سوالات فیزیک کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

گام اول ــ بررسی راستای میدان: طبق کتاب، نیروی مغناطیسی بر سرعت ذره و میدان مغناطیسی عمود است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۷۱). در این سؤال، خودِ سرعت نیز بر میدان عمود است. چون سرعت رو به پایین و نیرو رو به چپ است، میدان باید عمود بر صفحهٔ شکل باشد؛ پس فقط درون‌سو یا برون‌سو می‌تواند باشد.

گام دوم ــ توجه به علامت بار: قاعدهٔ دست راست، جهت نیروی وارد بر بار مثبت را تعیین می‌کند و نیروی وارد بر بار منفی خلاف آن است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۷۱). بنابراین، چون نیروی الکترون به چپ است، نیروی یک بار مثبت با همین سرعت و در همین میدان باید به راست باشد.

گام سوم ــ تعیین جهت میدان: انگشتان دست راست را در جهت سرعت، رو به پایین، می‌گیریم. برای اینکه شست جهت نیروی بار مثبت، یعنی راست، را نشان دهد، باید انگشتان به طرف داخل صفحه خم شوند. پس میدان مغناطیسی درون‌سو، یعنی عمود بر صفحه و به طرف داخل آن است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

ابتدا عدد کوانتومی حالت موردنظر را مشخص می‌کنیم. حالت پایه متناظر با $n=1$، نخستین حالت برانگیخته متناظر با $n=2$ و دومین حالت برانگیخته متناظر با $n=3$ است؛ همین نکته در مثال کتاب نیز آمده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷).

طبق مدل بور، انرژی الکترون در اتم هیدروژن از رابطهٔ $E_n=\frac{-13.6\,\mathrm{eV}}{n^2}$ به دست می‌آید (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۵).

برای یافتن اینکه انرژی دومین حالت برانگیخته چند برابر انرژی حالت پایه است، نسبت آن‌ها را حساب می‌کنیم:
$\frac{E_3}{E_1}=\frac{(-13.6\,\mathrm{eV})/3^2}{(-13.6\,\mathrm{eV})/1^2}=\frac{1}{9}$.

هر دو انرژی منفی‌اند، پس نسبت آن‌ها مثبت است. توجه کنید که سؤال نسبتِ انرژی دو حالت را می‌خواهد، نه اختلاف انرژی آن‌ها.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. انتخاب رابطهٔ مناسب
تندی متوسط از تقسیم «مسافت کل» بر «زمان کل» به دست می‌آید، نه از تقسیم جابه‌جایی بر زمان (فیزیک ۳، صفحه‌های ۳–۴):
$s_{\mathrm{av}}=\frac{l}{\Delta t}$
پس ابتدا باید بررسی کنیم که آیا متحرک در بازهٔ داده‌شده تغییر جهت می‌دهد یا خیر.

۲. پیدا کردن زمان تغییر جهت
در حرکت روی خط راست، علامت سرعت جهت حرکت را مشخص می‌کند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۹). با صفر قراردادن سرعت داریم:
$-6t+18=0\quad\Rightarrow\quad t=3\,\mathrm{s}$
پیش از این لحظه سرعت مثبت و پس از آن منفی است؛ بنابراین متحرک درون بازهٔ سؤال تغییر جهت می‌دهد و باید مسافت دو بخش را جداگانه حساب کنیم.

۳. محاسبهٔ مسافت هر بخش
چون معادلهٔ سرعت نسبت به زمان خطی است، شتاب ثابت است. در حرکت با شتاب ثابت، سرعت متوسط هر بازه برابر میانگین سرعت‌های ابتدا و انتهای آن است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۶–۱۷).

در بازهٔ $0$ تا $3\,\mathrm{s}$، سرعت از $18\,\mathrm{m/s}$ به صفر می‌رسد؛ پس:
$\Delta x_1=\frac{18+0}{2}\times(3-0)=27\,\mathrm{m}$
چون در این بخش تغییر جهت نداریم، مسافت آن برابر $l_1=27\,\mathrm{m}$ است.

در انتهای بازهٔ سؤال:
$v(4)=-6(4)+18=-6\,\mathrm{m/s}$
بنابراین در بازهٔ $3$ تا $4\,\mathrm{s}$ داریم:
$\Delta x_2=\frac{0+(-6)}{2}\times(4-3)=-3\,\mathrm{m}$
علامت منفی، جهت جابه‌جایی را نشان می‌دهد؛ مسافت این بخش برابر $l_2=|\Delta x_2|=3\,\mathrm{m}$ است.

