سوال ۲۲۶ فیزیک کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

۱. تشخیص اتصال‌ها
گره‌های چپ، بالا، راست و پایین لوزی را به‌ترتیب $A$، $B$، $C$ و $D$ می‌نامیم. دو سر باتری به گره‌های $A$ و $D$ متصل است؛ بنابراین $R_5$ مستقیماً دو سر باتری قرار دارد.

در گره بالایی انشعابی وجود ندارد؛ پس $R_1$ و $R_2$ متوالی‌اند. مطابق قاعدهٔ جمع مقاومت‌های متوالی (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶):
$R_{12}=R_1+R_2=2R$.

این مجموعه و $R_3$ هر دو بین گره‌های $A$ و $C$ قرار دارند و موازی‌اند. با استفاده از رابطهٔ مقاومت معادل موازی (فیزیک ۲، صفحه‌های ۵۷–۵۸):
$R_{AC}=\frac{R_{12}R_3}{R_{12}+R_3}=\frac{(2R)R}{2R+R}=\frac{2}{3}R$.

۲. تعیین ولتاژ دو سر مقاومت میانی
پس از جایگزینی بخش بالا با $R_{AC}$، این مقاومت با $R_4$ در یک شاخه متوالی است. چون
$R_{AC}=R_4=\frac{2}{3}R$،
و جریان آنها یکسان است، طبق قانون اهم اختلاف پتانسیل دو سرشان نیز برابر است. بنابراین اگر ولتاژ باتری را $V$ بنامیم:
$V_3=V_{AC}=\frac{V}{2}$،
درحالی‌که مقاومت $R_5$ مستقیماً به باتری وصل است و داریم:
$V_5=V$.

۳. استفاده از نسبت توان‌ها
برای توان مصرفی مقاومت از رابطهٔ $P=VI=\frac{V^2}{R}$ استفاده می‌کنیم. با توجه به شرط مسئله:
$\frac{P_3}{P_5}=\frac{(V/2)^2/R}{V^2/R_5}=\frac{R_5}{4R}=\frac{1}{3}$.
پس:
$R_5=\frac{4}{3}R$.

۴. محاسبهٔ مقاومت معادل کل
مقاومت شاخهٔ دیگرِ متصل به باتری برابر است با:
$R_{AC}+R_4=\frac{2}{3}R+\frac{2}{3}R=\frac{4}{3}R$.

پس دو شاخهٔ موازیِ برابر داریم که مقاومت هرکدام $\frac{4}{3}R$ است. با استفاده از رابطهٔ ترکیب موازی (فیزیک ۲، صفحه‌های ۵۷–۵۸):
$R_{\mathrm{eq}}=\frac{(\frac{4}{3}R)(\frac{4}{3}R)}{\frac{4}{3}R+\frac{4}{3}R}=\frac{2}{3}R$.

بنابراین مقاومت معادل مدار $\frac{2}{3}$ برابر $R$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