سوالات فیزیک کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

گام اول: رابطهٔ ریدبرگ برای طیف گسیلی هیدروژن به‌صورت $\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right)$ است. در رشتهٔ بالمر، تراز نهایی $n'=2$ است؛ پس داریم: $\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{n^2}\right)$ (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۰۰–۱۰۱).

گام دوم: برای کوتاه‌ترین طول‌موج باید $\frac{1}{\lambda}$ بیشترین مقدار را داشته باشد. با افزایش $n$، جملهٔ کاهشی $\frac{1}{n^2}$ کوچک‌تر می‌شود؛ بنابراین حد کوتاه‌ترین طول‌موج متناظر با $n\to\infty$ است. همین روش در مثال تعیین کوتاه‌ترین طول‌موج رشتهٔ پفوند نیز به کار رفته است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۲).

گام سوم: در این حد، $\frac{1}{n^2}\to0$؛ بنابراین $\frac{1}{\lambda_{\min}}=R\left(\frac{1}{2^2}-0\right)=\frac{R}{4}$. با معکوس‌گیری به دست می‌آید: $\lambda_{\min}=\frac{4}{R}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تعیین بازهٔ زمانی موردنظر
بردار مکان وقتی در جهت مثبت محور $x$ است که $x>0$ باشد؛ این شرط با مثبت‌بودن سرعت تفاوت دارد. در نمودار، از لحظهٔ $t=0$ تا پیش از $t=14\,\mathrm{s}$، مکان متحرک مثبت است. بنابراین مدت بازهٔ موردنظر $14\,\mathrm{s}$ است. قرارندادن لحظهٔ پایانی در بازه، اثری بر محاسبهٔ تندی متوسط ندارد.

۲. محاسبهٔ مسافت کل
شیب نمودار مکان ـ زمان، سرعت را نشان می‌دهد و در قلهٔ نمودار صفر است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۷–۱۸). متحرک پیش از قله در جهت مثبت و پس از آن در جهت منفی حرکت می‌کند؛ پس در قله تغییر جهت می‌دهد. برای محاسبهٔ مسافت، باید طول مسیرهای رفت و برگشت را با هم جمع کنیم، نه جابه‌جایی‌های علامت‌دار آن‌ها را؛ این تمایز در مثال کتاب نیز بررسی شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹).

مسافت از مکان آغازین تا قله:
$L_1=81-56=25\,\mathrm{m}$

مسافت از قله تا مبدأ:
$L_2=81-0=81\,\mathrm{m}$

پس مسافت کل برابر است با:
$L=L_1+L_2=25+81=106\,\mathrm{m}$

۳. محاسبهٔ تندی متوسط
تندی متوسط برابر مسافت طی‌شده تقسیم بر مدت حرکت است:
$\text{تندی متوسط}=\dfrac{L}{\Delta t}=\dfrac{106}{14}=\dfrac{53}{7}\,\mathrm{m/s}$

پاسخ: گزینهٔ ۳

برای یافتن فاصله، ابتدا جابه‌جایی و سپس مکان هر متحرک را محاسبه می‌کنیم. مساحت علامت‌دار بین نمودار سرعت ـ زمان و محور زمان برابر جابه‌جایی است؛ بخش زیر محور زمان با علامت منفی حساب می‌شود (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹ و صفحات ۲۰–۲۱).

گام اول: یافتن سرعت‌ها در لحظهٔ موردنظر
چون نمودارها خط راست‌اند، شتاب هر متحرک ثابت و برابر شیب نمودار سرعت ـ زمان است:
$a_A=\frac{0-(-28)}{4-0}=7\,\mathrm{m/s^2}$
$a_B=\frac{0-(-10)}{5-0}=2\,\mathrm{m/s^2}$
پس در لحظهٔ $t=2\,\mathrm{s}$ داریم:
$v_A=-28+7\times2=-14\,\mathrm{m/s}$
$v_B=-10+2\times2=-6\,\mathrm{m/s}$

گام دوم: محاسبهٔ جابه‌جایی‌ها
در این بازه، هر دو نمودار زیر محور زمان‌اند. بنابراین جابه‌جایی‌ها از مساحت علامت‌دار ذوزنقه‌ها به دست می‌آیند:
$\Delta x_A=\frac{-28+(-14)}{2}\times2=-42\,\mathrm{m}$
$\Delta x_B=\frac{-10+(-6)}{2}\times2=-16\,\mathrm{m}$

گام سوم: محاسبهٔ مکان‌ها و فاصله
با استفاده از رابطهٔ $x=x_0+\Delta x$:
$x_A=50-42=8\,\mathrm{m}$
$x_B=0-16=-16\,\mathrm{m}$
فاصلهٔ دو متحرک، قدرمطلق اختلاف مکان‌های آن‌هاست؛ همان‌طور که در محاسبهٔ فاصله از مبدأ نیز باید قدرمطلق مکان را در نظر گرفت (فیزیک ۳، صفحات ۱۴–۱۵):
$d=|x_A-x_B|=|8-(-16)|=24\,\mathrm{m}$

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: مسافت کل را پیدا می‌کنیم.
تندی متوسط برابر نسبت مسافت کل به مدت حرکت است؛ بنابراین در $8\,\mathrm{s}$ نخست داریم:
$L=\frac{51}{8}\times8=51\,\mathrm{m}$.
باید دقت کنیم که این مقدار «مسافت» است، نه لزوماً اندازهٔ جابه‌جایی. در مثال کتاب نیز مسافت و جابه‌جایی با توجه به تغییر جهت حرکت از یکدیگر تفکیک می‌شوند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹).