۴. محاسبهٔ تندی متوسط
مسافت کل برابر است با:
$l=l_1+l_2=27+3=30\,\mathrm{m}$
پس:
$s_{\mathrm{av}}=\frac{30}{4-0}=7.5\,\mathrm{m/s}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. انتخاب مبدأ زمان و رابطهٔ حرکت
لحظهٔ $t_1$ را مبدأ زمان می‌گیریم و سرعت متحرک در این لحظه را $v_0$ می‌نامیم. این انتخاب به معنی صفر بودن سرعت نیست. در حرکت با شتاب ثابت داریم:
$\Delta x=v_0\Delta t+\frac12a(\Delta t)^2$
این رابطه در حل مثال حرکت با شتاب ثابت کتاب به کار رفته است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۷–۱۸).

۲. نوشتن معادله برای بخش اول و کل بازه
جابه‌جایی در $4\,\mathrm{s}$ اول برابر نصف جابه‌جایی کل است:
$\Delta x_1=\frac{400}{2}=200\,\mathrm{m}$
پس برای این بخش داریم:
$200\,\mathrm{m}=v_0(4\,\mathrm{s})+\frac12a(4\,\mathrm{s})^2$
با تقسیم بر $4\,\mathrm{s}$:
$50\,\mathrm{m/s}=v_0+(2\,\mathrm{s})a \qquad (1)$
برای کل بازهٔ $16\,\mathrm{s}$ نیز می‌نویسیم:
$400\,\mathrm{m}=v_0(16\,\mathrm{s})+\frac12a(16\,\mathrm{s})^2$
با تقسیم بر $16\,\mathrm{s}$:
$25\,\mathrm{m/s}=v_0+(8\,\mathrm{s})a \qquad (2)$

۳. حذف سرعت اولیه و محاسبهٔ شتاب
با کم‌کردن رابطهٔ $(1)$ از رابطهٔ $(2)$، سرعت اولیه حذف می‌شود:
$-25\,\mathrm{m/s}=(6\,\mathrm{s})a$
بنابراین:
$a=-\frac{25}{6}\,\mathrm{m/s^2}$
علامت منفی، جهت شتاب را مشخص می‌کند؛ اما سؤال بزرگی شتاب را خواسته است:
$|a|=\frac{25}{6}\,\mathrm{m/s^2}$

پاسخ: گزینهٔ ۴

چون حرکت روی محور $x$ است، با مؤلفه‌های علامت‌دار سرعت و مکان کار می‌کنیم. شتاب در هر بخش نمودار ثابت است؛ پس در هر بازه می‌توان نوشت:
$v_f=v_i+a\Delta t$
$x_f=x_i+v_i\Delta t+\frac12a(\Delta t)^2$
این روابط مربوط به حرکت با شتاب ثابت‌اند و در رابطهٔ مکان باید زمان سپری‌شده از لحظهٔ معلوم را قرار دهیم، نه لزوماً زمانِ نشان‌داده‌شده روی محور نمودار (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۶–۱۷).

گام اول: یافتن سرعت و مکان در لحظهٔ تغییر شتاب
از لحظهٔ $t=2\,\mathrm{s}$ تا $t=15\,\mathrm{s}$، شتاب برابر $a_1=2\,\mathrm{m/s^2}$ و مدت حرکت برابر است با:
$\Delta t_1=15-2=13\,\mathrm{s}$
پس سرعت در پایان این بازه:
$v_{15}=-6+2(13)=20\,\mathrm{m/s}$
و مکان در همان لحظه:
$x_{15}=-16+(-6)(13)+\frac12(2)(13)^2=75\,\mathrm{m}$
دقت کنید که سرعت اولیه منفی است؛ بنابراین جملهٔ $v_i\Delta t$ نیز منفی وارد محاسبه می‌شود.

گام دوم: محاسبهٔ مکان در پایان بازهٔ دوم
از $t=15\,\mathrm{s}$ تا $t=35\,\mathrm{s}$، شتاب برابر $a_2=-1\,\mathrm{m/s^2}$ و مدت حرکت برابر است با:
$\Delta t_2=35-15=20\,\mathrm{s}$
مکان و سرعت ابتدای این بازه همان مقادیر به‌دست‌آمده در گام قبل‌اند؛ بنابراین:
$x_{35}=75+20(20)+\frac12(-1)(20)^2$
$x_{35}=75+400-200=275\,\mathrm{m}$
در نتیجه بردار مکان نهایی برابر است با:
$\vec{x}(35\,\mathrm{s})=(275\,\mathrm{m})\vec{i}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

ابتدا شتاب گرانشی در سطح زمین را $g_0$ و در ارتفاع $h$ از سطح زمین را $g_h$ می‌نامیم.

