{P_{\text{ورودی}}}$
با قرار دادن $\eta=0.80$ داریم:
$P_{\text{ورودی}}=\frac{P_{\text{مفید}}}{\eta}=\frac{8.4}{0.80}=10.5\,\mathrm{kW}$
این مقدار از توان مفید بیشتر است، زیرا بخشی از توان ورودی پمپ تلف می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۴

طبق قانون بازتاب، زاویهٔ تابش و زاویهٔ بازتاب نسبت به خط عمود بر سطح برابرند؛ بنابراین پرتو تابیده و بازتابیده با خودِ سطح آینه نیز زاویه‌های برابر می‌سازند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷۷).

برای جلوگیری از اشتباه در زاویه‌ها، جهت پرتو را پس از هر بازتاب نسبت به یک محور افقی ثابت دنبال می‌کنیم.

۱. محور افقیِ مثبت را روی آینهٔ اول و به‌سوی محل تقاطع دو آینه انتخاب می‌کنیم و زاویه‌ها را پادساعت‌گرد می‌سنجیم. در این دستگاه، جهت سطح آینهٔ اول $\alpha_1=0^\circ$ و جهت سطح آینهٔ دوم برابر است با:
$\alpha_2=180^\circ-50^\circ=130^\circ$
پرتوی ورودی به سمت پایین و به‌سوی آینهٔ اول حرکت می‌کند؛ پس جهت آن برابر است با:
$\theta_0=-30^\circ\equiv330^\circ$

۲. از تقارن پرتو تابیده و بازتابیده نسبت به سطح آینه نتیجه می‌شود که اگر جهت سطح آینه $\alpha$ و جهت پرتو ورودی $\theta$ باشد، جهت پرتو بازتابیده از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
$\theta'=2\alpha-\theta$
زاویه‌هایی که به اندازهٔ $360^\circ$ تفاوت دارند، یک جهت را نشان می‌دهند.

۳. در بازتاب نخست از آینهٔ اول داریم:
$\theta_1=2(0^\circ)-(-30^\circ)=30^\circ$
یعنی پرتو با زاویهٔ $30^\circ$ نسبت به افق، به سمت آینهٔ دوم می‌رود.

۴. پس از بازتاب از آینهٔ دوم:
$\theta_2=2(130^\circ)-30^\circ=230^\circ$
پس پرتو به سمت پایین و آینهٔ اول برمی‌گردد.

۵. پس از بازتاب سوم، یعنی بازتاب دوباره از آینهٔ اول:
$\theta_3=2(0^\circ)-230^\circ=-230^\circ\equiv130^\circ$

۶. اختلاف جهت پرتو اولیه و پرتو نهایی برابر است با:
$|330^\circ-130^\circ|=200^\circ$
زاویهٔ کوچک‌تر میان این دو جهت، زاویهٔ موردنظر سؤال است:
$\varphi=360^\circ-200^\circ=160^\circ$

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول ـ تعیین دامنه: نوسانگر بین دو نقطهٔ بازگشت حرکت می‌کند و فاصلهٔ این دو نقطه برابر $2A$ است؛ دامنه، فاصلهٔ نقطهٔ تعادل تا یکی از این دو نقطه است، نه طول کل مسیر (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۵). بنابراین:
$2A=4\,\mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad A=2\,\mathrm{cm}$

گام دوم ـ تعیین دوره: یک نوسان کامل شامل رفتن از یک انتهای مسیر به انتهای دیگر و بازگشت به نقطهٔ شروع است؛ دورهٔ تناوب، زمان این چرخهٔ کامل است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۴). پس پیمودن یک‌بارهٔ طول پاره‌خط، نصف دوره زمان می‌برد. طبق صورت سؤال:
$\frac{T}{2}=1\,\mathrm{s}\quad\Rightarrow\quad T=2\,\mathrm{s}$

گام سوم ـ محاسبهٔ بیشینهٔ سرعت: بسامد زاویه‌ای از رابطهٔ $\omega=\frac{2\pi}{T}$ به دست می‌آید (فیزیک ۳، صفحه‌های ۵۵–۵۶):
$\omega=\frac{2\pi}{2}=\pi\,\mathrm{rad/s}$
بیشینهٔ سرعت نوسانگر هماهنگ ساده برابر $v_{\max}=\omega A$ است و هنگام عبور از نقطهٔ تعادل رخ می‌دهد؛ محل وقوع این بیشینه نیز در کتاب بیان شده است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۵۵–۵۶). در نتیجه:
$v_{\max}=\omega A=\pi\times2=2\pi\,\mathrm{cm/s}$

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: حرکت ذرات طناب را از انتشار موج جدا می‌کنیم. در موج عرضی، ذرات طناب حول نقطهٔ تعادل خود و عمود بر راستای انتشار موج نوسان می‌کنند؛ خود ذرات همراه موج در طول طناب پیش نمی‌روند. طبق کتاب، در موج حاصل از چشمهٔ هماهنگ ساده، اجزای محیط با همان بسامد چشمه نوسان می‌کنند؛ بنابراین بسامد و دورهٔ نوسان همهٔ ذرات یکسان است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۶۱–۶۲).

گام دوم: بسامد زاویه‌ای را به بسامد یا دوره ربط می‌دهیم:
$\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$
چون $f$ و $T$ برای همهٔ ذرات مشترک‌اند، $\omega$ نیز برای همهٔ آن‌ها یکسان است.