گام دوم: رابطهٔ سرعت و زمان را می‌نویسیم.
برای شتاب ثابت، از تعریف شتاب داریم $v=v_0+at$؛ پس:
$v(t)=v_0-(3\,\mathrm{m/s^2})t$،
و در پایان بازه:
$v_8=v_0-24\,\mathrm{m/s}$
(فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۰–۱۱).

تغییر جهت هنگامی رخ می‌دهد که سرعت صفر شود و علامت آن تغییر کند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹). این تغییر جهت باید در همین بازه رخ داده باشد؛ زیرا اگر سرعت در تمام بازه نامثبت باشد، مسافت دست‌کم $\frac12\times3\times8^2=96\,\mathrm{m}$ می‌شود. اگر سرعت در تمام بازه نامنفی باشد نیز باید $v_0\geq24\,\mathrm{m/s}$ باشد و کمترین مسافت باز هم $96\,\mathrm{m}$ خواهد بود. هر دو حالت با $L=51\,\mathrm{m}$ ناسازگارند. پس ابتدا سرعت مثبت و در انتهای بازه منفی است.

گام سوم: مسافت دو بخش حرکت را جمع می‌کنیم.
نمودار سرعت ــ زمان خطی است. مسافت، مجموع قدرمطلق مساحت دو مثلثِ قبل و بعد از لحظهٔ توقف است؛ درحالی‌که برای جابه‌جایی باید مساحت زیر محور را منفی گرفت (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹). بنابراین:
$L=\frac{v_0^2}{2|a|}+\frac{v_8^2}{2|a|}$.
با جای‌گذاری داده‌ها:
$51\,\mathrm{m}=\frac{v_0^2+(v_0-24\,\mathrm{m/s})^2}{6\,\mathrm{m/s^2}}$.
پس:
$v_0^2-(24\,\mathrm{m/s})v_0+135\,\mathrm{m^2/s^2}=0$،
و با تجزیه:
$(v_0-9\,\mathrm{m/s})(v_0-15\,\mathrm{m/s})=0$.

در نتیجه، داده‌های حرکت به‌تنهایی دو سرعت اولیهٔ $9\,\mathrm{m/s}$ و $15\,\mathrm{m/s}$ را مجاز می‌دانند؛ اما فقط مقدار دوم در گزینه‌ها آمده است. برای کنترل آن، زمان توقف $5\,\mathrm{s}$ و سرعت پایانی $-9\,\mathrm{m/s}$ است، پس:
$L=\frac12\times(5\,\mathrm{s})\times(15\,\mathrm{m/s})+\frac12\times(3\,\mathrm{s})\times(9\,\mathrm{m/s})=51\,\mathrm{m}$.
مکان ذکرشده برای تغییر جهت، در این محاسبه لازم نیست؛ چون مکان اولیه معلوم نیست و جابه‌جایی مبدأ بر مسافت طی‌شده اثر ندارد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. ابتدا شتاب حرکت را به دست می‌آوریم. چوب پس از پرتاب روی سطح می‌لغزد؛ بنابراین نیروی اصطکاک جنبشی، خلاف جهت حرکت و به اندازهٔ $f_{\mathrm{k}}=\mu_{\mathrm{k}}F_{\mathrm{N}}$ به آن وارد می‌شود (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۰).

چون چوب در راستای قائم شتاب ندارد، نیروی عمودی سطح با وزن آن برابر است؛ همان استدلالی که در مثال جعبه روی سطح افقی به کار رفته است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۰–۴۱):
$F_{\mathrm{N}}=mg$

جهت حرکت اولیه را مثبت می‌گیریم. با استفاده از قانون دوم نیوتون در راستای افقی داریم:
$-f_{\mathrm{k}}=ma\quad\Rightarrow\quad a=-\mu_{\mathrm{k}}g$
$a=-0.2\times10=-2\,\mathrm{m/s^2}$

پس حرکت چوب با شتاب ثابت و خلاف جهت سرعت است. توجه کنید که جرم از رابطه حذف می‌شود و برای حل مسئله لازم نیست آن را بدانیم.

