سوالات فیزیک کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

گام اول ـ تعداد ذرات هستهٔ اولیه را مشخص می‌کنیم. در نماد $^{237}_{93}\mathrm{Np}$، عدد اتمی برابر تعداد پروتون‌ها و عدد جرمی برابر مجموع تعداد پروتون‌ها و نوترون‌هاست؛ پس:
$Z_0=93$
$N_0=A_0-Z_0=237-93=144$

گام دوم ـ اثر گسیل سه ذرهٔ آلفا را حساب می‌کنیم. هر ذرهٔ آلفا، هستهٔ هلیم با دو پروتون و دو نوترون است؛ بنابراین هر گسیل آلفا، عدد جرمی را چهار واحد و عدد اتمی را دو واحد کاهش می‌دهد. این مسئله نیز همان زنجیرهٔ واپاشی مطرح‌شده در تمرین کتاب است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۲۴). پس از سه گسیل آلفا داریم:
$A'=237-3\times4=225$
$Z'=93-3\times2=87$

گام سوم ـ اثر گسیل بتای منفی را اعمال می‌کنیم. در این واپاشی، یک نوترون درون هسته به پروتون تبدیل می‌شود؛ در نتیجه، عدد اتمی یک واحد افزایش می‌یابد، ولی عدد جرمی ثابت می‌ماند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۱۷–۱۱۸):
$A_f=225$
$Z_f=87+1=88$
ترتیب وقوع این واپاشی‌ها در نتیجهٔ نهاییِ شمارش نوترون‌ها و پروتون‌ها اثری ندارد.

گام چهارم ـ تعداد نوترون‌های نهایی را به دست می‌آوریم:
$N_f=A_f-Z_f=225-88=137$
بنابراین هستهٔ نهایی، به‌ترتیب دارای $137$ نوترون و $88$ پروتون است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا سرعت اولیه و سرعت در رأس سهمی را به‌ترتیب $v_0$ و $v_1$ می‌نامیم. از نمودار داریم:
$v_1>v_0>0,\qquad v(t_2)=0,\qquad 0<t_1<t_2$.

گام اول: بررسی تندی و علامت شتاب
تندی برابر بزرگی سرعت است؛ بنابراین وقتی سرعت مثبت باشد، افزایش سرعت به معنی افزایش تندی است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۹). در بازهٔ صفر تا $t_1$، نمودار بالای محور زمان قرار دارد و صعودی است؛ پس تندی افزایش می‌یابد و گزینهٔ ۱ نادرست است.

شتاب لحظه‌ای برابر شیب مماس بر نمودار سرعت ـ زمان است. پیش از $t_1$ شیب مثبت، در رأس صفر و پس از آن منفی است. بنابراین شتاب در تمام بازهٔ صفر تا $t_2$ خلاف جهت محور $x$ نیست و گزینهٔ ۳ نیز نادرست است.

گام دوم: مقایسهٔ شتاب‌های متوسط
طبق تعریف شتاب متوسط:
$a_{\mathrm{av}}=\frac{v_f-v_i}{t_f-t_i}$.

برای بازهٔ $t_1$ تا $t_2$ داریم:
$\left|a_{\mathrm{av},\,t_1\to t_2}\right|=\left|\frac{0-v_1}{t_2-t_1}\right|=\frac{v_1}{t_2-t_1}$.

برای بازهٔ صفر تا $t_2$ نیز:
$\left|a_{\mathrm{av},\,0\to t_2}\right|=\left|\frac{0-v_0}{t_2}\right|=\frac{v_0}{t_2}$.

در کسر اول، صورت بزرگ‌تر و مخرج مثبت کوچک‌تر است؛ زیرا $v_1>v_0>0$ و $0<t_2-t_1<t_2$. پس:
$\frac{v_1}{t_2-t_1}>\frac{v_0}{t_2}$.

بنابراین بزرگی شتاب متوسط در بازه‌ای که از رأس تا محل صفر شدن سرعت ادامه دارد، بیشتر است.

گام سوم: بررسی برابری بزرگی شتاب‌های لحظه‌ای
برای بررسی دقیق گزینهٔ ۲، معادلهٔ سهمی را به شکل $v=v_1-k(t-t_1)^2$ با $k>0$ می‌نویسیم. مثبت بودن سرعت اولیه و صفر بودن سرعت در $t_2$ می‌دهد:
$v_0=v_1-kt_1^2>0,\qquad v_1=k(t_2-t_1)^2$.
پس $t_2-t_1>t_1$. در سهمی، بزرگی شیب مماس با فاصلهٔ افقی از رأس متناسب است؛ بنابراین $|a(t_2)|>|a(0)|$ و گزینهٔ ۲ نادرست است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

طبق تعریف کتاب، شتاب متوسط برابر نسبت تغییر بردار سرعت به مدت بازه است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۰–۱۱):
$\vec a_{\mathrm{av}}=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}$
پس برای هر بازه داریم:
$\Delta\vec v=\vec a_{\mathrm{av}}\Delta t$

گام اول: تغییر سرعت در بازهٔ نخست را حساب می‌کنیم:
$\Delta t_{12}=(10-5)\,\mathrm{s}=5\,\mathrm{s}$
$\Delta\vec v_{12}=(-4\,\mathrm{m/s^2})\vec i\times(5\,\mathrm{s})=(-20\,\mathrm{m/s})\vec i$