گام سوم: علت کنار گذاشتن کمیت‌های دیگر را بررسی می‌کنیم. ذرات مختلف می‌توانند در مرحله‌های متفاوت نوسان، یعنی با فازهای متفاوت، باشند؛ این موضوع در تصاویر متوالی حرکت نقاط طناب نیز دیده می‌شود (فیزیک ۳، صفحه‌های ۶۴–۶۵). در نتیجه، در یک بازهٔ زمانی دلخواه، مسافت طی‌شده و جابه‌جایی آن‌ها الزاماً برابر نیست. همچنین چون شتاب متوسط از رابطهٔ $\vec a_{\mathrm{av}}=\Delta\vec v/\Delta t$ به دست می‌آید و تغییر سرعت ذرات لزوماً برابر نیست، شتاب متوسط نیز الزاماً یکسان نخواهد بود. البته در بازه‌های خاص، مانند یک دورهٔ کامل، بعضی از این کمیت‌ها هم می‌توانند برابر شوند؛ اما پرسش به کمیتی اشاره دارد که برابری آن برای همهٔ ذرات به انتخاب چنین بازهٔ خاصی وابسته نباشد.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تعیین رابطهٔ پژواک: پژواک صدایی است که پس از بازتاب از مانع به گوش می‌رسد (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷۸). در این مسئله، صوت فاصلهٔ شخص تا هر صخره را یک بار در رفت و یک بار در برگشت طی می‌کند؛ بنابراین، مطابق رابطهٔ زمان رفت‌وبرگشت در مثال مکان‌یابی پژواکی، داریم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷۹–۸۰):
$t=\frac{2d}{v}$

۲. محاسبهٔ تندی صوت: نخستین پژواک از صخرهٔ نزدیک‌تر می‌رسد، زیرا مسیر کوتاه‌تری دارد. با قرار دادن $d_1=510\,\mathrm{m}$ و $t_1=3\,\mathrm{s}$ در رابطهٔ بالا:
$v=\frac{2d_1}{t_1}=\frac{2\times510}{3}=340\,\mathrm{m/s}$

۳. تعیین زمان پژواک دوم: پژواک دوم، $1\,\mathrm{s}$ پس از پژواک اول شنیده می‌شود؛ پس زمان آن از لحظهٔ فریاد زدن برابر است با:
$t_2=3+1=4\,\mathrm{s}$
بنابراین فاصلهٔ شخص از صخرهٔ دورتر برابر است با:
$d_2=\frac{vt_2}{2}=\frac{340\times4}{2}=680\,\mathrm{m}$

۴. محاسبهٔ فاصلهٔ دو صخره: چون شخص بین دو صخره قرار دارد، فاصلهٔ دو صخره برابر مجموع فاصله‌های شخص از آن‌هاست:
$D=d_1+d_2=510+680=1190\,\mathrm{m}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. ابتدا مرز فیزیک کلاسیک و فیزیک جدید را مشخص می‌کنیم. کتاب، مکانیک نیوتونی و نظریهٔ الکترومغناطیسی ماکسول را از نظریه‌های اصلی فیزیک کلاسیک معرفی می‌کند؛ بنابراین این دو، خودِ چارچوب‌های کلاسیک‌اند، نه نمونه‌هایی از پدیده‌های توضیح‌ناپذیر با فیزیک کلاسیک (فیزیک ۳، صفحه‌های ۹۵–۹۶).

۲. سپس پدیده‌های خارج از توان توضیح فیزیک کلاسیک را شناسایی می‌کنیم. در مقدمهٔ فصل، اثر فوتوالکتریک و طیف‌های خطی گسیلی و جذبی اتم‌ها به‌عنوان نمونه‌های چنین پدیده‌هایی معرفی شده‌اند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۹۶).

۳. منظور از طیف خطی، طیفی شامل طول‌موج‌های معین و جدا از هم است که برای نمونه از گاز رقیق و کم‌فشار به دست می‌آید؛ بنابراین نباید آن را با طیف پیوستهٔ رشتهٔ داغ لامپ یکسان دانست (فیزیک ۳، صفحهٔ ۹۹). توضیح خطی‌بودن طیف اتمی به گسسته‌بودن ترازهای انرژی در مدل کوانتومی اتم مربوط است.

۴. سؤال می‌خواهد هر دو موردِ یک گزینه با فیزیک کلاسیک قابل توجیه نباشند. گزینهٔ اول شامل مکانیک نیوتونی و گزینه‌های سوم و چهارم شامل نظریهٔ ماکسول‌اند؛ پس حذف می‌شوند. تنها زوجِ فوتوالکتریک و طیف خطی، هر دو شرط سؤال را دارند.

پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا از معادلهٔ ریدبرگ استفاده می‌کنیم:
$\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right),\qquad n>n'$
در این رابطه، $n$ عدد کوانتومی تراز آغازین و $n'$ عدد کوانتومی تراز پایانی است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۱).

گام اول: تعیین حد کوتاه‌ترین طول‌موج هر رشته
برای کمینه شدن $\lambda$، باید $\frac{1}{\lambda}$ بیشینه شود. اگر $n'$ ثابت باشد، با افزایش $n$، مقدار $\frac{1}{n^2}$ کاهش می‌یابد؛ پس حد کوتاه‌ترین طول‌موج در حالت $n\to\infty$ به دست می‌آید. این روش در مثال کتاب نیز به کار رفته است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۲). بنابراین:
$\frac{1}{\lambda_{\min}}=\frac{R}{n'^2}\quad\Rightarrow\quad\lambda_{\min}=\frac{n'^2}{R}$

گام دوم: مقایسهٔ رشته‌ها
برای یافتن کوتاه‌ترین طول‌موج در کل طیف، باید کوچک‌ترین مقدار مجاز $n'$، یعنی $n'=1$، را انتخاب کنیم. مطابق جدول رشته‌های طیفی، تراز پایانی $n'=1$ مربوط به رشتهٔ لیمان است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۱، جدول ۴ـ۱).