۲. در لحظهٔ توقف، سرعت نهایی صفر است. از رابطهٔ سرعت ـ زمان در حرکت با شتاب ثابت، که در مثال کتاب نیز استفاده شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۲–۴۳)، می‌نویسیم:
$v=v_0+at\quad\Rightarrow\quad 0=v_0-|a|t\quad\Rightarrow\quad v_0=|a|t$

۳. چون جهت حرکت تا توقف تغییر نمی‌کند، جابه‌جایی برابر مسافت پیموده‌شده است. در حرکت با شتاب ثابت، سرعت متوسط برابر میانگین سرعت‌های ابتدا و انتهاست؛ بنابراین:
$\Delta x=\frac{v_0+v}{2}t=\frac{|a|t}{2}t=\frac{1}{2}|a|t^2$

با جای‌گذاری داده‌ها:
$6.25=\frac{1}{2}\times2\times t^2\quad\Rightarrow\quad t^2=6.25\,\mathrm{s^2}$

ریشهٔ مثبت، زمان حرکت را می‌دهد:
$t=2.5\,\mathrm{s}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. تعیین شتاب آسانسور
آسانسور از سکون و با شتاب ثابت رو به بالا حرکت می‌کند؛ بنابراین:
$\Delta y=v_0t+\frac{1}{2}at^2$
با توجه به $v_0=0$ داریم:
$a=\frac{2\Delta y}{t^2}=\frac{2\times16}{8^2}=0.5\,\mathrm{m/s^2}$
پس شتاب وزنه نیز، در حالت سکون نسبت به آسانسور، رو به بالا و برابر همین مقدار است.

۲. نوشتن قانون دوم نیوتون برای وزنه
بر وزنه دو نیرو وارد می‌شود: نیروی کشسانی فنر رو به بالا و وزن رو به پایین. مطابق روش حل مثال آسانسور، جهت مثبت را رو به بالا می‌گیریم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۶–۳۷):
$F_{\mathrm e}-mg=ma$
در نتیجه:
$F_{\mathrm e}=m(g+a)$
پس برای ایجاد شتاب رو به بالا، نیروی فنر باید از وزن وزنه بیشتر باشد.

۳. محاسبهٔ افزایش طول فنر
طبق قانون هوک، $F_{\mathrm e}=kx$ که در آن $x$ تغییر طول نسبت به طول عادی فنر است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۱). با تبدیل جرم به $m=0.500\,\mathrm{kg}$ می‌نویسیم:
$x=\frac{m(g+a)}{k}=\frac{0.500(9.8+0.5)}{250}=0.0206\,\mathrm{m}=20.6\,\mathrm{mm}$
این تغییر طول، کشیدگی است؛ بنابراین فنر نسبت به طول عادیِ $40\,\mathrm{cm}$، به اندازهٔ $20.6\,\mathrm{mm}$ بلندتر می‌شود. مانند مثال فنر آویزان، طول نهایی از رابطهٔ $L=L_0+x$ به دست می‌آید (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۱–۴۲). در این سؤال، تغییر طول نسبت به طول عادی فنر خواسته شده است، نه تفاوت کشیدگی در آسانسور ساکن و شتاب‌دار.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. نیروهای وارد بر نردبان را مشخص می‌کنیم: وزن $W=mg$ رو به پایین، نیروی عمودی زمین $N$ رو به بالا، اصطکاک ایستایی زمین $f_s$ به سمت دیوار و نیروی عمودی دیوار $N_d$ به سمت راست. چون دیوار بدون اصطکاک است، نیروی آن فقط افقی است؛ اما نیروی کل زمین برآیند نیروی عمودی و اصطکاک است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۴۳–۴۴، مثال ۲ـ۱۰).

۲. نردبان در آستانهٔ لغزش هنوز در تعادل است. پس در راستای قائم داریم:
$N-W=0\quad\Rightarrow\quad N=W$.
بنابراین آنچه با وزن برابر است، فقط نیروی عمودی زمین است، نه کل نیروی زمین.

۳. در آستانهٔ لغزش، اصطکاک ایستایی به مقدار بیشینهٔ خود می‌رسد:
$f_s=f_{s,\max}=\mu_s N=\mu_s W$.
از تعادل افقی نیز نتیجه می‌شود:
$N_d=f_s=\mu_s W$.
چون $\mu_s<1$ است، نیروی دیوار از وزن کمتر است:
$N_d<W$.

۴. اگر بزرگی نیروی کل زمین را با $R$ نشان دهیم، چون نیروی عمودی و اصطکاک بر هم عمودند، داریم:
$R=\sqrt{N^2+f_s^2}=\sqrt{W^2+(\mu_s W)^2}=W\sqrt{1+\mu_s^2}$.
وجود اصطکاک در این وضعیت باعث می‌شود $R>W$ باشد. پس بزرگی نیرویی که زمین به نردبان وارد می‌کند، بیشتر از وزن نردبان است. این همان روش محاسبهٔ برآیند نیروی زمین در مثال کتاب است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۴۳–۴۴).

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. تعیین دورهٔ تناوب
چون جسم را می‌کشیم و سپس از سکون رها می‌کنیم، حرکت از یکی از دو انتهای مسیر، یعنی از فاصلهٔ دامنه نسبت به تعادل، آغاز می‌شود. در حرکت هماهنگ ساده، رسیدن از این نقطه به مکان تعادل برای نخستین بار، یک‌چهارم دوره زمان می‌برد؛ این همان ارتباط معادلهٔ کسینوسی حرکت و نخستین رسیدن به تندی بیشینه است که در تمرین فصل نیز مطرح شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۸۹). بنابراین:
$\frac{T}{4}=0.15\,\mathrm{s}\quad\Rightarrow\quad T=0.60\,\mathrm{s}$