گام دوم: تغییر سرعت در بازهٔ دوم برابر است با:
$\Delta t_{23}=(12-10)\,\mathrm{s}=2\,\mathrm{s}$
$\Delta\vec v_{23}=(2\,\mathrm{m/s^2})\vec i\times(2\,\mathrm{s})=(4\,\mathrm{m/s})\vec i$

گام سوم: تغییر سرعت کل، جمع برداری تغییر سرعت‌های دو بازه است؛ زیرا:
$\vec v_3-\vec v_1=(\vec v_2-\vec v_1)+(\vec v_3-\vec v_2)$
بنابراین:
$\Delta\vec v_{13}=(-20+4)\vec i\,\mathrm{m/s}=(-16\,\mathrm{m/s})\vec i$

گام چهارم: تغییر سرعت کل را بر مدت کل تقسیم می‌کنیم:
$\Delta t_{13}=(12-5)\,\mathrm{s}=7\,\mathrm{s}$
$\vec a_{\mathrm{av},13}=\frac{(-16\,\mathrm{m/s})\vec i}{7\,\mathrm{s}}=-\frac{16}{7}\vec i\,\mathrm{m/s^2}$

علامت منفی نشان می‌دهد شتاب متوسط کل در جهت منفی محور $x$ است. برای این محاسبه نیازی به ثابت‌بودن شتاب در هر بازه نداریم؛ تعریف شتاب متوسط کافی است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. تعیین سرعت‌ها از شیب نمودار
شیب نمودار مکان ـ زمان برابر سرعت است؛ بنابراین خط راست نشان‌دهندهٔ سرعت ثابت است و علامت شیب، جهت حرکت را تعیین می‌کند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷). تندی متحرک $B$ را $u$ می‌نامیم. چون شیب نمودار $A$ مثبت و شیب نمودار $B$ منفی است و تندی $A$ دو برابر تندی $B$ است، داریم:
$v_A=2u\,,\qquad v_B=-u$.

۲. تعیین مکان‌های اولیه
برای حرکت با سرعت ثابت از رابطهٔ $x=x_0+vt$ استفاده می‌کنیم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۴–۱۵).
متحرک $A$ در لحظهٔ $t=5\,\mathrm{s}$ از مبدأ می‌گذرد؛ پس:
$0=x_{A0}+(2u)(5\,\mathrm{s})\quad\Rightarrow\quad x_{A0}=-(10\,\mathrm{s})u$.
متحرک $B$ نیز در لحظهٔ $t=20\,\mathrm{s}$ به مبدأ می‌رسد؛ بنابراین:
$0=x_{B0}-u(20\,\mathrm{s})\quad\Rightarrow\quad x_{B0}=(20\,\mathrm{s})u$.

۳. استفاده از فاصلهٔ اولیه
در ابتدا $A$ در سمت منفی و $B$ در سمت مثبت محور مکان قرار دارند؛ بنابراین فاصلهٔ آن‌ها برابر است با:
$d_0=x_{B0}-x_{A0}=(20\,\mathrm{s})u-[-(10\,\mathrm{s})u]=(30\,\mathrm{s})u$.
با توجه به دادهٔ سؤال:
$(30\,\mathrm{s})u=150\,\mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad u=5\,\mathrm{m/s}$.
پس سرعت و مکان اولیهٔ متحرک $A$ عبارت‌اند از:
$v_A=10\,\mathrm{m/s}\,,\qquad x_{A0}=-50\,\mathrm{m}$.

۴. محاسبهٔ فاصله در لحظهٔ خواسته‌شده
در لحظهٔ $t=20\,\mathrm{s}$، مطابق نمودار، متحرک $B$ در مبدأ است؛ یعنی $x_B=0$. مکان متحرک $A$ در این لحظه برابر است با:
$x_A=-50\,\mathrm{m}+(10\,\mathrm{m/s})(20\,\mathrm{s})=150\,\mathrm{m}$.
فاصلهٔ دو متحرک، اندازهٔ اختلاف مکان آن‌هاست؛ پس:
$d=|x_A-x_B|=|150\,\mathrm{m}-0|=150\,\mathrm{m}$.
پاسخ: گزینهٔ ۳

نکتهٔ اصلی این است که «نیروی سطح به جسم» فقط نیروی عمودی سطح نیست؛ بلکه برآیند نیروی عمودی و اصطکاک است.

گام اول: محاسبهٔ شتاب
جسم از سکون شروع به حرکت می‌کند. با ثابت بودن نیروی افقی و اصطکاک جنبشی، شتاب ثابت است؛ بنابراین:
$a=\frac{v-v_0}{\Delta t}=\frac{3-0}{4}=0.75\,\mathrm{m/s^2}$

گام دوم: محاسبهٔ نیروی اصطکاک
جهت حرکت را مثبت می‌گیریم. نیروی واردشده به سمت راست و اصطکاک جنبشی به سمت چپ است. مطابق روش مثال کتاب برای حرکت روی سطح افقی، قانون دوم نیوتون در راستای افقی به صورت زیر نوشته می‌شود (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۰–۴۱):
$F-f_k=ma$
پس:
$f_k=177-36\times0.75=150\,\mathrm{N}$

گام سوم: محاسبهٔ نیروی عمودی سطح
جسم در راستای قائم شتاب ندارد و نیروی اعمال‌شده نیز افقی است؛ پس نیروی عمودی سطح با وزن برابر است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۵–۳۶ و ۴۰–۴۱):
$F_N-mg=0\quad\Rightarrow\quad F_N=mg=36\times10=360\,\mathrm{N}$