گام سوم: محاسبه با ثابت داده‌شده در سؤال
$R=0.01\,(\mathrm{nm})^{-1}$
$\lambda_{\min}=\frac{1}{R}=\frac{1}{0.01\,(\mathrm{nm})^{-1}}=100\,\mathrm{nm}$

پس حد کوتاه‌ترین طول‌موج گسیلی هیدروژن برابر $100\,\mathrm{nm}$ و مربوط به رشتهٔ لیمان است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: نوع نیروی مورد سؤال را مشخص می‌کنیم. کمیت‌های $F$، $F'$ و $F''$ فقط بزرگی نیروی ربایشی هسته‌ای‌اند؛ بنابراین نباید دافعهٔ الکتریکی بین پروتون‌ها را از آن‌ها کم کنیم.

گام دوم: ویژگی اصلی نیروی هسته‌ای را به کار می‌بریم. طبق کتاب، این نیرو مستقل از بار الکتریکی است؛ یعنی در مقایسهٔ زوج‌های مجاور، پروتون یا نوترون بودن ذرات باعث تفاوت در نیروی ربایشی هسته‌ای نمی‌شود (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۱۳–۱۱۴).

گام سوم: این ویژگی را بر سه زوجِ سؤال تطبیق می‌دهیم. نیروی هسته‌ای میان دو پروتون، دو نوترون و یک پروتون و یک نوترون یکسان است؛ پس:
$F=F'=F''$

نکتهٔ مهم: پروتون‌ها علاوه بر جاذبهٔ هسته‌ای، دافعهٔ الکتریکی هم دارند؛ اما این دافعه نیرویی جداگانه است و برابری نیروهای هسته‌ای را تغییر نمی‌دهد (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۱۴).

پاسخ: گزینهٔ ۱

با داده‌های نوشته‌شده، پاسخ اعلام‌شده با صورت سؤال سازگار نیست. محاسبهٔ مرحله‌به‌مرحله این ناسازگاری را نشان می‌دهد.

گام اول: محاسبهٔ بزرگی نیرو
بردارهای یکهٔ $\vec{i}$ و $\vec{j}$ بر هم عمودند؛ بنابراین برای محاسبهٔ بزرگی نیرو باید از مجموع مربع مؤلفه‌ها استفاده کنیم. این همان روش ترکیب مؤلفه‌های عمود بر هم در مبحث برایند نیروهای الکتریکی است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۹):
$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2+(-14)^2}=\sqrt{300+196}=\sqrt{496}=4\sqrt{31}\,\mathrm{N}$.
علامت منفی مؤلفهٔ عمودی فقط جهت آن را نشان می‌دهد و هنگام محاسبهٔ بزرگی نیرو، این مؤلفه نیز به توان دو می‌رسد.

گام دوم: تبدیل یکای بار
$q=2\,\mu\mathrm{C}=2\times10^{-6}\,\mathrm{C}$.

گام سوم: محاسبهٔ بزرگی میدان
طبق رابطهٔ نیروی الکتریکی وارد بر بار، $\vec{F}=q\vec{E}$ و در نتیجه $E=F/|q|$ است (فیزیک ۲، صفحات ۱۸ و ۱۹). پس:
$E=\dfrac{4\sqrt{31}}{2\times10^{-6}}=2\sqrt{31}\times10^6\,\mathrm{N/C}\approx11.14\times10^6\,\mathrm{N/C}$.

این مقدار در گزینه‌ها وجود ندارد. برای آنکه گزینهٔ سوم درست باشد، بزرگی نیرو باید $F=|q|E=(2\times10^{-6})(9\times10^6)=18\,\mathrm{N}$ باشد، در حالی که بزرگی بردار نیروی داده‌شده چنین نیست. بنابراین، صورت سؤال یا پاسخ تأییدشده نیاز به اصلاح دارد.

پاسخ: هیچ‌یک از گزینه‌ها؛ گزینهٔ ۳ با داده‌های فعلی سازگار نیست.

ابتدا $F_{13}$ و $F_{23}$ را به‌ترتیب اندازهٔ نیروهای وارد بر $q_3$ از طرف $q_1$ و $q_2$ می‌نامیم. طبق اصل برهم‌نهی، نیروی خالص برابر جمع برداری این دو نیروست (فیزیک ۲، صفحهٔ ۷–۸):
$\vec F_{\text{net}}=\vec F_{13}+\vec F_{23}$.

گام اول ـ تعیین جهت و نسبت نیروها:
اگر دو نیرو هم‌جهت باشند، برای هر بار دومِ غیرصفر داریم $F_{\text{net}}>F_{13}$؛ پس نیروها باید خلاف جهت یکدیگر باشند. چون هر دو بار در سمت چپ $q_3$ قرار دارند، برای مخالف‌بودن نیروهایشان باید ناهمنام باشند. بنابراین، با توجه به مثبت‌بودن $q_1$، بار $q_2$ منفی است؛ این نتیجه به علامت $q_3$ وابسته نیست (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵–۶).

برای نیروهای مخالف، اندازهٔ برایند برابر قدرمطلق تفاضل اندازه‌هاست؛ همان روشی که در مثال کتاب به کار رفته است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۸):
$|F_{23}-F_{13}|=F_{13}$.
این رابطه دو حالت می‌دهد:
$F_{23}=0\quad\text{یا}\quad F_{23}=2F_{13}$.
حالت اول مربوط به $q_2=0$ است که در گزینه‌ها نیست؛ پس برای بار دومِ غیرصفر باید $F_{23}=2F_{13}$ باشد. در این حالت، برایند هم‌اندازهٔ نیروی اول، ولی در خلاف جهت آن است.