۱. کاهش $99\%$ به این معناست که شتاب جدید فقط $1\%$ شتاب سطح زمین است؛ بنابراین:
$g_h=(1-0.99)g_0=0.01g_0$

۲. طبق رابطهٔ شتاب گرانشی، فاصله باید از مرکز زمین اندازه‌گیری شود. پس در سطح زمین و در ارتفاع $h$ داریم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۹):
$g_0=\dfrac{GM_e}{R_e^2}$
$g_h=\dfrac{GM_e}{(R_e+h)^2}$

۳. با تقسیم این دو رابطه، ثابت گرانش و جرم زمین حذف می‌شوند:
$\dfrac{g_h}{g_0}=\left(\dfrac{R_e}{R_e+h}\right)^2=\dfrac{1}{100}$

با گرفتن ریشهٔ دوم مثبت از دو طرف:
$\dfrac{R_e}{R_e+h}=\dfrac{1}{10}\quad\Rightarrow\quad R_e+h=10R_e$

۴. مقدار به‌دست‌آمده فاصله از مرکز زمین است، اما سؤال فاصله از سطح زمین را می‌خواهد. بنابراین:
$h=10R_e-R_e=9R_e$

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تعیین اندازهٔ اولیهٔ نیروها

نیروی قائمِ رو به بالا بخشی از وزن را جبران می‌کند؛ بنابراین با نوشتن تعادل نیروها در راستای قائم داریم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۵–۳۶):

$F_N+F-mg=0\quad\Rightarrow\quad F_N=mg-F$

وزن جسم برابر است با:

$mg=3\times10=30\,\mathrm{N}$

جسم در ابتدا در آستانهٔ حرکت است؛ پس نیروی اصطکاک ایستایی به بیشینهٔ خود رسیده و نیروی افقی را خنثی می‌کند. طبق رابطهٔ بیشینهٔ اصطکاک ایستایی (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۸–۳۹):

$F=f_{s,\max}=\mu_s F_N$

در نتیجه:

$F=0.5(30-F)\quad\Rightarrow\quad1.5F=15\quad\Rightarrow\quad F=10\,\mathrm{N}$

۲. بررسی وضعیت پس از کاهش نیروها

اندازهٔ جدید هر یک از نیروهای افقی و قائم برابر می‌شود با:

$F'=10-4=6\,\mathrm{N}$

با کاهش نیروی رو به بالا، نیروی عمودی سطح افزایش می‌یابد:

$F_N'=30-6=24\,\mathrm{N}$

پس بیشینهٔ اصطکاک ایستایی در وضعیت جدید برابر است با:

$f_{s,\max}'=0.5\times24=12\,\mathrm{N}$

۳. تعیین اصطکاک واقعی

نیروی افقی جدید از بیشینهٔ اصطکاک ایستایی کمتر است:

$6<12$

بنابراین جسم ساکن می‌ماند و اصطکاک ایستایی فقط به‌اندازه‌ای است که نیروی افقی را خنثی کند، نه به‌اندازهٔ بیشینهٔ خود (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۸–۳۹):

$f_s'=F'=6\,\mathrm{N}$

جهت این نیرو به سمت چپ است. چون جسم نمی‌لغزد، ضریب اصطکاک جنبشی در حل مسئله نقشی ندارد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. تعیین دورهٔ نوسان

معادلهٔ استاندارد حرکت هماهنگ ساده $x=A\cos\omega t$ است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۵). با مقایسهٔ آن با معادلهٔ سؤال داریم:
$\omega=4\pi\,\mathrm{rad/s}$
پس با استفاده از رابطهٔ بسامد زاویه‌ای و دوره (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۵–۵۶):
$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac12\,\mathrm{s}$
بنابراین:
$\frac{T}{4}=\frac18\,\mathrm{s}$

۲. تشخیص بخش‌های تندشونده

طبق کتاب، تندی در دو انتهای مسیر صفر و در نقطهٔ تعادل بیشینه است؛ بنابراین نوسانگر هنگام حرکت از هر انتهای مسیر به‌سوی تعادل، تندشونده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۵–۵۶).