گام چهارم: محاسبهٔ برآیند نیروهای سطح
نیروی عمودی سطح رو به بالا و اصطکاک افقی است؛ بنابراین این دو نیرو بر هم عمودند. اندازهٔ کل نیرویی که سطح به جسم وارد می‌کند برابر است با:
$R=\sqrt{F_N^2+f_k^2}=\sqrt{360^2+150^2}=\sqrt{152100}=390\,\mathrm{N}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای حل، فرض می‌کنیم در وضعیت موردنظر وزنه نسبت به آسانسور ساکن است؛ بنابراین شتاب وزنه و آسانسور یکسان است. این همان الگوی مسئلهٔ فنر آویزان در آسانسور است که در کتاب آمده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۱، مسئلهٔ ۱۲).

گام اول: محاسبهٔ جرم وزنه از حالت سکون
طبق قانون هوک، اندازهٔ نیروی فنر از رابطهٔ $F_s=k\Delta\ell$ به دست می‌آید؛ در این رابطه باید افزایش طول نسبت به طول طبیعی را وارد کنیم، نه طول کل فنر. در حالت سکون داریم:
$\Delta\ell_1=65-50=15\,\mathrm{cm}=0.15\,\mathrm{m}$
چون شتاب صفر است، نیروی فنر و وزن هم‌اندازه‌اند:
$k\Delta\ell_1=mg$
پس:
$m=\frac{k\Delta\ell_1}{g}=\frac{200\times0.15}{10}=3\,\mathrm{kg}$

گام دوم: محاسبهٔ نیروی فنر در وضعیت جدید
افزایش طول جدید برابر است با:
$\Delta\ell_2=60-50=10\,\mathrm{cm}=0.10\,\mathrm{m}$
بنابراین:
$F_s=k\Delta\ell_2=200\times0.10=20\,\mathrm{N}$
وزن وزنه نیز برابر است با:
$mg=3\times10=30\,\mathrm{N}$

گام سوم: نوشتن قانون دوم نیوتون و تعیین جهت شتاب
جهت مثبت محور قائم را رو به بالا، در راستای $\vec{j}$، می‌گیریم. نیروی فنر رو به بالا و وزن رو به پایین است؛ پس:
$F_s-mg=ma_y$
این شیوهٔ نوشتن معادلهٔ نیروها با تحلیل حرکت قائم آسانسور در کتاب یکسان است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۷).
با جای‌گذاری داریم:
$20-30=3a_y\quad\Rightarrow\quad a_y=-\frac{10}{3}\,\mathrm{m/s^2}$
در نتیجه:
$\vec{a}=-\frac{10}{3}\vec{j}\,\mathrm{m/s^2}$
علامت منفی نشان می‌دهد شتاب رو به پایین است؛ این نتیجه با کمتر شدن کشیدگی فنر نیز سازگار است. توجه کنید که جهت شتاب الزاماً جهت سرعت آسانسور نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. تشخیص نیروی مورد سؤال

نیروی تماس دیوار، برآیند دو مؤلفهٔ عمود بر هم، یعنی نیروی عمودی سطح و اصطکاک است؛ بنابراین $R=\sqrt{N^2+f_s^2}$ (فیزیک ۳، صفحه‌های ۴۳–۴۴). همچنین نیروی جسم بر دیوار و نیروی دیوار بر جسم، کنش و واکنش‌اند و اندازه‌های برابری دارند؛ پس برای یافتن $R$ می‌توان نیروی دیوار بر جسم را محاسبه کرد (فیزیک ۳، صفحه‌های ۳۵–۳۶).

۲. بررسی حالت اولیه

وزن جسم برابر است با:
$mg=4\times10=40\,\mathrm{N}$.

جسم در آستانهٔ حرکت رو به بالاست؛ بنابراین هنوز تعادل دارد و اصطکاک ایستاییِ بیشینه رو به پایین است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۴۳–۴۴).

از تعادل افقی داریم:
$N=F$.

از تعادل قائم:
$F-mg-f_{s,\max}=0$.

با جای‌گذاری $f_{s,\max}=\mu_sN$ به دست می‌آید:
$F-40-0.5F=0\quad\Rightarrow\quad F=80\,\mathrm{N}$.

پس:
$N=80\,\mathrm{N},\qquad f_s=40\,\mathrm{N}$.

در نتیجه اندازهٔ نیروی تماس اولیه برابر است با:
$R=\sqrt{80^2+40^2}=40\sqrt{5}\,\mathrm{N}$.

۳. بررسی حالت پس از کاهش نیرو

هر دو نیروی نشان‌داده‌شده با نماد $F$، اکنون اندازهٔ زیر را دارند:
$F'=80-20=60\,\mathrm{N}$.

پس از تعادل افقی:
$N'=60\,\mathrm{N}$.

برای سکون جسم، چون نیروی رو به بالا از وزن بیشتر است، اصطکاک باید رو به پایین باشد و اندازهٔ آن از تعادل قائم به دست می‌آید:
$f_s'=F'-mg=60-40=20\,\mathrm{N}$.

اکنون باید امکان سکون را بررسی کنیم. بیشینهٔ اصطکاک ایستایی برابر است با:
$f_{s,\max}'=\mu_sN'=0.5\times60=30\,\mathrm{N}$.