گام دوم ـ استفاده از قانون کولن:
طبق شکل، $r_{13}=2L$ و $r_{23}=L$ است. با استفاده از قانون کولن (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵–۶) داریم:
$\dfrac{F_{23}}{F_{13}}=\dfrac{k|q_2q_3|/L^2}{k|q_1q_3|/(2L)^2}=4\dfrac{|q_2|}{|q_1|}$.
اکنون نسبت نیروها و مقدار بار اول را جای‌گذاری می‌کنیم:
$2=4\dfrac{|q_2|}{4\,\mu\mathrm C}\quad\Rightarrow\quad |q_2|=2\,\mu\mathrm C$.
با توجه به علامت منفیِ به‌دست‌آمده، نتیجه می‌شود:
$q_2=-2\,\mu\mathrm C$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

نکتهٔ مهم: دادهٔ افزایش انرژی در صورت سؤال با پاسخ تأییدشده سازگار نیست. محاسبه را با همان داده‌های نوشته‌شده انجام می‌دهیم.

گام اول ـ تعیین نسبت بارها و انرژی‌ها
ظرفیت خازن با تغییر بار آن عوض نمی‌شود، به شرط آنکه ساختمان خازن تغییر نکند (فیزیک ۲، صفحهٔ ۳۸). بنابراین با افزایش $25$ درصدی بار داریم:
$Q_2=1.25Q_1$
طبق رابطهٔ انرژی خازن، $U=\frac{Q^2}{2C}$، در ظرفیت ثابت انرژی با مربع بار متناسب است (فیزیک ۲، صفحه‌های ۳۳–۳۴). پس:
$\frac{U_2}{U_1}=\left(\frac{Q_2}{Q_1}\right)^2=(1.25)^2=1.5625$
در نتیجه:
$\Delta U=U_2-U_1=0.5625U_1$

گام دوم ـ محاسبهٔ انرژی اولیه
با جای‌گذاری افزایش انرژیِ داده‌شده:
$U_1=\frac{0.9}{0.5625}=1.6\,\mathrm{mJ}=1.6\times10^{-3}\,\mathrm{J}$

گام سوم ـ محاسبهٔ ولتاژ اولیه
از رابطهٔ $U_1=\frac{1}{2}CV_1^2$ استفاده می‌کنیم (فیزیک ۲، صفحه‌های ۳۳–۳۴):
$V_1=\sqrt{\frac{2U_1}{C}}=\sqrt{\frac{2\times1.6\times10^{-3}}{5\times10^{-6}}}=\sqrt{640}\,\mathrm{V}\simeq25.30\,\mathrm{V}$
این مقدار در گزینه‌ها وجود ندارد و با گزینهٔ تأییدشده نیز برابر نیست.

بررسی احتمال خطای نگارشی
اگر افزایش انرژی به‌جای $0.9\,\mathrm{mJ}$، برابر $0.09\,\mathrm{mJ}$ باشد، آن‌گاه:
$U_1=\frac{0.09}{0.5625}=0.16\,\mathrm{mJ}$
$V_1=\sqrt{\frac{2\times0.16\times10^{-3}}{5\times10^{-6}}}=8\,\mathrm{V}$
بنابراین صورت فعلی سؤال هیچ گزینهٔ دقیقاً درستی ندارد؛ تنها با اصلاح افزایش انرژی به $0.09\,\mathrm{mJ}$، پاسخ تأییدشده به دست می‌آید. با این اصلاح:
پاسخ: گزینهٔ ۱

آمپرسنج را آرمانی و مقاومت ولت‌سنج را بسیار بزرگ در نظر می‌گیریم؛ بنابراین، آمپرسنج مقاومت مؤثری به شاخه اضافه نمی‌کند و جریان ولت‌سنج ناچیز است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۷).

۱. تعیین مقاومت شاخه‌ها و مقاومت معادل مدار خارجی

مقاومت‌های هر شاخه متوالی‌اند؛ پس مقاومت معادل آنها از جمع مقاومت‌ها به دست می‌آید (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶). مقاومت شاخهٔ بالا ثابت است:
$R_a=6+12=18\,\Omega$
مقاومت شاخهٔ آمپرسنج، پیش و پس از تعویض، برابر است با:
$R_b=3+24=27\,\Omega$
$R'_b=6+24=30\,\Omega$

دو شاخه با یکدیگر موازی‌اند. با استفاده از رابطهٔ مقاومت معادل موازی (فیزیک ۲، صفحه‌های ۵۸–۵۹) داریم:
$R_{\text{خارجی}}=\frac{18\times27}{18+27}\,\Omega=10.8\,\Omega$
$R'_{\text{خارجی}}=\frac{18\times30}{18+30}\,\Omega=11.25\,\Omega$
پس مقاومت معادل خارجی افزایش می‌یابد.

۲. بررسی عدد ولت‌سنج

جریان کل باتری از رابطهٔ $I_{\text{کل}}=\mathcal{E}/(r+R_{\text{خارجی}})$ به دست می‌آید؛ بنابراین کاهش می‌یابد. ولت‌سنج اختلاف پتانسیل دو سر مدار خارجی، یعنی ولتاژ دو سر باتری، را نشان می‌دهد:
$V=\mathcal{E}-I_{\text{کل}}r$
با کاهش جریان کل، افت ولتاژ روی مقاومت داخلی کم می‌شود؛ در نتیجه، عدد ولت‌سنج افزایش می‌یابد. در اینجا منبع دارای مقاومت داخلیِ غیرصفر است؛ اگر منبع آرمانی بود، ولتاژ خروجی ثابت می‌ماند.

۳. بررسی عدد آمپرسنج

آمپرسنج فقط جریان شاخهٔ پایینی را می‌سنجد. چون هم ولتاژ و هم مقاومت این شاخه افزایش یافته‌اند، رابطهٔ $I_A=V/R_b$ به‌تنهایی برای نتیجه‌گیری کیفی کافی نیست. اختلاف پتانسیل دو شاخهٔ موازی برابر است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۷)، پس:
$I_{\text{کل}}=\frac{V}{R_a}+\frac{V}{R_b}$
با جای‌گذاری در رابطهٔ ولتاژ باتری داریم:
$\mathcal{E}=V+r\left(\frac{V}{R_a}+\frac{V}{R_b}\right)$
بنابراین:
$I_A=\frac{V}{R_b}=\frac{\mathcal{E}}{R_b+r\left(1+\frac{R_b}{R_a}\right)}$
با افزایش $R_b$ و ثابت بودن $R_a$، $r$ و $\mathcal{E}$، مخرج افزایش می‌یابد؛ پس جریان آمپرسنج کاهش می‌یابد.