در لحظهٔ $t=0$، نوسانگر در $x=+A$ قرار دارد؛ پس نخستین ربع‌دوره تندشونده است. این حالت پس از هر نیم‌دوره تکرار می‌شود. در نتیجه، بازه‌های تندشونده از رابطهٔ زیر به دست می‌آیند:
$\frac{nT}{2}<t<\frac{nT}{2}+\frac{T}{4}\qquad(n=0,1,2,\ldots)$

۳. محدودکردن بازه‌ها به زمان‌های داده‌شده

در بازهٔ $\frac1{12}\,\mathrm{s}$ تا $\frac76\,\mathrm{s}$، بخش‌های تندشونده عبارت‌اند از:
$\left(\frac1{12},\frac18\right),\quad\left(\frac14,\frac38\right),\quad\left(\frac12,\frac58\right),\quad\left(\frac34,\frac78\right),\quad\left(1,\frac98\right)$
که زمان‌های نوشته‌شده همگی برحسب $\mathrm{s}$ هستند. پس از $\frac98\,\mathrm{s}$ تا پایان بازه، نوسانگر از تعادل دور می‌شود و حرکت کندشونده است. باز یا بسته بودن مرز بازه‌ها نیز بر مدت محاسبه‌شده اثری ندارد.

بخش اول کوتاه‌شده و چهار بخش بعدی هرکدام یک ربع‌دورهٔ کامل‌اند. بنابراین مدت کل حرکت تندشونده برابر است با:
$\Delta t=\left(\frac18-\frac1{12}\right)+4\left(\frac18\right)=\frac1{24}+\frac12=\frac{13}{24}\,\mathrm{s}$

پاسخ: گزینهٔ ۴

در گسیل فوتون، الکترون از تراز بالاتر به تراز پایین‌تر می‌رود و اختلاف انرژی دو تراز به فوتون تبدیل می‌شود (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷).

۱. رابطهٔ مناسب را می‌نویسیم. طبق معادلهٔ ریدبرگ برای هیدروژن داریم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۱–۱۰۲):
$\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right),\qquad n>n'$
با استفاده از $f=\frac{c}{\lambda}$ نتیجه می‌شود:
$f=cR\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right)$

۲. یکاها را هماهنگ می‌کنیم. چون $1\,\mathrm{nm}=10^{-9}\,\mathrm{m}$، ثابت داده‌شده برابر است با:
$R=\frac{1}{100}\,(\mathrm{nm})^{-1}=10^{-2}\times10^9\,\mathrm{m}^{-1}=10^7\,\mathrm{m}^{-1}$
پس:
$cR=(3\times10^8)(10^7)\,\mathrm{s}^{-1}=3\times10^{15}\,\mathrm{Hz}$

۳. با قرار دادن بسامد داده‌شده، یعنی $f=2.25\times10^{15}\,\mathrm{Hz}$، به دست می‌آوریم:
$\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}=\frac{f}{cR}=\frac{2.25\times10^{15}}{3\times10^{15}}=\frac{3}{4}$

۴. برای گذار از $n=2$ به $n'=1$ داریم:
$\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
بنابراین بسامد فوتون این گذار دقیقاً برابر است با:
$f=(3\times10^{15})\times\frac{3}{4}=2.25\times10^{15}\,\mathrm{Hz}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ـ تعیین ترازهای دو گذار:
در هر رشته، اولین خط مربوط به $n=n'+1$ است و برای خطِ شمارهٔ $k$ داریم $n=n'+k$. این ترتیب در جدول رشته‌های طیفی و مثال خط‌های براکت آمده است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۰۱–۱۰۲).

پس برای دومین خط براکت:
$n'=4,\qquad n=4+2=6$

و برای چهارمین خط بالمر:
$n'=2,\qquad n=2+4=6$

بنابراین گذارهای موردنظر به‌ترتیب $6\to4$ و $6\to2$ هستند.

گام دوم ـ نوشتن رابطهٔ ریدبرگ:
طبق رابطهٔ ریدبرگ، $\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right)$ است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۰۰–۱۰۱). برای دومین خط براکت داریم:
$\frac{1}{\lambda_{\mathrm{Br},2}}=R\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{36}\right)=\frac{5R}{144}$

برای چهارمین خط بالمر نیز:
$\frac{1}{\lambda_{\mathrm{Ba},4}}=R\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{36}\right)=\frac{2R}{9}$

گام سوم ـ محاسبهٔ نسبت طول‌موج‌ها:
چون رابطهٔ ریدبرگ معکوس طول‌موج را می‌دهد، ترتیب کسرها در نسبت طول‌موج‌ها برعکس می‌شود:
$\frac{\lambda_{\mathrm{Br},2}}{\lambda_{\mathrm{Ba},4}}=\frac{2R/9}{5R/144}=\frac{2}{9}\times\frac{144}{5}=\frac{32}{5}$