۲. محاسبهٔ بسامد زاویه‌ای
با استفاده از رابطهٔ بسامد زاویه‌ای و دورهٔ تناوب (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۷) و مقدار داده‌شدهٔ $\pi=3$ داریم:
$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\times3}{0.60}=10\,\mathrm{rad/s}$

۳. محاسبهٔ دامنه
در مکان تعادل، انرژی پتانسیل کشسانی کمینه و تندی جسم بیشینه است؛ پس تندی داده‌شده همان $v_{\max}$ است. در حرکت هماهنگ ساده، $v_{\max}=\omega A$؛ در نتیجه:
$A=\frac{v_{\max}}{\omega}=\frac{0.5}{10}=0.05\,\mathrm{m}=5\,\mathrm{cm}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. خواندن اطلاعات نمودار
در نقاطی که انرژی جنبشی صفر است، تندی نوسانگر صفر می‌شود؛ پس این نقاط، نقاط بازگشتی‌اند. بنابراین دامنه، فاصلهٔ یکی از این نقاط تا مبدأ است، نه فاصلهٔ دو نقطهٔ بازگشتی:
$A=4\,\mathrm{cm}=0.04\,\mathrm{m}$
در نقطهٔ تعادل، انرژی جنبشی بیشینه و برابر انرژی مکانیکی نوسانگر است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۸–۵۹):
$E=K_{\max}=4\,\mathrm{mJ}=4\times10^{-3}\,\mathrm{J}$
جرم و مکان موردنظر نیز در یکاهای SI عبارت‌اند از:
$m=100\,\mathrm{g}=0.1\,\mathrm{kg}$
$x=3\,\mathrm{cm}=0.03\,\mathrm{m}$

۲. تعیین مربع بسامد زاویه‌ای
طبق رابطهٔ انرژی مکانیکی نوسانگر هماهنگ ساده داریم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۸–۵۹):
$E=\frac12m\omega^2A^2$
پس:
$\omega^2=\frac{2E}{mA^2}=\frac{2(4\times10^{-3})}{0.1(0.04)^2}=50\,\mathrm{s^{-2}}$

۳. محاسبهٔ بزرگی شتاب
در حرکت هماهنگ ساده، شتاب از رابطهٔ $a=-\omega^2x$ به دست می‌آید. علامت منفی نشان می‌دهد شتاب به‌سوی نقطهٔ تعادل است؛ اما سؤال بزرگی شتاب را می‌خواهد:
$|a|=\omega^2|x|=50\times0.03=1.5\,\mathrm{m/s^2}$
بنابراین مقدار به‌دست‌آمده با گزینهٔ سوم مطابقت دارد.
پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. تشخیص حرکت موردنظر: سؤال تندی ذرهٔ $M$ را می‌خواهد، نه تندی انتشار موج. در موج عرضی سینوسی، اجزای ریسمان حول جایگاه تعادل خود حرکت هماهنگ ساده دارند؛ درحالی‌که شکل موج در طول ریسمان پیشروی می‌کند (فیزیک ۳، صفحه‌های ۶۴–۶۵). تفاوت تندی موج و تندی ذره نیز در پرسش کتاب مطرح شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۹۰).

۲. خواندن دامنه و وضعیت ذره: دامنه، بیشترین فاصلهٔ ذره از محور تعادل است؛ بنابراین از ارتفاع قله داریم:
$A=10\,\mathrm{cm}=0.10\,\mathrm{m}$
نقطهٔ $M$ روی محور افقی قرار دارد، پس جابه‌جایی آن در این لحظه $y_M=0$ است.

۳. محاسبهٔ تندی: برای حرکت هماهنگ ساده، رابطهٔ تندی و جابه‌جایی به‌صورت $v=\omega\sqrt{A^2-y^2}$ است. در جایگاه تعادل، تندی بیشینه می‌شود؛ پس:
$v_M=\omega A=2\pi fA$
با جای‌گذاری بسامد و دامنه:
$v_M=2\pi\times 8\times 0.10=\frac{8\pi}{5}\,\mathrm{m/s}$
جهت انتشار موج برای تعیین این تندی لازم نیست؛ جهت انتشار تنها در تعیین جهت سرعت ذره نقش دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ــ وابستگی شدت صوت به فاصله:
طبق رابطهٔ $I=P_{\mathrm{av}}/A$، شدت صوت با مساحت سطح انتشار نسبت وارون دارد (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷۲). برای انتشار کروی، $A=4\pi r^2$ است؛ بنابراین با صرف‌نظر از جذب انرژی و ثابت بودن توان چشمه داریم:
$I=\dfrac{P_{\mathrm{av}}}{4\pi r^2}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{I_1}{I_2}=\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)^2$.

گام دوم ــ استفاده از تغییر تراز شدت صوت:
با دور شدن از چشمه، شدت و تراز شدت صوت کاهش می‌یابند؛ پس $\beta_1-\beta_2=14\,\mathrm{dB}$. از تعریف تراز شدت صوت، $\beta=(10\,\mathrm{dB})\log(I/I_0)$، نتیجه می‌شود (فیزیک ۳، صفحات ۷۲–۷۳):
$\beta_1-\beta_2=(10\,\mathrm{dB})\log\dfrac{I_1}{I_2}=(20\,\mathrm{dB})\log\dfrac{r_2}{r_1}$.
بنابراین:
$14\,\mathrm{dB}=(20\,\mathrm{dB})\log\dfrac{r_2}{r_1}\quad\Rightarrow\quad\log\dfrac{r_2}{r_1}=0.7$.