چون $20<30$، اصطکاک ایستایی می‌تواند تعادل را حفظ کند؛ پس جسم حرکت نمی‌کند و استفاده از ضریب اصطکاک جنبشی نادرست است. اصطکاک ایستایی در حالت سکون به اندازهٔ لازم برای تعادل است، نه الزاماً برابر مقدار بیشینهٔ آن (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۸).

۴. محاسبهٔ نسبت

نیروی تماس جدید برابر است با:
$R'=\sqrt{60^2+20^2}=20\sqrt{10}\,\mathrm{N}$.

بنابراین:
$\displaystyle\frac{R'}{R}=\frac{20\sqrt{10}}{40\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: دامنه و جرم را مشخص می‌کنیم.
دامنه، بیشترین فاصله از مکان تعادل است، نه فاصلهٔ دو انتهای مسیر (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۵). بنابراین از شکل داریم:
$A=4\,\mathrm{cm}=0.04\,\mathrm{m}$
$m=200\,\mathrm{g}=0.2\,\mathrm{kg}$

گام دوم: دورهٔ نوسان را به دست می‌آوریم.
جسم از $x_1=+1\,\mathrm{cm}$ در جهت مثبت حرکت می‌کند؛ پس ابتدا به نقطهٔ بازگشت $+A$ می‌رسد، سپس برمی‌گردد و از تعادل عبور می‌کند تا برای نخستین بار به $x_2=-1\,\mathrm{cm}$ برسد.
طبق معادلهٔ سینوسی مکان و رابطهٔ $\omega=2\pi/T$، با گذشت نصف دوره، فاز حرکت به‌اندازهٔ $\pi$ افزایش می‌یابد و مکان قرینه می‌شود:
$x(t+T/2)=A\cos(\omega t+\pi)=-x(t)$
پس رسیدن از مکان مثبت اولیه با جهت حرکت مثبت، به مکان قرینهٔ آن با جهت حرکت منفی، نصف دوره طول می‌کشد (فیزیک ۳، صفحه‌های ۵۵–۵۶). چون پیش از این لحظه جسم هنوز به مکان منفی موردنظر نرسیده است، زمان داده‌شده همان نخستین زمان رسیدن است:
$T/2=2\,\mathrm{s}\quad\Rightarrow\quad T=4\,\mathrm{s}$

گام سوم: انرژی مکانیکی را محاسبه می‌کنیم.
رابطهٔ انرژی نوسانگر هماهنگ ساده برابر است با $E=\tfrac{1}{2}m\omega^2A^2$ (فیزیک ۳، صفحه‌های ۵۸–۵۹). با جای‌گذاری $\omega=2\pi/T$ داریم:
$E=\frac{2\pi^2mA^2}{T^2}$
اکنون با استفاده از $\pi^2=10$:
$E=\frac{2\times10\times0.2\times(0.04)^2}{4^2}=4\times10^{-4}\,\mathrm{J}$
با توجه به $1\,\mathrm{mJ}=10^{-3}\,\mathrm{J}$، نتیجه می‌شود:
$E=0.4\,\mathrm{mJ}$

پاسخ: گزینهٔ ۳

نکتهٔ مهم: توصیف نوشتاریِ شکل با پاسخ تأییدشده سازگار نیست. اگر زاویهٔ $30^\circ$ واقعاً با خط عمود باشد، گزینهٔ دوم به دست می‌آید؛ پاسخ تأییدشده هنگامی درست است که این زاویه با سطح آینهٔ افقی باشد.

۱. قانون بازتاب
طبق قانون بازتاب، زاویه‌های تابش و بازتابش نسبت به خط عمود بر آینه برابرند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷۷). بنابراین برای آینه‌ای که راستای آن با محور افقی زاویهٔ $\varphi$ می‌سازد، اگر جهت حرکت پرتو پیش از بازتاب $\theta$ باشد، جهت آن پس از بازتاب از رابطهٔ $\theta'=2\varphi-\theta$ به دست می‌آید. زاویه‌های جهت را نسبت به راستای افقیِ رو به راست می‌سنجیم.

۲. دنبال‌کردن سه بازتاب
زاویهٔ حاد پرتو اولیه با سطح آینهٔ افقی را $\beta$ می‌نامیم. پس از نخستین بازتاب، پرتو به سمت بالا و چپ حرکت می‌کند و جهت آن برابر است با:
$\theta_1=180^\circ-\beta$

آینهٔ مایل با افق زاویهٔ $\alpha$ دارد؛ پس جهت پرتو پس از بازتاب از آن برابر می‌شود با:
$\theta_2=2\alpha-\theta_1=2\alpha-180^\circ+\beta$

در بازتاب دوباره از آینهٔ افقی، علامت زاویهٔ جهت عوض می‌شود؛ بنابراین:
$\theta_3=-\theta_2=180^\circ-\beta-2\alpha$

پرتو نهایی باید موازی آینهٔ مایل باشد؛ در مسیر موردنظر داریم:
$\theta_3=\alpha$
پس:
$3\alpha=180^\circ-\beta$

۳. بررسی دادهٔ زاویه
با توصیف فعلیِ سؤال، زاویهٔ داده‌شده با خط عمود است؛ در نتیجه:
$\beta=90^\circ-30^\circ=60^\circ$
$\alpha=\dfrac{180^\circ-60^\circ}{3}=40^\circ$
بنابراین پاسخِ متن فعلی، گزینهٔ دوم است.