پس طول‌موج دومین خط براکت، $\frac{32}{5}$ برابر طول‌موج چهارمین خط بالمر است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. تعیین کمیت ثابت: چون صفحه‌ها همچنان به مولد متصل‌اند، اختلاف پتانسیل آنها در هر دو حالت برابر $V_B-V_A=20\,\mathrm{V}$ است. پتانسیل صفحهٔ $A$ را مرجع صفر می‌گیریم؛ انتخاب مرجع برای پتانسیل مجاز است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۲۲).

۲. نوشتن رابطهٔ پتانسیل نقطه: در میدان یکنواخت، برای دو نقطه که خط واصل آنها هم‌راستای میدان است، رابطهٔ $|\Delta V|=E\ell$ برقرار است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۲۴). میدان از صفحهٔ مثبت $B$ به صفحهٔ منفی $A$ است؛ بنابراین پتانسیل نقطهٔ $P$ از پتانسیل صفحهٔ $A$ بیشتر است و داریم:
$E=\frac{\varepsilon}{d},\qquad V_P-V_A=E\times AP=\frac{\varepsilon\,AP}{d}$

۳. حالت اولیه: فاصلهٔ دو صفحه $d_1=5\,\mathrm{mm}$ و فاصلهٔ نقطه از صفحهٔ ثابت $AP=2\,\mathrm{mm}$ است. پس:
$V_{P,1}=20\times\frac{2}{5}=8\,\mathrm{V}$

۴. حالت نهایی: با ثابت ماندن صفحهٔ $A$ و نقطهٔ $P$، فاصلهٔ آنها همچنان $2\,\mathrm{mm}$ است؛ اما فاصلهٔ صفحه‌ها به $d_2=10\,\mathrm{mm}$ می‌رسد. بنابراین:
$V_{P,2}=20\times\frac{2}{10}=4\,\mathrm{V}$

۵. محاسبهٔ تغییر پتانسیل:
$\Delta V_P=V_{P,2}-V_{P,1}=4-8=-4\,\mathrm{V}$
پس پتانسیل نقطهٔ $P$ به اندازهٔ $4\,\mathrm{V}$ کاهش می‌یابد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق اصل برهم‌نهی، نیروی خالص وارد بر هر ذره برابر جمع برداری نیروهایی است که بارهای دیگر جداگانه بر آن وارد می‌کنند (فیزیک ۲، صفحه‌های ۷–۸). اندازهٔ هر نیرو را از قانون کولن، $F=k\frac{|q_iq_j|}{r^2}$، به دست می‌آوریم؛ روش محاسبه و تعیین جهت نیروها در مثال کتاب نیز به همین صورت است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۸).

گام اول: فاصله‌ها و مقیاس نیرو
فاصلهٔ بارهای اول و سوم برابر است با:
$r_{13}=x+2x=3x$.
برای ساده‌شدن محاسبه‌ها تعریف می‌کنیم:
$F_0=\frac{kq_1^2}{x^2}$.

گام دوم: نیروی خالص وارد بر بار $q_1$
بارهای $q_1$ و $q_2=2q_1$ هم‌نام‌اند؛ پس بار میانی، بار اول را به چپ می‌راند. اندازهٔ این نیرو برابر است با:
$F_{2\to1}=k\frac{|q_1(2q_1)|}{x^2}=2F_0$.
بار $q_3=-4q_1$ با بار اول ناهم‌نام است و آن را به راست می‌کشد:
$F_{3\to1}=k\frac{|q_1(-4q_1)|}{(3x)^2}=\frac{4}{9}F_0$.
این دو نیرو خلاف جهت یکدیگرند؛ بنابراین اندازهٔ نیروی خالص از تفاضل آن‌ها به دست می‌آید:
$F_{\mathrm{net},1}=2F_0-\frac{4}{9}F_0=\frac{14}{9}F_0$.

گام سوم: نیروی خالص وارد بر بار $q_3$
بار سوم با هر دو بار دیگر ناهم‌نام است؛ پس هر دو نیرو آن را به چپ می‌کشند. اندازهٔ نیروی ناشی از بار اول:
$F_{1\to3}=k\frac{|q_1(-4q_1)|}{(3x)^2}=\frac{4}{9}F_0$.
اندازهٔ نیروی ناشی از بار میانی:
$F_{2\to3}=k\frac{|(2q_1)(-4q_1)|}{(2x)^2}=\frac{8}{4}F_0=2F_0$.
چون این دو نیرو هم‌جهت‌اند، اندازه‌هایشان جمع می‌شود:
$F_{\mathrm{net},3}=\frac{4}{9}F_0+2F_0=\frac{22}{9}F_0$.

