سوال ۶۵ فیزیک کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: مقاومت معادل خارجی را در هر حالت می‌نویسیم.
در اتصال متوالی، مقاومت‌ها جمع می‌شوند (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶) و برای دو مقاومت موازی، حاصل‌ضرب مقاومت‌ها بر مجموع آن‌ها تقسیم می‌شود (فیزیک ۲، صفحه‌های ۵۸ و ۵۹).
اگر $R_2=x\,\Omega$ باشد، داریم:
$R_{\mathrm{s}}=(x+4)\,\Omega$
$R_{\mathrm{p}}=\frac{4x}{x+4}\,\Omega$

گام دوم: رابطهٔ توان خروجی باتری را مشخص می‌کنیم.
مقاومت درونی باتری با مقاومت معادل خارجی متوالی است؛ بنابراین جریان باتری از رابطهٔ $I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}$ به دست می‌آید (فیزیک ۲، صفحهٔ ۶۱). توان خروجی باتری همان توان مصرفی مدار خارجی است، نه کل توان تولیدشده در باتری. با توجه به برابری توان مصرفی مجموعه و مقاومت معادل آن (فیزیک ۲، صفحهٔ ۶۱)، داریم:
$P_{\mathrm{out}}=I^2R=\frac{\mathcal{E}^2R}{(R+r)^2}$
پس نباید مقاومت درونی را در صورت این رابطه وارد کنیم.

گام سوم: شرط درصد کاهش توان را اعمال می‌کنیم.
توان حالت متوالی $36\%$ کمتر از حالت موازی است؛ پس:
$\frac{P_{\mathrm{s}}}{P_{\mathrm{p}}}=1-0.36=0.64=\frac{16}{25}$
با جای‌گذاری مقاومت‌های معادل و $r=2\,\Omega$، نیروی محرکهٔ مشترک باتری از نسبت حذف می‌شود:
$\frac{P_{\mathrm{s}}}{P_{\mathrm{p}}}=\frac{R_{\mathrm{s}}}{R_{\mathrm{p}}}\left(\frac{R_{\mathrm{p}}+r}{R_{\mathrm{s}}+r}\right)^2$
$=\frac{(x+4)^2}{4x}\left(\frac{\frac{4x}{x+4}+2}{x+6}\right)^2=\frac{(3x+4)^2}{x(x+6)^2}$
بنابراین:
$25(3x+4)^2=16x(x+6)^2$
با بسط و تجزیه:
$16x^3-33x^2-24x-400=0$
$(x-4)(16x^2+31x+100)=0$
چون مقاومت مثبت است، $x>0$ و عامل دوم همواره مثبت است؛ پس تنها پاسخ فیزیکی $x=4$ و در نتیجه $R_2=4\,\Omega$ است.

گام چهارم: پاسخ را بررسی می‌کنیم.
در این حالت، $R_{\mathrm{s}}=8\,\Omega$ و $R_{\mathrm{p}}=2\,\Omega$ است. بنابراین:
$P_{\mathrm{s}}=\frac{24^2\times8}{(8+2)^2}\,\mathrm{W}=46.08\,\mathrm{W}$
$P_{\mathrm{p}}=\frac{24^2\times2}{(2+2)^2}\,\mathrm{W}=72\,\mathrm{W}$
نسبت این دو توان $46.08/72=0.64$ است و شرط مسئله برقرار می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۳