گام سوم ــ محاسبهٔ نسبت فاصله‌ها:
با توجه به دادهٔ سؤال:
$\log 5=\log(10/2)=1-\log 2=1-0.3=0.7$.
پس $r_2/r_1=5$ و در نتیجه $r_2=5r_1$.

گام چهارم ــ تعیین فاصلهٔ اولیه:
چون به اندازهٔ $20\,\mathrm{m}$ دور شده‌ایم:
$r_2-r_1=20\,\mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad 5r_1-r_1=20\,\mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad r_1=5\,\mathrm{m}$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

طبق رابطهٔ واپاشی، اگر تعداد اولیهٔ هسته‌های مادر $N_0$ و نیمه‌عمر ماده $T_{1/2}$ باشد، کسر هسته‌های مادر باقی‌مانده پس از زمان $t$ برابر است با $\frac{N(t)}{N_0}=\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۲۰–۱۲۱).

طبق دادهٔ سؤال داریم:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=\frac{1}{3}$.

برای زمان $\frac{t}{2}$، توانِ رابطه نصف می‌شود؛ بنابراین:
$\frac{N(t/2)}{N_0}=\left(\frac{1}{2}\right)^{t/(2T_{1/2})}=\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}\right]^{1/2}$.

با جای‌گذاری دادهٔ سؤال و انتخاب ریشهٔ مثبت، چون کسر باقی‌مانده مثبت است، به دست می‌آید:
$\frac{N(t/2)}{N_0}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

پس نصف شدن زمان به معنای نصف شدن کسر باقی‌مانده نیست؛ در واپاشی نمایی، باید از کسر باقی‌مانده جذر گرفت.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تعیین کمیت ثابت
چون خازن هنگام ورود عایق به باتری متصل می‌ماند، اختلاف پتانسیل دو صفحه ثابت و برابر ولتاژ باتری است؛ بار خازن لزوماً ثابت نمی‌ماند (فیزیک ۲، صفحهٔ ۲۸–۲۹).

از تعریف ظرفیت، ولتاژ اولیه را به دست می‌آوریم:
$V=\dfrac{Q_1}{C_1}=\dfrac{50\times10^{-9}\,\mathrm{C}}{10\times10^{-9}\,\mathrm{F}}=5\,\mathrm{V}$.

۲. بررسی اثر دی‌الکتریک
با قرار گرفتن دی‌الکتریک در تمام فضای بین صفحات و ثابت ماندن ابعاد خازن، ظرفیت به اندازهٔ ثابت دی‌الکتریک افزایش می‌یابد:
$C_2=kC_1=5\times10\,\mathrm{nF}=50\,\mathrm{nF}$.
پس با وجود ثابت ماندن ولتاژ، ظرفیت و در نتیجه انرژی ذخیره‌شده افزایش می‌یابد.

۳. محاسبهٔ تغییر انرژی
طبق رابطهٔ انرژی خازن، $U=\tfrac{1}{2}CV^2$ است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۳۳–۳۴). بنابراین در ولتاژ ثابت داریم:
$\Delta U=U_2-U_1=\dfrac{1}{2}(C_2-C_1)V^2$.

با جای‌گذاری داده‌ها:
$\Delta U=\dfrac{1}{2}\bigl((50-10)\times10^{-9}\,\mathrm{F}\bigr)(5\,\mathrm{V})^2=500\times10^{-9}\,\mathrm{J}=500\,\mathrm{nJ}$.

بنابراین انرژی خازن به اندازهٔ $500\,\mathrm{nJ}$ افزایش می‌یابد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. تعیین مقاومت معادل شاخه‌های موازی

مقاومت معادل سه مقاومت موازی را $R_{\mathrm{p}}$ و جریان کل مدار را $I$ می‌نامیم. مقاومت $R$ با این مجموعه متوالی است؛ بنابراین جریان عبوری از $R$ و مقاومت معادل یکسان است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶).

مجموع توان‌های مصرفی شاخه‌ها برابر توان مصرفی مقاومت معادل آن‌هاست. پس با استفاده از $P=I^2R$ و شرط صورت سؤال داریم:

$P_R=P_1+P_2+P_3\quad\Rightarrow\quad I^2R=I^2R_{\mathrm{p}}$

در نتیجه:

$R_{\mathrm{p}}=R=2\,\Omega$

۲. استفاده از نسبت توان دو شاخه

در اتصال موازی، اختلاف پتانسیل دو سر مقاومت‌ها برابر است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۷). اگر این اختلاف پتانسیل را $V$ بنامیم، با استفاده از $P=\frac{V^2}{R}$ خواهیم داشت:

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{V^2/R_1}{V^2/R_2}=\frac{R_2}{R_1}$

از شرط $P_1=2P_2$ نتیجه می‌شود:

$R_2=2R_1$

بنابراین شاخه‌ای که توان بیشتری مصرف می‌کند، مقاومت کمتری دارد.