گام چهارم: نسبت خواسته‌شده
$\frac{F_{\mathrm{net},1}}{F_{\mathrm{net},3}}=\frac{\frac{14}{9}F_0}{\frac{22}{9}F_0}=\frac{14}{22}=\frac{7}{11}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

برای صفرشدن نیروی خالص هر ذره، دو نیروی وارد بر آن باید هم‌اندازه و خلاف‌جهت باشند. این نتیجه از اصل برهم‌نهی نیروهای الکتریکی به دست می‌آید (فیزیک ۲، صفحه‌های ۷–۸). اندازهٔ هر نیرو نیز از قانون کولن، یعنی $F=k\frac{|q_iq_j|}{r^2}$، محاسبه می‌شود (فیزیک ۲، صفحهٔ ۹).

گام اول: تعیین ناحیهٔ قرارگیری بار سوم
چون $q_2=-9q_1$ است، دو بار داده‌شده ناهم‌نام‌اند. بین آن‌ها، نیروهای وارد بر هر بار سومِ ناصفر هم‌جهت هستند؛ پس تعادل در این ناحیه ممکن نیست. در سمت راست $q_2$ نیز بار بزرگ‌تر، یعنی $q_2$، نزدیک‌تر است و نیروی قوی‌تری بر بار سوم وارد می‌کند؛ بنابراین دو نیرو برابر نمی‌شوند. پس $q_3$ باید در سمت چپ $q_1$ قرار گیرد.

گام دوم: یافتن فاصله
فاصلهٔ $q_3$ از $q_1$ را $d$ می‌گیریم؛ فاصلهٔ آن از $q_2$ برابر $x+d$ است. از برابری اندازهٔ نیروهای وارد بر $q_3$ داریم:
$k\frac{|q_1q_3|}{d^2}=k\frac{|q_2q_3|}{(x+d)^2}$
با جای‌گذاری $|q_2|=9|q_1|$ و ساده‌کردن:
$\frac{1}{d^2}=\frac{9}{(x+d)^2}\quad\Rightarrow\quad x+d=3d\quad\Rightarrow\quad d=\frac{x}{2}$

گام سوم: تعیین علامت و مقدار بار سوم
نیروی $q_2$ بر $q_1$ جاذبه و به سمت راست است. بنابراین نیروی $q_3$ بر $q_1$ باید به سمت چپ باشد. چون $q_3$ در سمت چپ قرار دارد، باید با $q_1$ ناهم‌نام باشد تا آن را جذب کند.
از تعادل $q_1$ داریم:
$k\frac{|q_1q_3|}{(x/2)^2}=k\frac{|q_1q_2|}{x^2}$
پس:
$4|q_3|=9|q_1|\quad\Rightarrow\quad |q_3|=\frac{9}{4}|q_1|$
با توجه به ناهم‌نام‌بودن این دو بار:
$q_3=-\frac{9}{4}q_1$

گام چهارم: بررسی تعادل بار دوم
فاصلهٔ $q_2$ و $q_3$ برابر $\frac{3x}{2}$ است. نیروی $q_1$ بر $q_2$ جاذبه و به چپ، و نیروی $q_3$ بر آن دافعه و به راست است. اندازهٔ این دو نیرو نیز برابر است:
$F_{1\to2}=\frac{9k|q_1|^2}{x^2}$
$F_{3\to2}=k\frac{(9|q_1|)(\frac{9}{4}|q_1|)}{(3x/2)^2}=\frac{9k|q_1|^2}{x^2}$
پس نیروی خالص وارد بر هر سه ذره صفر می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. ولتاژ دو سر مقاومت $18\,\Omega$ را $V$ می‌نامیم. چون این مقاومت با شاخهٔ شامل $9\,\Omega$ و $R$ موازی است، ولتاژ شاخهٔ پایینی و کل مجموعهٔ موازی نیز $V$ است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۷).