اما برای سازگاری با کلید تأییدشده، باید زاویهٔ $30^\circ$ با سطح آینهٔ افقی باشد. در این صورت:
$\beta=30^\circ$
$\alpha=\dfrac{180^\circ-30^\circ}{3}=50^\circ$

پس پاسخ زیر مطابق کلید و با اصلاح «زاویه با خط عمود» به «زاویه با سطح آینه» است.
پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. تعیین گذار با کمترین انرژی فوتون
طبق مدل بور، انرژی ترازهای هیدروژن از رابطهٔ $E_n=-\frac{E_R}{n^2}$ به دست می‌آید و انرژی فوتون گسیلی برابر $hf=E_U-E_L$ است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۵).

با افزایش عدد کوانتومی، ترازهای انرژی به هم نزدیک‌تر می‌شوند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۵–۱۰۶). بنابراین، در میان تمام گذارهای ممکن بین ترازهای در دسترس، کمترین اختلاف انرژی مربوط به دو تراز مجاورِ بالایی، یعنی گذار $5\to4$ است. گذارهای میان ترازهای پایین‌تر یا گذارهایی که چند فاصلهٔ تراز را در بر می‌گیرند، انرژی بیشتری دارند.

۲. محاسبهٔ انرژی فوتون
با نوشتن مقدار ریدبرگ به صورت اعشاری، $E_R=13.6\,\mathrm{eV}$، داریم:
$\Delta E_{\min}=E_5-E_4=E_R\left(\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2}\right)$
$\Delta E_{\min}=13.6\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{25}\right)=13.6\times\frac{9}{400}=0.306\,\mathrm{eV}$

۳. محاسبهٔ بسامد و تبدیل واحد
از رابطهٔ انرژی فوتون و بسامد استفاده می‌کنیم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۵–۱۰۷):
$f=\frac{\Delta E_{\min}}{h}=\frac{0.306\,\mathrm{eV}}{4\times10^{-15}\,\mathrm{eV\cdot s}}=7.65\times10^{13}\,\mathrm{Hz}$
چون $1\,\mathrm{THz}=10^{12}\,\mathrm{Hz}$، نتیجه می‌شود:
$f=76.5\,\mathrm{THz}$
این همان مقدار نوشته‌شده به صورت $76/5$ در گزینه‌هاست.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. رابطهٔ مناسب را می‌نویسیم.
طبق جدول رشته‌های طیفی، در رشتهٔ لیمان تراز پایانی $n'=1$ است و تراز آغازین می‌تواند $n=2,3,4,\ldots$ باشد. بنابراین رابطهٔ ریدبرگ برای این رشته به صورت زیر است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۱–۱۰۲):
$\frac{1}{\lambda}=R\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$
با استفاده از رابطهٔ بسامد و طول‌موج، یعنی $f=c/\lambda$، داریم:
$f=cR\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$

۲. واحد ثابت ریدبرگ را با واحد سرعت نور هماهنگ می‌کنیم.
چون $1\,\mathrm{nm}=10^{-9}\,\mathrm{m}$، مقدار داده‌شدهٔ ثابت ریدبرگ برابر است با:
$R=\frac{1}{100}\,\mathrm{nm}^{-1}=10^{-2}\times10^9\,\mathrm{m}^{-1}=10^7\,\mathrm{m}^{-1}$
پس:
$cR=(3\times10^8)(10^7)=3\times10^{15}\,\mathrm{Hz}$

۳. تراز آغازین را به‌دست می‌آوریم.
با جای‌گذاری بسامد داده‌شده:
$\frac{8}{3}\times10^{15}=3\times10^{15}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$
بنابراین:
$1-\frac{1}{n^2}=\frac{8}{9}\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{n^2}=\frac{1}{9}\quad\Rightarrow\quad n=3$

۴. شمارهٔ خط را تعیین می‌کنیم.
در رشتهٔ لیمان، اولین خط مربوط به گذار $n=2\to n'=1$ و دومین خط مربوط به گذار $n=3\to n'=1$ است. پس تراز آغازین به‌دست‌آمده، خط دوم این رشته را مشخص می‌کند؛ نباید عدد کوانتومی تراز آغازین را با شمارهٔ خط یکسان گرفت.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: نسبت فاصله‌ها را از تعادل اولیه پیدا می‌کنیم.
طبق اصل برهم‌نهی، نیروی خالص وارد بر هر بار، جمع برداری نیروهای وارد بر آن از طرف بارهای دیگر است (فیزیک ۲، صفحه‌های ۷–۸). همچنین برای محاسبهٔ بزرگی هر نیرو از قانون کولن، $F=k\frac{|q_iq_j|}{r^2}$، استفاده می‌کنیم (فیزیک ۲، صفحهٔ ۹).

فاصلهٔ اولیهٔ $q_1$ تا $q_2$ را $d$ و فاصلهٔ اولیهٔ $q_2$ تا $q_3$ را $x$ می‌گیریم. بار مثبت میانی به هر دو بار منفی جذب می‌شود؛ چون نیروی خالص آن صفر است، بزرگی این دو جاذبه برابر است:
$k\frac{(9\,\mu\mathrm{C})(4\,\mu\mathrm{C})}{d^2}=k\frac{(36\,\mu\mathrm{C})(4\,\mu\mathrm{C})}{x^2}$
بنابراین:
$\frac{x^2}{d^2}=\frac{36}{9}=4\quad\Rightarrow\quad x=2d$
پس فاصلهٔ دو بار کناری برابر $3d$ است.