در نتیجه، عدد آمپرسنج کاهش و عدد ولت‌سنج افزایش می‌یابد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

نکتهٔ مهم: توصیف ارائه‌شده از مدار با پاسخ تأییدشده سازگار نیست. محاسبهٔ دقیق، با همین اتصال‌ها و مقدار مقاومت‌ها، به هیچ‌یک از گزینه‌ها نمی‌رسد.

گام اول ـ تعیین مقاومت خارجی با بیشترین توان:
ولتاژ دو سر مدار خارجی را $V$ می‌نامیم. سه مقاومت بالایی مستقیماً با دو سر مولد موازی‌اند؛ بنابراین ولتاژ هر سه برابر $V$ است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۷). از رابطهٔ توان داریم:
$P_{6}=\frac{V^2}{6\,\Omega}$، $P_{12}=\frac{V^2}{12\,\Omega}$ و $P_{36}=\frac{V^2}{36\,\Omega}$.

دو مقاومت پایینی متوالی‌اند؛ پس مقاومت معادل آن‌ها برابر $5\,\Omega$ و جریان مشترکشان برابر $I_{\text{پایین}}=V/(5\,\Omega)$ است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶). در نتیجه:
$P_{2}=\frac{2V^2}{25\,\Omega}$ و $P_{3}=\frac{3V^2}{25\,\Omega}$.

مقایسهٔ این توان‌ها نشان می‌دهد مقاومت $6\,\Omega$ بیشترین توان را در میان مقاومت‌های خارجی تلف می‌کند. پس طبق صورت سؤال، ولتاژ دو سر آن و در نتیجه ولتاژ مدار خارجی برابر $V=12\,\mathrm{V}$ است.

گام دوم ـ محاسبهٔ جریان کل:
مدار خارجی معادل چهار مسیر موازی با مقاومت‌های $6\,\Omega$، $12\,\Omega$، $36\,\Omega$ و $5\,\Omega$ است. با استفاده از رابطهٔ مقاومت معادل موازی (فیزیک ۲، صفحه‌های ۵۸ و ۵۹):
$\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{6\,\Omega}+\frac{1}{12\,\Omega}+\frac{1}{36\,\Omega}+\frac{1}{5\,\Omega}=\frac{43}{90}\,\Omega^{-1}$.
بنابراین:
$R_{\mathrm{eq}}=\frac{90}{43}\,\Omega$،
$I=\frac{V}{R_{\mathrm{eq}}}=\frac{12}{90/43}\,\mathrm{A}=\frac{86}{15}\,\mathrm{A}$.

گام سوم ـ محاسبهٔ نیروی محرکه:
هنگام جریان‌دهی مولد، رابطهٔ ولتاژ پایانه‌ها برابر $V=\mathcal{E}-Ir$ است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۳). پس:
$\mathcal{E}=V+Ir=12\,\mathrm{V}+\left(\frac{86}{15}\,\mathrm{A}\right)(2\,\Omega)=\frac{352}{15}\,\mathrm{V}\simeq23.47\,\mathrm{V}$.

این مقدار دقیقاً برابر $24\,\mathrm{V}$ نیست و بدون مجوز تقریب نمی‌توان آن را به گزینهٔ چهارم تبدیل کرد. بنابراین برای تأیید علمی کلید، باید تصویر اصلی مدار یا مقدار مقاومت‌ها بازبینی شود؛ گزینهٔ چهارم صرفاً پاسخ اعلام‌شدهٔ کلید است، نه نتیجهٔ دقیق داده‌های فعلی.

پاسخ: گزینهٔ ۴

نکتهٔ مهم دربارهٔ شکل: تصویر اصلی مدار در پیام موجود نیست و توصیف نوشتاریِ اتصال‌ها برای تعیین جریان سیم $MN$ کافی نیست. به‌ویژه، صرفِ گفتن اینکه سیمی «عمودی» است، مشخص نمی‌کند دو سر آن به کدام گره‌ها متصل‌اند. بنابراین نمی‌توان از این توصیف، پاسخ تأییدشده را به‌طور قطعی استخراج کرد.

یک آرایشِ سازگار با پاسخ تأییدشده این است که دو مقاومت $12\,\Omega$ متوالی باشند، مجموعهٔ آن‌ها با مقاومت $6\,\Omega$ موازی باشد، این شاخه با مقاومت $4\,\Omega$ بالایی موازی شود و سیم $MN$ جریان مسیر دو مقاومت دوازده‌اهمی را عبور دهد. حل زیر مشروط به همین اتصال‌هاست، نه تأییدِ اتصال‌های توصیف‌شده در متن سؤال.

گام اول ـ معادل شاخهٔ پایین: مقاومت‌های متوالی با یکدیگر جمع می‌شوند (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶):
$R_s=12+12=24\,\Omega$.
برای ترکیب موازی نیز از رابطهٔ معادل مقاومت‌ها استفاده می‌کنیم (فیزیک ۲، صفحه‌های ۵۷ تا ۵۹):
$R_b=\frac{6\times24}{6+24}=4.8\,\Omega$.

گام دوم ـ مقاومت معادل خارجی:
$R_{\mathrm{ext}}=\frac{4\times4.8}{4+4.8}=\frac{24}{11}\,\Omega$.