۳. محاسبهٔ مقاومت‌های مجهول

رابطهٔ مقاومت معادل اتصال موازی را می‌نویسیم (فیزیک ۲، صفحه‌های ۵۸–۵۹):

$\frac{1}{R_{\mathrm{p}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}$

با جای‌گذاری مقدارهای معلوم و رابطهٔ به‌دست‌آمده:

$\frac{1}{2\,\Omega}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{2R_1}+\frac{1}{4\,\Omega}$

پس:

$\frac{1}{4\,\Omega}=\frac{3}{2R_1}\quad\Rightarrow\quad R_1=6\,\Omega$

و در نتیجه:

$R_2=2R_1=12\,\Omega$

نیروی محرکهٔ باتری و مقاومت درونی آن در تعیین جریان کل مؤثرند، اما در این حل، جریان از رابطهٔ برابری توان‌ها حذف می‌شود و به مقدار آن‌ها نیازی نداریم.

پاسخ: گزینهٔ ۴

برای مقایسهٔ مقاومت دو سیم باید اثر طول، سطح مقطع و جنس آن‌ها را بررسی کنیم؛ این عوامل در کتاب به‌عنوان عوامل مؤثر بر مقاومت معرفی شده‌اند (فیزیک ۲، صفحهٔ ۴۳).

۱. رابطهٔ مقاومت سیم:
$R=\rho\frac{L}{A}$
در این رابطه، $\rho$ مقاومت ویژه، $L$ طول و $A$ مساحت سطح مقطع است. چون جنس سیم تغییر نکرده و تغییر دما نیز مطرح نشده است، مقاومت ویژه را ثابت می‌گیریم.

۲. محاسبهٔ طول و قطر جدید:
کاهش $20\%$ یعنی باقی ماندن $80\%$ مقدار اولیه؛ بنابراین:
$L'=0.8L$ و $d'=0.8d$.

۳. محاسبهٔ سطح مقطع جدید:
سطح مقطع سیم دایره‌ای است، پس:
$A=\frac{\pi d^2}{4}$
در نتیجه:
$\frac{A'}{A}=\left(\frac{d'}{d}\right)^2=(0.8)^2=0.64$.
نکتهٔ اصلی این است که کاهش قطر به اندازهٔ $20\%$، به معنی کاهش سطح مقطع به همین اندازه نیست.

۴. محاسبهٔ نسبت مقاومت‌ها:
$\frac{R'}{R}=\frac{\rho L'/A'}{\rho L/A}=\frac{L'}{L}\frac{A}{A'}=\frac{0.8}{0.64}=\frac{5}{4}$
پس مقاومت سیم جدید برابر با $\frac{5}{4}R$ است. کاهش سطح مقطع نسبت به کاهش طول اثر بیشتری دارد؛ به همین دلیل مقاومت افزایش می‌یابد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. خواندن درست داده‌ها
در نگارش سؤال، خط مورب نشانهٔ ممیز است، نه خط کسر؛ بنابراین چگالی‌ها عبارت‌اند از:
$\rho_A=1.2\,\mathrm{g/cm^3}$، $\rho_B=1.8\,\mathrm{g/cm^3}$ و $\rho_{\text{مخلوط}}=1.4\,\mathrm{g/cm^3}$.

۲. نوشتن رابطهٔ چگالی مخلوط
طبق تعریف چگالی، $\rho=m/V$ و در نتیجه $m=\rho V$ است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۱۷). با فرض معمول این مسئله، یعنی تغییرنکردن حجم کل هنگام مخلوط‌شدن، داریم:
$\rho_{\text{مخلوط}}=\dfrac{m_A+m_B}{V_A+V_B}=\dfrac{\rho_A V_A+\rho_B V_B}{V_A+V_B}$.
همهٔ چگالی‌ها یکای یکسان دارند؛ پس نیازی به تبدیل یکا نیست.

۳. یافتن نسبت حجم‌ها
با جای‌گذاری مقدار چگالی‌ها:
$1.4(V_A+V_B)=1.2V_A+1.8V_B$
بنابراین:
$(1.4-1.2)V_A=(1.8-1.4)V_B$
$0.2V_A=0.4V_B\quad\Rightarrow\quad \dfrac{V_A}{V_B}=2$.

۴. تبدیل نسبت حجم‌ها به نسبت جرم‌ها
با استفاده از رابطهٔ جرم و چگالی:
$\dfrac{m_A}{m_B}=\dfrac{\rho_A V_A}{\rho_B V_B}=\dfrac{1.2}{1.8}\times 2=\dfrac{4}{3}$.
پس جرم مایع $A$، برابر $\dfrac{4}{3}$ جرم مایع $B$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. طبق تعریف کتاب، بازده برابر نسبت انرژی مفید خروجی به انرژی ورودی است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۷۴–۷۵):
$\eta=\frac{E_{\text{خروجی}}}{E_{\text{ورودی}}}$
در این رابطه، بازده را به‌صورت کسری می‌نویسیم؛ بنابراین بازده نیروگاه $0.25$ و بازده خطوط انتقال $0.60$ است.