۲. طبق شرط سؤال، ولتاژ مقاومت $12\,\Omega$ هم برابر $V$ است. جریان این مقاومت، جریان کل مدار است؛ بنابراین با استفاده از قانون اهم داریم:
$I=\dfrac{V}{12\,\Omega}$
جریان شاخهٔ بالایی نیز برابر است با:
$I_1=\dfrac{V}{18\,\Omega}$

۳. جریان کل در محل انشعاب، بین دو شاخه تقسیم می‌شود؛ یعنی $I=I_1+I_2$ (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۸). پس جریان شاخهٔ پایینی برابر است با:
$I_2=I-I_1=\dfrac{V}{12\,\Omega}-\dfrac{V}{18\,\Omega}=\dfrac{V}{36\,\Omega}$

۴. مقاومت‌های شاخهٔ پایینی متوالی‌اند و مقاومت معادل آن‌ها برابر مجموعشان است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶). در نتیجه:
$9\,\Omega+R=\dfrac{V}{I_2}=36\,\Omega$
پس:
$R=36\,\Omega-9\,\Omega=27\,\Omega$

برای این محاسبه به مقدار مقاومت $6\,\Omega$، نیروی محرکهٔ باتری یا مقاومت درونی آن نیاز نداریم؛ شرط برابری ولتاژها نسبت جریان‌ها را مشخص می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. تشخیص ولتاژ اندازه‌گیری‌شده

ولت‌سنج آرمانی مقاومت بی‌نهایت دارد و جریانی از آن عبور نمی‌کند؛ پس اتصال آن، جریان مدار را تغییر نمی‌دهد. این ویژگی، حالت آرمانیِ مقاومت بسیار بزرگ ولت‌سنج است که در کتاب توضیح داده شده است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۷).

ولت‌سنج به پایانه‌های باتری وصل است؛ بنابراین ولتاژ مقاومت خارجی را می‌خواند، نه لزوماً نیروی محرکهٔ باتری را. هنگام جریان‌دهی باتری، بخشی از نیروی محرکه صرف افت ولتاژ روی مقاومت درونی می‌شود:
$\varepsilon=Ir+V\quad\Rightarrow\quad V=\varepsilon-Ir$.
این رابطه از موازنهٔ ولتاژ در مدار دارای مقاومت درونی به دست می‌آید؛ نیروی محرکه بیانگر انرژی تأمین‌شده به ازای واحد بار است (فیزیک ۲، صفحه‌های ۵۰–۵۱).

۲. استفاده از حالت بسته‌بودن یک کلید

در این حالت فقط یک مقاومت $R$ در مدار خارجی قرار دارد. با استفاده از رابطهٔ مقاومت و اختلاف پتانسیل، داریم (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶):
$I_1R=6\,\mathrm{V}$.

افت ولتاژ روی مقاومت درونی نیز برابر است با:
$I_1r=\varepsilon-V_1=10\,\mathrm{V}-6\,\mathrm{V}=4\,\mathrm{V}$.

چون جریان مقاومت خارجی و مقاومت درونی یکسان است، با تقسیم دو رابطه به دست می‌آوریم:
$\dfrac{r}{R}=\dfrac{I_1r}{I_1R}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
پس:
$r=\dfrac{2R}{3}$.

۳. محاسبه در حالت بسته‌بودن هر دو کلید

اکنون دو مقاومت یکسان به‌صورت موازی قرار دارند. با استفاده از رابطهٔ مقاومت معادل موازی (فیزیک ۲، صفحه‌های ۵۸–۵۹):
$\dfrac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{R}\quad\Rightarrow\quad R_{\mathrm{eq}}=\dfrac{R}{2}$.

مقاومت درونی با این مقاومت معادل متوالی است؛ بنابراین:
$I_2=\dfrac{\varepsilon}{r+R/2}$.

ولت‌سنج، ولتاژ دو سر مقاومت معادل خارجی را نشان می‌دهد:
$V_2=I_2\dfrac{R}{2}=\varepsilon\dfrac{R/2}{r+R/2}$.

با جای‌گذاری نسبت به‌دست‌آمده:
$V_2=(10\,\mathrm{V})\dfrac{R/2}{2R/3+R/2}=(10\,\mathrm{V})\dfrac{1/2}{7/6}=\dfrac{30}{7}\,\mathrm{V}$.

این مقدار از ولتاژ اولیه کمتر است؛ زیرا با کاهش مقاومت خارجی، جریان باتری و افت ولتاژ درونی افزایش می‌یابد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

نکتهٔ مهم: داده‌های نوشته‌شدهٔ سؤال با کلید اعلام‌شده سازگار نیستند؛ محاسبهٔ دقیق به هیچ‌یک از گزینه‌ها نمی‌رسد.