گام سوم ـ جریان مولد و ولتاژ پایانه‌ای: مقاومت داخلی با معادل خارجی متوالی است و ولتاژ پایانه‌ای از نیروی محرکه کمتر است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۳):
$I=\frac{\mathcal{E}}{R_{\mathrm{ext}}+r}=\frac{6}{24/11+2}=\frac{33}{23}\,\mathrm{A}$،
$V=\mathcal{E}-Ir=6-2\times\frac{33}{23}=\frac{72}{23}\,\mathrm{V}$.
پس حتی در این آرایشِ احتمالی نیز جریان مسیر دو مقاومت دوازده‌اهمی برابر است با
$I_{MN}=\frac{V}{24}=\frac{3}{23}\,\mathrm{A}$،
که با پاسخ تأییدشده برابر نیست. بنابراین این بازسازی هم شکل موردنظر سؤال نیست.

نتیجه: توصیف موجود، اتصال‌های لازم برای یک پاسخ تشریحی معتبر را مشخص نمی‌کند و نباید با تغییر دلخواه اتصال‌ها، عدد گزینهٔ تأییدشده را به دست آورد. برای حل قطعی و توضیح دقیق گزینه‌های انحرافی، تصویر اصلی مدار لازم است. مطابق کلید ارائه‌شده، مقدار موردنظر $0.25\,\mathrm{A}$ است، اما اثبات آن از داده‌های فعلی ممکن نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ـ رابطهٔ سرعت و میدان را بررسی می‌کنیم.
ورود ذرهٔ باردار به میدان مغناطیسی به معنای عمودبودن سرعت بر میدان نیست. برای نمونه، در مثال کتاب، سرعت ذره با میدان زاویهٔ $60^\circ$ می‌سازد و اندازهٔ نیرو از رابطهٔ $F=|q|VB\sin\theta$ به دست می‌آید؛ در این رابطه، $\theta$ زاویهٔ میان سرعت و میدان است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۷۲). پس $\vec{V}$ و $\vec{B}$ الزاماً بر هم عمود نیستند.

گام دوم ـ جهت نیروی مغناطیسی را مشخص می‌کنیم.
طبق قاعدهٔ تعیین جهت نیروی مغناطیسی، نیروی وارد بر ذرهٔ متحرک، در صورت ناصفر بودن، هم بر راستای سرعت ذره و هم بر راستای میدان عمود است؛ یعنی $\vec{F}\perp\vec{V}$ و $\vec{F}\perp\vec{B}$. برای بار منفی، جهت نیرو نسبت به بار مثبت وارونه می‌شود، اما این دو رابطهٔ عمودبودن تغییر نمی‌کنند. کاربرد این قاعده برای الکترون نیز در پرسش کتاب بررسی شده است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۷۲).

گام سوم ـ گزینه‌ها را مقایسه می‌کنیم.
گزینه‌های ۱، ۲ و ۴ همگی مستلزم آن‌اند که سرعت و میدان همیشه بر یکدیگر عمود باشند؛ در حالی که ورود مایل ذره نیز ممکن است. گزینهٔ ۳ فقط عمودبودن نیرو بر سرعت و میدان را بیان می‌کند و شرط اضافی نادرستی ندارد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول ـ انتخاب رابطه: با فرض آرمانی‌بودن سیملوله، میدان درون آن و دور از لبه‌ها از رابطهٔ $B=\dfrac{\mu_\circ NI}{\ell}$ به دست می‌آید. در این رابطه، $N$ تعداد دورها، $I$ جریان و $\ell$ طول سیملوله است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۸۱–۸۲).

گام دوم ـ تبدیل واحد و نوشتن داده‌ها: چون تراوایی مغناطیسی برحسب واحدهای SI داده شده است، طول را برحسب متر می‌نویسیم:
$\ell=60\,\mathrm{cm}=0.6\,\mathrm{m}$، $N=200$، $I=5\,\mathrm{A}$ و $\mu_\circ=12\times10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$.

گام سوم ـ جای‌گذاری و محاسبه:
$B=\dfrac{(12\times10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A})(200)(5\,\mathrm{A})}{0.6\,\mathrm{m}}$

حاصل‌ضرب صورت برابر $1.2\times10^{-3}\,\mathrm{T\cdot m}$ است؛ بنابراین:
$B=\dfrac{1.2\times10^{-3}}{0.6}\,\mathrm{T}=2\times10^{-3}\,\mathrm{T}$.

پس میدان محاسبه‌شده با گزینهٔ دوم مطابقت دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول ـ تعیین شار هر حلقه: طبق تعریف شار، $\Phi=BA\cos\theta$ که در آن $\theta$ زاویهٔ میدان با خط عمود بر سطح حلقه است. چون سطح حلقه بر میدان عمود است، با انتخاب جهت اولیهٔ میدان به‌عنوان جهت مثبتِ عمود بر سطح، شار اولیه مثبت و شار نهایی منفی خواهد بود (فیزیک ۲، صفحهٔ ۸۷–۸۸).

گام دوم ـ تبدیل مساحت به یکای استاندارد:
$A=50\,\mathrm{cm^2}=50\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}=5\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}$

گام سوم ـ محاسبهٔ تغییر میدانِ علامت‌دار: میدان نهایی خلاف جهت اولیه است؛ بنابراین:
$B_i=+0.4\,\mathrm{T},\qquad B_f=-0.4\,\mathrm{T}$
$\Delta B=B_f-B_i=-0.4-(+0.4)=-0.8\,\mathrm{T}$
پس برابر بودن اندازهٔ میدان در ابتدا و انتها به معنی ثابت‌بودن شار نیست؛ تغییر جهت میدان نیز شار را تغییر می‌دهد.