۲. انرژی ورودی نیروگاه را $E_0$، انرژی برق تولیدشده را $E_1$ و انرژی رسیده به مصرف‌کننده را $E_2$ می‌نامیم. چون خروجی نیروگاه همان ورودی خطوط انتقال است، داریم:
$E_1=0.25E_0$
$E_2=0.60E_1=0.60\times0.25E_0$

۳. بازده کل، نسبت انرژی خروجی نهایی به انرژی ورودی اولیه است:
$\eta_{\text{کل}}=\frac{E_2}{E_0}=0.60\times0.25=0.15$
پس بازده کل برحسب درصد برابر است با:
$\eta_{\text{کل}}(\%)=0.15\times100=15\%$
بنابراین در سامانه‌های پیاپی، بازده‌های کسری در هم ضرب می‌شوند.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. انتخاب رابطهٔ مناسب: هر دو جامد از ابتدا در دمای ذوب قرار دارند؛ بنابراین گرمای داده‌شده صرف ذوب آن‌ها می‌شود، نه افزایش دما. طبق رابطهٔ گرمای نهان ذوب داریم: $Q=mL_F$، پس $L_F=\frac{Q}{m}$ (فیزیک ۱، صفحهٔ ۱۰۵).

۲. یکسان‌کردن واحد جرم‌ها: جرم مادهٔ $A$ را به کیلوگرم تبدیل می‌کنیم:
$m_A=400\,\mathrm{g}=0.4\,\mathrm{kg}$.
جرم مادهٔ $B$ نیز برابر $m_B=3\,\mathrm{kg}$ است. چون هر دو گرما بر حسب کیلوژول داده شده‌اند، می‌توان گرمای نهان ذوب را بر حسب $\mathrm{kJ/kg}$ حساب کرد.

۳. محاسبهٔ گرمای نهان ذوب هر ماده:
$L_A=\frac{Q_A}{m_A}=\frac{50}{0.4}=125\,\mathrm{kJ/kg}$
و
$L_B=\frac{Q_B}{m_B}=\frac{150}{3}=50\,\mathrm{kJ/kg}$.

۴. محاسبهٔ نسبت خواسته‌شده:
$\frac{L_A}{L_B}=\frac{125}{50}=2.5$.
بنابراین گرمای نهان ذوب مادهٔ $A$ برابر $2.5$ برابر گرمای نهان ذوب مادهٔ $B$ است؛ این مقدار همان عدد اعشاریِ نوشته‌شده در گزینهٔ دوم است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا جهت انتقال گرما را مشخص می‌کنیم: آب گرم‌تر است، پس گرما از آب به لیوان منتقل می‌شود تا هر دو به دمای مشترک $\theta$ برسند؛ این همان تعادل گرمایی است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۹۶).

چون تبادل گرما با محیط نداریم، گرمای ازدست‌رفتهٔ آب برابر گرمای دریافتی لیوان است. با استفاده از رابطهٔ $Q=mc\Delta\theta$، مانند مثال کتاب، می‌نویسیم (فیزیک ۱، صفحهٔ ۱۰۰):
$m_{\text{آب}}c_{\text{آب}}(70-\theta)=m_{\text{آلومینیم}}c_{\text{آلومینیم}}(\theta-20)$
در این رابطه، همهٔ دماها برحسب درجهٔ سلسیوس‌اند.

جرم‌ها را به کیلوگرم تبدیل می‌کنیم:
$m_{\text{آب}}=0.300\,\mathrm{kg},\qquad m_{\text{آلومینیم}}=0.120\,\mathrm{kg}$
پس با جای‌گذاری داده‌ها داریم:
$(0.300)(4187)(70-\theta)=(0.120)(900)(\theta-20)$
$1256.1(70-\theta)=108(\theta-20)$

با باز کردن پرانتزها و مرتب‌سازی:
$87927-1256.1\theta=108\theta-2160$
$90087=1364.1\theta$
بنابراین:
$\theta=\frac{90087}{1364.1}\,^\circ\mathrm{C}\approx66.04^\circ\mathrm{C}\approx66^\circ\mathrm{C}$

برای بررسی کیفی، ظرفیت گرمایی آب از لیوان بسیار بیشتر است؛ بنابراین دمای نهایی باید به دمای اولیهٔ آب نزدیک‌تر باشد که با نتیجه سازگار است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول ــ انتخاب رابطهٔ مناسب:
چون سیم‌لوله آرمانی است و میدان درون آن، دور از لبه‌ها خواسته شده، از رابطهٔ $B=\dfrac{\mu_0 NI}{\ell}$ استفاده می‌کنیم؛ در این رابطه، $N$ تعداد کل دورهای سیم‌لوله است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۸۱–۸۲). با جداکردن مجهول داریم:
$N=\dfrac{B\ell}{\mu_0 I}$

گام دوم ــ تبدیل واحدها:
خط مورب در داده‌های سؤال نشانهٔ ممیز است؛ بنابراین جریان برابر $I=1.5\,\mathrm{A}$ و میدان برابر $B=1.8\,\mathrm{G}$ است. طول سیم‌لوله را به متر تبدیل می‌کنیم:
$\ell=50\,\mathrm{cm}=0.50\,\mathrm{m}$
همچنین با توجه به تبدیل $1\,\mathrm{G}=10^{-4}\,\mathrm{T}$ که در مثال کتاب نیز به کار رفته است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۷۵–۷۶)، داریم:
$B=1.8\times10^{-4}\,\mathrm{T}$