گام دوم: آرایش جدید را مشخص می‌کنیم.
پس از جابه‌جایی، ترتیب بارها از چپ به راست چنین است:
$q_3=-36\,\mu\mathrm{C}\;،\qquad q_2=+4\,\mu\mathrm{C}\;،\qquad q_1=-9\,\mu\mathrm{C}$
فاصلهٔ بار سمت چپ تا بار میانی همچنان $d$ و فاصلهٔ بار میانی تا بار سمت راست همچنان $2d$ است. برای ساده‌شدن محاسبات، ضریب مشترک نیروها را به صورت $A=k\frac{(1\,\mu\mathrm{C})^2}{d^2}$ تعریف می‌کنیم.

گام سوم: نیروی خالص وارد بر $q_2$ را می‌یابیم.
جاذبهٔ بار سمت چپ به سوی چپ و جاذبهٔ بار سمت راست به سوی راست است. بزرگی این نیروها به‌ترتیب برابر است با:
$F_{\text{چپ بر میانی}}=36\times4A=144A$
$F_{\text{راست بر میانی}}=\frac{9\times4}{2^2}A=9A$
چون دو نیرو مخالف جهت‌اند، بزرگی برایند آن‌ها برابر است با:
$F_{2,\mathrm{net}}=144A-9A=135A$

گام چهارم: نیروی خالص وارد بر خودِ بار $q_1$ را می‌یابیم.
دقت کنید که $q_1$ پس از جابه‌جایی در انتهای راست قرار دارد. بار مثبت میانی آن را به چپ جذب می‌کند و بار منفی سمت چپ آن را به راست می‌راند. بزرگی این دو نیرو عبارت است از:
$F_{\text{میانی بر راست}}=\frac{4\times9}{2^2}A=9A$
$F_{\text{چپ بر راست}}=\frac{36\times9}{3^2}A=36A$
پس بزرگی نیروی خالص وارد بر آن برابر است با:
$F_{1,\mathrm{net}}=36A-9A=27A$

گام پنجم: نسبت خواسته‌شده را حساب می‌کنیم:
$\frac{F_{2,\mathrm{net}}}{F_{1,\mathrm{net}}}=\frac{135A}{27A}=5$

پاسخ: گزینهٔ ۴

نکتهٔ مهم: داده‌های نوشته‌شده با پاسخ تأییدشده سازگار نیستند. در ادامه، محاسبه را با تعبیر اعشاریِ عدد صورت سؤال، یعنی $E_O=7.5\times10^3\,\mathrm{N/C}$، انجام می‌دهیم.

۱. جهت میدان‌ها در مبدأ
میدان الکتریکی کمیتی برداری است و جهت آن، جهت نیروی وارد بر بار آزمون مثبت است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۱۰). بنابراین میدان بار مثبت از بار دور می‌شود و میدان بار منفی به‌سوی بار است.
پس میدان $q_1$ در مبدأ به سمت پایین و چپ، میدان $q_2$ به سمت پایین و راست و میدان $q_3$ نیز به سمت پایین و راست است. در نتیجه، برخلاف یک برداشت اولیهٔ احتمالی، میدان‌های $q_2$ و $q_3$ هم‌جهت‌اند؛ هر دوی آن‌ها نیز بر میدان $q_1$ عمودند.

۲. محاسبهٔ میدان بارهای معلوم
با استفاده از قانون کولن و تعریف میدان، بزرگی میدان بار نقطه‌ای برابر $E=k|q|/r^2$ است (فیزیک ۲، صفحه‌های ۹ و ۱۰).
برای بار اول داریم:
$r_1^2=3^2+3^2=18\,\mathrm{m^2}$
$E_1=\frac{9\times10^9\times12\times10^{-6}}{18}=6000\,\mathrm{N/C}$
برای بار سوم نیز:
$r_3^2=4^2+(-4)^2=32\,\mathrm{m^2}$
$E_3=\frac{9\times10^9\times8\times10^{-6}}{32}=2250\,\mathrm{N/C}$

۳. یافتن بار مجهول
برهم‌نهی میدان‌ها، مانند برهم‌نهی نیروها، برداری است؛ روش جمع برداری نیروها در مثال‌های کتاب آمده است (فیزیک ۲، صفحه‌های ۸ و ۹). چون میدان‌های $q_2$ و $q_3$ هم‌جهت و بر میدان $q_1$ عمودند:
$E_O^2=E_1^2+(E_2+E_3)^2$
پس:
$E_2+2250=\sqrt{7500^2-6000^2}=4500\,\mathrm{N/C}$
و بنابراین:
$E_2=2250\,\mathrm{N/C}$
از طرفی:
$r_2^2=(-6)^2+6^2=72\,\mathrm{m^2}$
در نتیجه:
$q_2=\frac{E_2r_2^2}{k}=\frac{2250\times72}{9\times10^9}=18\times10^{-6}\,\mathrm{C}$