گام چهارم ـ استفاده از قانون فاراده: نیروی محرکهٔ القایی متوسط پیچه از رابطهٔ $\mathcal{E}_{\mathrm{av}}=-N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ به دست می‌آید (فیزیک ۲، صفحهٔ ۹۰). چون مساحت و وضعیت پیچه ثابت است، داریم:
$|\mathcal{E}_{\mathrm{av}}|=N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}=NA\frac{|\Delta B|}{\Delta t}$
با جای‌گذاری داده‌های سؤال:
$|\mathcal{E}_{\mathrm{av}}|=\frac{1000\times(5\times10^{-3})\times0.8}{0.1}\,\mathrm{V}=40\,\mathrm{V}$
بنابراین بزرگی نیروی محرکهٔ القایی متوسط برابر $40\,\mathrm{V}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

نکتهٔ مهم دربارهٔ صورت سؤال: توصیف شکل با پاسخ تأییدشده ناسازگار است. اگر شاخهٔ چپ باریک باشد و نفت در همان شاخه ریخته شود، آبِ شاخهٔ باریک پایین می‌رود، نه بالا. پاسخ تأییدشده مربوط به حالتی است که نفت در شاخهٔ پهن ریخته شود. ابتدا این حالتِ موردنظر را حل می‌کنیم.

۱. نسبت مساحت مقطع‌ها
مساحت مقطع دایره‌ای با مربع قطر متناسب است؛ بنابراین اگر مساحت شاخهٔ باریک را $A$ بگیریم، مساحت شاخهٔ پهن برابر است با:
$A_\text{پهن}=9A$.

۲. پایستگی حجم آب
بالا آمدن آب در شاخهٔ باریک نسبت به تراز اولیه را $x$ و پایین رفتن سطح تماس آب و نفت در شاخهٔ پهن را $y$ می‌نامیم. حجم آب جابه‌جا‌شده در دو شاخه برابر است، پس:
$Ax=9Ay\Rightarrow x=9y$.
اختلاف ارتفاع نهایی دو سطح آب نیز برابر $x+y$ است.

۳. برابری فشار در نقاط هم‌تراز
در یک مایع ساکن و پیوسته، فشار نقاط هم‌تراز برابر است؛ این اصل در توضیح فشارسنج جیوه‌ای نیز به کار رفته است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۶–۳۷). همچنین افزایش فشار در عمق از رابطهٔ $\Delta P=\rho gh$ به دست می‌آید (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۵–۳۶).

در تراز سطح تماس آب و نفت، فشار سمت نفت برابر $P_0+\rho_\text{نفت}gh_\text{نفت}$ و فشار سمت آب برابر $P_0+\rho_\text{آب}g(x+y)$ است. بنابراین:
$P_0+\rho_\text{نفت}gh_\text{نفت}=P_0+\rho_\text{آب}g(x+y)$
$\Rightarrow x+y=\dfrac{\rho_\text{نفت}}{\rho_\text{آب}}h_\text{نفت}=\dfrac{0.8}{1}\times5=4\,\mathrm{cm}$.
فشار جو و شتاب گرانش از دو طرف حذف می‌شوند؛ نسبت چگالی‌ها نیز بی‌واحد است، پس می‌توان ارتفاع‌ها را برحسب سانتی‌متر محاسبه کرد.

۴. محاسبهٔ بالا آمدن آب در شاخهٔ باریک
با جای‌گذاری $y=x/9$ داریم:
$x+\dfrac{x}{9}=4\,\mathrm{cm}\Rightarrow\dfrac{10x}{9}=4\,\mathrm{cm}\Rightarrow x=3.6\,\mathrm{cm}$.

پس در آرایش سازگار با پاسخ تأییدشده، آبِ شاخهٔ باریک به اندازهٔ $3.6\,\mathrm{cm}$ بالا می‌رود. اما اگر توصیف ارائه‌شده از شکل را عیناً بپذیریم، آبِ شاخهٔ باریک به اندازهٔ $3.6\,\mathrm{cm}$ پایین می‌رود و آبِ شاخهٔ پهن $0.4\,\mathrm{cm}$ بالا می‌آید؛ بنابراین برای درست بودن عبارت «بالا رفتن آب در لولهٔ باریک»، نفت باید در شاخهٔ پهن ریخته شود.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: رابطهٔ مناسب را انتخاب می‌کنیم.
برای جریان پیوستهٔ آب در لولهٔ پر، حجم آبی که در زمان یکسان از هر مقطع می‌گذرد برابر است؛ بنابراین از معادلهٔ پیوستگی استفاده می‌کنیم (فیزیک ۱، صفحه‌های ۴۳–۴۶). اگر مساحت مقطع را با $S$ نشان دهیم، داریم:
$S_Av_A=S_Bv_B$
پس نسبت موردنظر برابر است با:
$\frac{v_A}{v_B}=\frac{S_B}{S_A}$

گام دوم: نسبت مساحت‌ها را از نسبت قطرها به دست می‌آوریم.
مقطع لوله دایره‌ای است و مساحت آن از رابطهٔ $S=\frac{\pi d^2}{4}$ به دست می‌آید. چون نقطهٔ $A$ در بخش پهن و نقطهٔ $B$ در بخش باریک قرار دارد، طبق دادهٔ سؤال داریم:
$d_A=2d_B$
در نتیجه:
$\frac{S_B}{S_A}=\left(\frac{d_B}{d_A}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$

گام سوم: نسبت تندی‌ها را تعیین می‌کنیم.
با جای‌گذاری در معادلهٔ پیوستگی:
$\boxed{\frac{v_A}{v_B}=\frac{1}{4}}$
این نتیجه با رفتار جریان نیز سازگار است: آب در بخش پهن‌تر آهسته‌تر حرکت می‌کند و با ورود به بخش باریک‌تر تندتر می‌شود (فیزیک ۱، صفحه‌های ۴۳–۴۴).

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: تعیین دمای تعادل
چون در پایان هنوز بخشی از یخ باقی مانده است، آب و یخ در دمای ذوب، یعنی $0^\circ\mathrm{C}$، به تعادل می‌رسند. هنگام ذوب، گرمای دریافتی صرف تغییر حالت می‌شود و دما ثابت می‌ماند (فیزیک ۱، صفحهٔ ۱۰۴–۱۰۵).