گام سوم ــ جای‌گذاری و محاسبه:
با استفاده از مقدار تراوایی داده‌شده در صورت سؤال:
$N=\dfrac{(1.8\times10^{-4})(0.50)}{(12\times10^{-7})(1.5)}=\dfrac{9\times10^{-5}}{1.8\times10^{-6}}=50$
پس سیم‌لوله دارای $50$ دور است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

در مدل رادرفورد، هستهٔ کوچک و مثبت در مرکز اتم قرار دارد و الکترون‌ها پیرامون آن هستند (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۰۳–۱۰۴). صورت سؤال می‌خواهد پیامد حرکت سیاره‌مانند الکترون را با قوانین کلاسیکی بررسی کنیم، نه با فرض ترازهای انرژی مدل بور.

۱. وابستگی تندی به شعاع مدار
اگر بار هسته $+Ze$، جرم الکترون $m$ و شعاع مدار $r$ باشد، نیروی جاذبهٔ الکتریکی، نیروی مرکزگرای لازم را فراهم می‌کند:
$\frac{kZe^2}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$
پس:
$v=\sqrt{\frac{kZe^2}{mr}}$
بنابراین با کاهش فاصله از هسته، تندی الکترون افزایش می‌یابد.

۲. تغییر بسامد حرکت مداری
بسامد حرکت مداری برابر است با:
$f=\frac{v}{2\pi r}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{kZe^2}{mr^3}}$
در نتیجه:
$f\propto r^{-3/2}$
پس با نزدیک شدن الکترون به هسته، بسامد مداری افزایش می‌یابد، نه کاهش.

۳. تغییر طول موج تابش
در توصیف کلاسیکی، الکترونِ در حال گردش شتاب دارد و تابش می‌کند؛ بسامد تابش آن با بسامد حرکت مداری متناظر است. از رابطهٔ موج الکترومغناطیسی داریم:
$\lambda=\frac{c}{f}$
بنابراین افزایش بسامد، باعث کاهش طول موج تابش می‌شود؛ این همان نتیجهٔ مورد نظر سؤال است.

۴. بررسی انرژی و نوع طیف
انرژی جنبشی و پتانسیل الکترون در مدار عبارت‌اند از:
$K=\frac{kZe^2}{2r}$ ، $U=-\frac{kZe^2}{r}$
پس انرژی کل برابر است با:
$E=K+U=-\frac{kZe^2}{2r}$
با کاهش شعاع، انرژی کل منفی‌تر می‌شود و کاهش می‌یابد؛ هرچند انرژی جنبشی افزایش پیدا می‌کند. همچنین در این مدل، شعاع مدار و بسامد تابش پیوسته تغییر می‌کنند و سازوکاری برای ایجاد طول موج‌های گسسته وجود ندارد. کتاب نیز ناتوانی مدل‌های پیش از بور در توضیح طول موج‌های معین را بیان می‌کند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۲). در مدل بور، خط‌های طیفی بر اثر گذار الکترون میان ترازهای انرژی معین پدید می‌آیند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۹).

پاسخ: گزینهٔ ۳

مبنای حل، قاعدهٔ دست راست برای تعیین جهت نیروی مغناطیسی است: ابتدا جهت نیرو را برای بار مثبت پیدا می‌کنیم؛ نیروی وارد بر بار منفی، در همان شرایط، جهت مخالف دارد. همچنین نیروی مغناطیسی بر هر دو راستای سرعت و میدان عمود است (فیزیک ۲، بخش نیروی مغناطیسی وارد بر ذرّهٔ باردار متحرک، صفحهٔ ۷۲).

نماد $\otimes$ به معنی جهت به درون صفحه و نماد $\odot$ به معنی جهت به بیرون صفحه است.

بررسی شکل‌ها:

۱. شکل ۱: سرعت درون‌سو و میدان به سمت راست است. قاعدهٔ دست راست برای بار مثبت، نیرو را رو به پایین می‌دهد؛ بنابراین نیروی بار منفی رو به بالاست. پس پیکان رو به پایینِ شکل نادرست است.

۲. شکل ۲: سرعت رو به پایین و میدان درون‌سو است. برای بار مثبت، جهت نیرو به سمت راست به دست می‌آید. چون بار منفی است، جهت نیرو وارونه می‌شود و به سمت چپ خواهد بود؛ درست مطابق پیکان شکل.

۳. شکل ۳: سرعت برون‌سو و میدان به سمت بالا‌راست است. نیروی بار مثبت به سمت بالا‌چپ و نیروی بار منفی به سمت پایین‌راست است. پس جهت نشان‌داده‌شده برای بار منفی درست نیست.

۴. شکل ۴: سرعت به سمت بالا‌راست و میدان به سمت چپ است. نیروی بار مثبت برون‌سو می‌شود؛ بنابراین نیروی بار منفی باید درون‌سو باشد، نه برون‌سو.

پس تنها شکل ۲ جهت نیروی مغناطیسی وارد بر بار منفی را درست نشان می‌دهد.

پاسخ: گزینهٔ ۲