۴. محاسبهٔ نیروی بین دو بار
طبق قانون کولن، نیروی بین دو بار به فاصلهٔ خود آن‌ها وابسته است، نه فاصله‌شان از مبدأ (فیزیک ۲، صفحهٔ ۹). مربع فاصلهٔ دو بار برابر است با:
$r_{12}^2=(3-(-6))^2+(3-6)^2=81+9=90\,\mathrm{m^2}$
پس:
$F_{1\to2}=k\frac{|q_1q_2|}{r_{12}^2}=\frac{9\times10^9\times12\times10^{-6}\times18\times10^{-6}}{90}=2.16\times10^{-2}\,\mathrm{N}$
بنابراین محاسبهٔ درست نشان می‌دهد داده‌های سؤال با گزینهٔ تأییدشده سازگارند و هشدار ابتدای پاسخ وارد نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ـ رابطهٔ مناسب را می‌نویسیم.
طبق رابطهٔ ظرفیت خازن تخت و اثر دی‌الکتریک، داریم (فیزیک ۲، صفحه‌های ۳۰ و ۳۱):
$C=k\varepsilon_0\frac{A}{d}$
در این مسئله، مساحت صفحه‌ها و ثابت دی‌الکتریک ثابت‌اند؛ بنابراین با کاهش فاصلهٔ صفحه‌ها، ظرفیت افزایش می‌یابد. نمونهٔ مشابهِ فشرده‌شدن دی‌الکتریک انعطاف‌پذیر نیز در مثال صفحه‌کلید خازنی آمده است (فیزیک ۲، صفحه‌های ۳۱ و ۳۲).

گام دوم ـ فاصلهٔ نهایی و تبدیل واحدها را به دست می‌آوریم.
فاصله به‌اندازهٔ $3\,\mathrm{mm}$ کاهش یافته است؛ پس:
$d_2=5-3=2\,\mathrm{mm}$
بنابراین داده‌های موردنیاز در SI عبارت‌اند از:
$d_1=5\times10^{-3}\,\mathrm{m}$، $d_2=2\times10^{-3}\,\mathrm{m}$، $A=2\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ و $k=4$.

گام سوم ـ ظرفیت اولیه و نهایی را حساب می‌کنیم.
$C_1=\frac{4\times(8.85\times10^{-12})\times(2\times10^{-4})}{5\times10^{-3}}\,\mathrm{F}=1.416\times10^{-12}\,\mathrm{F}=1.416\,\mathrm{pF}$
$C_2=\frac{4\times(8.85\times10^{-12})\times(2\times10^{-4})}{2\times10^{-3}}\,\mathrm{F}=3.54\times10^{-12}\,\mathrm{F}=3.54\,\mathrm{pF}$

گام چهارم ـ افزایش ظرفیت را به دست می‌آوریم.
سؤال تفاضل ظرفیت نهایی و اولیه را می‌خواهد، نه خود ظرفیت نهایی؛ بنابراین:
$\Delta C=C_2-C_1=(3.54-1.416)\,\mathrm{pF}=2.124\,\mathrm{pF}$
پاسخ: گزینهٔ ۱

این پرسش مفهومی است و به محاسبه نیاز ندارد؛ باید رفتار مقاومت ویژه را هنگام کاهش دما بررسی کنیم.

گام اول: کاهش مقاومت ویژهٔ یک فلز با سردشدن، به‌تنهایی نشانهٔ ابررسانایی نیست. در فلزهای معمولی نیز مقاومت ویژه با کاهش دما کم می‌شود؛ ویژگی متمایز ابررسانایی، نوع تغییر در یک دمای خاص است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۴۵–۴۶).

گام دوم: در برخی مواد مانند جیوه و قلع، هنگام رسیدن به دمای گذار، مقاومت ویژه به‌طور ناگهانی از مقدار غیرصفر به $\rho=0$ می‌رسد. بنابراین این تغییر نه کاهش خطی با شیب ثابت است و نه افزایش ناگهانی.

گام سوم: با سردکردن بیشتر و پایین‌رفتن از دمای گذار، مقاومت ویژه همچنان صفر باقی می‌ماند؛ پس توصیفی که افزایش دوبارهٔ مقاومت ویژه را مطرح کند نیز نادرست است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۴۵–۴۶).

در نتیجه، توصیف درست باید هر دو ویژگی «افت ناگهانی به صفر» و «صفرماندن در دماهای پایین‌تر» را داشته باشد.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تشخیص اتصال‌ها
گره‌های چپ، بالا، راست و پایین لوزی را به‌ترتیب $A$، $B$، $C$ و $D$ می‌نامیم. دو سر باتری به گره‌های $A$ و $D$ متصل است؛ بنابراین $R_5$ مستقیماً دو سر باتری قرار دارد.

در گره بالایی انشعابی وجود ندارد؛ پس $R_1$ و $R_2$ متوالی‌اند. مطابق قاعدهٔ جمع مقاومت‌های متوالی (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶):
$R_{12}=R_1+R_2=2R$.

این مجموعه و $R_3$ هر دو بین گره‌های $A$ و $C$ قرار دارند و موازی‌اند. با استفاده از رابطهٔ مقاومت معادل موازی (فیزیک ۲، صفحه‌های ۵۷–۵۸):
$R_{AC}=\frac{R_{12}R_3}{R_{12}+R_3}=\frac{(2R)R}{2R+R}=\frac{2}{3}R$.

۲. تعیین ولتاژ دو سر مقاومت میانی
پس از جایگزینی بخش بالا با $R_{AC}$، این مقاومت با $R_4$ در یک شاخه متوالی است. چون
$R_{AC}=R_4=\frac{2}{3}R$،
و جریان آنها یکسان است، طبق قانون اهم اختلاف پتانسیل دو سرشان نیز برابر است. بنابراین اگر ولتاژ باتری را $V$ بنامیم:
$V_3=V_{AC}=\frac{V}{2}$،
درحالی‌که مقاومت $R_5$ مستقیماً به باتری وصل است و داریم:
$V_5=V$.