گام دوم: محاسبهٔ گرمای ازدست‌رفتهٔ آب
آب ورودی با جرم $800\,\mathrm{g}=0.8\,\mathrm{kg}$ از دمای $20^\circ\mathrm{C}$ تا $0^\circ\mathrm{C}$ سرد می‌شود. با استفاده از رابطهٔ گرمای ویژه، اندازهٔ گرمای ازدست‌رفتهٔ آن برابر است با (فیزیک ۱، صفحهٔ ۹۸–۹۹):
$Q_{\text{ازدست‌رفته}}=m_{\text{آب}}c_{\text{آب}}(\theta_i-\theta_f)$
$Q_{\text{ازدست‌رفته}}=0.8\times4200\times(20-0)=67200\,\mathrm{J}$

گام سوم: تعیین جرم یخ ذوب‌شده
چون فقط آب و یخ با هم تبادل گرما دارند، گرمای دریافتی یخ با اندازهٔ گرمای ازدست‌رفتهٔ آب برابر است؛ این همان موازنهٔ گرما در یک مجموعهٔ بدون تبادل گرما با محیط است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۱۰۰–۱۰۱). یخ از ابتدا در دمای ذوب است، پس با رابطهٔ $Q=m_{\text{ذوب‌شده}}L_f$ داریم (فیزیک ۱، صفحهٔ ۱۰۴–۱۰۵):
$m_{\text{ذوب‌شده}}=\frac{67200}{336000}=0.2\,\mathrm{kg}=200\,\mathrm{g}$

گام چهارم: محاسبهٔ جرم اولیهٔ یخ
اگر جرم اولیهٔ یخ را $m$ بنامیم، چون $\frac{1}{3}$ آن باقی مانده، کسر ذوب‌شده برابر است با:
$m_{\text{ذوب‌شده}}=m-\frac{1}{3}m=\frac{2}{3}m$
بنابراین:
$\frac{2}{3}m=200\,\mathrm{g}\quad\Rightarrow\quad m=200\times\frac{3}{2}=300\,\mathrm{g}$

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: نسبت جرم‌ها را تعیین می‌کنیم. طبق تعریف چگالی، $m=\rho V$ است. چون حجم دو جسم برابر و چگالی جسم $A$ دو برابر چگالی جسم $B$ است، داریم:
$\frac{m_A}{m_B}=\frac{\rho_A V_A}{\rho_B V_B}=\frac{\rho_A}{\rho_B}=2$.
پس $m_A=2m_B$؛ بنابراین نباید هم‌حجم بودن را با هم‌جرم بودن اشتباه گرفت.

گام دوم: رابطهٔ گرما را برای دو جسم می‌نویسیم. مطابق رابطهٔ گرمای ویژه، $Q=mc\Delta T$ است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۹۸). با توجه به برابر بودن گرمای دریافتی دو جسم:
$Q_A=Q_B\quad\Rightarrow\quad m_Ac_A\Delta T_A=m_Bc_B\Delta T_B$.
بنابراین:
$\frac{\Delta T_A}{\Delta T_B}=\frac{m_Bc_B}{m_Ac_A}$.

گام سوم: با جای‌گذاری $m_A=2m_B$ و $c_A=2c_B$ به دست می‌آوریم:
$\frac{\Delta T_A}{\Delta T_B}=\frac{m_Bc_B}{(2m_B)(2c_B)}=\frac{1}{4}$.

در واقع، ظرفیت گرمایی جسم $A$، یعنی $C_A=m_Ac_A$، چهار برابر ظرفیت گرمایی جسم $B$ است. طبق رابطهٔ $Q=C\Delta T$، برای گرمای مساوی هرچه ظرفیت گرمایی بیشتر باشد، تغییر دما کمتر خواهد بود (فیزیک ۱، صفحهٔ ۹۷). پس تغییر دمای جسم $A$ یک‌چهارم تغییر دمای جسم $B$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: معیار تشخیص را مشخص می‌کنیم. در دستگاه بین‌المللی، طول، جرم، زمان، دما، مقدار ماده، جریان الکتریکی و شدت روشنایی کمیت‌های اصلی‌اند. کمیت‌های فرعی با استفاده از رابطه‌های فیزیکی برحسب کمیت‌های اصلی تعریف می‌شوند و یکاهایشان نیز از یکاهای اصلی ساخته می‌شود (فیزیک ۱، صفحهٔ ۷).

گام دوم: کمیت‌های گزینهٔ دوم را بررسی می‌کنیم:

• چگالی، نسبت جرم به حجم است: $\rho=\frac{m}{V}$. چون یکای حجم $\mathrm{m^3}$ است، یکای چگالی $\mathrm{kg/m^3}$ می‌شود؛ پس چگالی کمیتی فرعی است.
• تندی متوسط، نسبت مسافت پیموده‌شده به مدت زمان حرکت است: $v_{\mathrm{av}}=\frac{d}{\Delta t}$. بنابراین یکای آن $\mathrm{m/s}$ و کمیتی فرعی است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۷).
• انرژی نیز در جدول یکاهای فرعی آمده است. یکای آن ژول است که برحسب یکاهای اصلی به صورت $\mathrm{J}=\mathrm{kg\cdot m^2/s^2}$ بیان می‌شود؛ پس انرژی هم فرعی است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۷).

گام سوم: سایر گزینه‌ها شرط سؤال را ندارند؛ گزینهٔ اول شامل جرم و زمان، گزینهٔ سوم شامل جریان الکتریکی و گزینهٔ چهارم شامل شدت روشنایی، مقدار ماده و زمان است که همگی کمیت‌های اصلی‌اند. بنابراین فقط در گزینهٔ دوم، هر سه کمیت فرعی هستند.

پاسخ: گزینهٔ ۲