۱. تعیین جریان مقاومت‌ها
ولت‌سنج آرمانی مقاومت بی‌نهایت دارد و جریانی از آن نمی‌گذرد؛ آمپرسنج آرمانی نیز مقاومت صفر دارد و افت ولتاژ ایجاد نمی‌کند. بنابراین جریان همهٔ مقاومت‌های مسیر، همان عدد آمپرسنج است: $I=0.8\,\mathrm{A}$ (فیزیک ۲، صفحه‌های ۵۶ و ۵۷).

۲. استفاده از عدد ولت‌سنج
چون ولت‌سنج به دو سر $R$ متصل است، داریم: $V_R=12\,\mathrm{V}$. در مدار متوالی، اختلاف پتانسیل کل برابر مجموع افت ولتاژهاست (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶). پس ولتاژ دو سر مولد برابر است با:
$V_{\text{پایانه}}=V_R+I(3\,\Omega+9\,\Omega)=12\,\mathrm{V}+(0.8\,\mathrm{A})(12\,\Omega)=21.6\,\mathrm{V}$.

۳. منظورکردن مقاومت درونی مولد
برای مولدی که به مدار جریان می‌دهد، رابطهٔ $V_{\text{پایانه}}=\varepsilon-Ir$ برقرار است؛ بنابراین نیروی محرکه از ولتاژ پایانه‌ها به‌اندازهٔ $Ir$ بیشتر است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۱):
$\varepsilon=V_{\text{پایانه}}+Ir=21.6\,\mathrm{V}+(0.8\,\mathrm{A})(2\,\Omega)=23.2\,\mathrm{V}$.

پس با داده‌های موجود، پاسخ دقیق $23.2\,\mathrm{V}$ است و هیچ گزینه‌ای دقیقاً درست نیست. گزینهٔ دوم فقط نزدیک‌ترین مقدار است؛ بدون دستور تقریب، نمی‌توان آن را پاسخ دقیق دانست و لازم است داده‌های شکل یا صورت سؤال بررسی شوند.

پاسخ: گزینهٔ ۲ (طبق کلید اعلام‌شده؛ با داده‌های نوشته‌شده سازگار نیست).

گام اول ـ نوشتن رابطهٔ انبساط طولی:
طبق رابطهٔ انبساط طولی، افزایش طول میله از رابطهٔ $\Delta L=\alpha L_0\Delta T$ به دست می‌آید (فیزیک ۱، صفحهٔ ۸۸–۸۹). در این مسئله باید از ضرایب داده‌شده در صورت سؤال استفاده کنیم:
$L_0=0.5\,\mathrm{m}$، $\alpha_{\text{مس}}=1.8\times10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}$ و $\alpha_{\text{آهن}}=1.2\times10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}$.

گام دوم ـ محاسبهٔ اختلاف طول دو میله:
طول اولیهٔ دو میله برابر است و هر دو به یک اندازه گرم می‌شوند. چون ضریب انبساط مس بزرگ‌تر است، میلهٔ مسی بیشتر افزایش طول پیدا می‌کند. پس اختلاف طول نهایی برابر است با:
$\delta L=L_{\text{مس}}-L_{\text{آهن}}=\Delta L_{\text{مس}}-\Delta L_{\text{آهن}}$
بنابراین:
$\delta L=L_0(\alpha_{\text{مس}}-\alpha_{\text{آهن}})\Delta T$
اختلاف ضرایب برابر است با:
$\alpha_{\text{مس}}-\alpha_{\text{آهن}}=(1.8-1.2)\times10^{-5}=6\times10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}}$.

گام سوم ـ یکسان‌کردن یکاها و جای‌گذاری:
اختلاف طول خواسته‌شده را به متر تبدیل می‌کنیم:
$\delta L=0.3\,\mathrm{mm}=3\times10^{-4}\,\mathrm{m}$
پس:
$\Delta T=\dfrac{\delta L}{L_0(\alpha_{\text{مس}}-\alpha_{\text{آهن}})}=\dfrac{3\times10^{-4}}{0.5\times6\times10^{-6}}=100\,\mathrm{K}$
اندازهٔ تغییر دما برحسب کلوین و درجهٔ سلسیوس یکسان است؛ بنابراین افزایش دما برابر $100\,{}^\circ\mathrm{C}$ است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۸۸–۸۹). با توجه به دمای اولیهٔ $0\,{}^\circ\mathrm{C}$، دمای نهایی میله‌ها برابر می‌شود با:
$T_f=T_i+\Delta T=0+100=100\,{}^\circ\mathrm{C}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