۳. استفاده از نسبت توان‌ها
برای توان مصرفی مقاومت از رابطهٔ $P=VI=\frac{V^2}{R}$ استفاده می‌کنیم. با توجه به شرط مسئله:
$\frac{P_3}{P_5}=\frac{(V/2)^2/R}{V^2/R_5}=\frac{R_5}{4R}=\frac{1}{3}$.
پس:
$R_5=\frac{4}{3}R$.

۴. محاسبهٔ مقاومت معادل کل
مقاومت شاخهٔ دیگرِ متصل به باتری برابر است با:
$R_{AC}+R_4=\frac{2}{3}R+\frac{2}{3}R=\frac{4}{3}R$.

پس دو شاخهٔ موازیِ برابر داریم که مقاومت هرکدام $\frac{4}{3}R$ است. با استفاده از رابطهٔ ترکیب موازی (فیزیک ۲، صفحه‌های ۵۷–۵۸):
$R_{\mathrm{eq}}=\frac{(\frac{4}{3}R)(\frac{4}{3}R)}{\frac{4}{3}R+\frac{4}{3}R}=\frac{2}{3}R$.

بنابراین مقاومت معادل مدار $\frac{2}{3}$ برابر $R$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: تعیین جهت نیروها
بار ذره مثبت است؛ بنابراین نیروی الکتریکی آن هم‌جهت میدان الکتریکی، یعنی رو به پایین است و اندازهٔ آن از رابطهٔ $F_E=qE$ به دست می‌آید.

برای تعیین جهت نیروی مغناطیسی، قاعدهٔ دست راست را به کار می‌بریم: سرعت رو به راست و میدان مغناطیسی به داخل صفحه است؛ پس نیروی مغناطیسی وارد بر بار مثبت رو به بالا خواهد بود (فیزیک ۲، صفحهٔ ۷۱). بنابراین دو نیرو خلاف جهت یکدیگرند.

گام دوم: محاسبهٔ اندازهٔ نیروها
ابتدا بار را به کولن تبدیل می‌کنیم:
$q=2\,\mu\mathrm{C}=2\times10^{-6}\,\mathrm{C}$.

اندازهٔ نیروی الکتریکی برابر است با:
$F_E=qE=(2\times10^{-6})(500)=1\times10^{-3}\,\mathrm{N}$.

طبق رابطهٔ نیروی مغناطیسی، $F_B=|q|vB\sin\theta$ (فیزیک ۲، صفحهٔ ۷۱). چون سرعت بر میدان مغناطیسی عمود است، $\theta=90^\circ$ و $\sin\theta=1$؛ در نتیجه:
$F_B=qvB=(2\times10^{-6})(2\times10^4)(0.02)=8\times10^{-4}\,\mathrm{N}$.

گام سوم: محاسبهٔ نیروی خالص
با توجه به ناچیزبودن جرم، وزن ذره را نادیده می‌گیریم. دو نیروی الکتریکی و مغناطیسی خلاف جهت‌اند و نیروی الکتریکی بزرگ‌تر است؛ بنابراین نیروی خالص رو به پایین است و اندازهٔ آن برابر می‌شود با:
$F_{\text{خالص}}=F_E-F_B=1\times10^{-3}-8\times10^{-4}=2\times10^{-4}\,\mathrm{N}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: انرژی مفید بالابر را مشخص می‌کنیم. کار مفید بالابر صرف افزایش انرژی پتانسیل گرانشی وزنه می‌شود؛ بنابراین $E_{\text{مفید}}=\Delta U=mgh$ است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۶۶–۶۷). انرژی مصرفی داده‌شده، انرژی ورودی ماشین است: $E_{\text{ورودی}}=2000\,\mathrm{J}$.

گام دوم: انرژی پتانسیل وزنه را از اطلاعات سقوط به دست می‌آوریم. چون سقوط در خلأ انجام می‌شود، مقاومت هوا وجود ندارد و انرژی مکانیکی پایسته است. وزنه از سکون رها می‌شود و با انتخاب سطح زمین به‌عنوان مبدأ انرژی پتانسیل، داریم (فیزیک ۱، صفحهٔ ۶۹–۷۰):
$K_{\text{بالا}}+U_{\text{بالا}}=K_{\text{زمین}}+U_{\text{زمین}}$
$0+mgh=\frac{1}{2}mv^2+0$
پس انرژی مفید بالابر برابر است با:
$E_{\text{مفید}}=mgh=\frac{1}{2}\times(50\,\mathrm{kg})\times(8\,\mathrm{m/s})^2=1600\,\mathrm{J}$.

گام سوم: بازده، نسبت انرژی مفید خروجی به انرژی ورودی است؛ همان تمایزی که در مسئله‌های انرژی و توان مفید و ورودی مطرح می‌شود (فیزیک ۱، صفحهٔ ۸۱–۸۲):
$\eta=\frac{E_{\text{مفید}}}{E_{\text{ورودی}}}\times100\%=\frac{1600}{2000}\times100\%=80\%$.

نکته: نبودِ اتلاف در مرحلهٔ سقوط به معنای بی‌اتلاف بودن بالابر نیست؛ سقوط فقط به ما امکان می‌دهد انرژی ذخیره‌شده در وزنه را محاسبه کنیم.

پاسخ: گزینهٔ ۴