سوال ۲۰۸ فیزیک کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

ابتدا سرعت اولیه و سرعت در رأس سهمی را به‌ترتیب $v_0$ و $v_1$ می‌نامیم. از نمودار داریم:
$v_1>v_0>0,\qquad v(t_2)=0,\qquad 0<t_1<t_2$.

گام اول: بررسی تندی و علامت شتاب
تندی برابر بزرگی سرعت است؛ بنابراین وقتی سرعت مثبت باشد، افزایش سرعت به معنی افزایش تندی است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۹). در بازهٔ صفر تا $t_1$، نمودار بالای محور زمان قرار دارد و صعودی است؛ پس تندی افزایش می‌یابد و گزینهٔ ۱ نادرست است.

شتاب لحظه‌ای برابر شیب مماس بر نمودار سرعت ـ زمان است. پیش از $t_1$ شیب مثبت، در رأس صفر و پس از آن منفی است. بنابراین شتاب در تمام بازهٔ صفر تا $t_2$ خلاف جهت محور $x$ نیست و گزینهٔ ۳ نیز نادرست است.

گام دوم: مقایسهٔ شتاب‌های متوسط
طبق تعریف شتاب متوسط:
$a_{\mathrm{av}}=\frac{v_f-v_i}{t_f-t_i}$.

برای بازهٔ $t_1$ تا $t_2$ داریم:
$\left|a_{\mathrm{av},\,t_1\to t_2}\right|=\left|\frac{0-v_1}{t_2-t_1}\right|=\frac{v_1}{t_2-t_1}$.

برای بازهٔ صفر تا $t_2$ نیز:
$\left|a_{\mathrm{av},\,0\to t_2}\right|=\left|\frac{0-v_0}{t_2}\right|=\frac{v_0}{t_2}$.

در کسر اول، صورت بزرگ‌تر و مخرج مثبت کوچک‌تر است؛ زیرا $v_1>v_0>0$ و $0<t_2-t_1<t_2$. پس:
$\frac{v_1}{t_2-t_1}>\frac{v_0}{t_2}$.

بنابراین بزرگی شتاب متوسط در بازه‌ای که از رأس تا محل صفر شدن سرعت ادامه دارد، بیشتر است.

گام سوم: بررسی برابری بزرگی شتاب‌های لحظه‌ای
برای بررسی دقیق گزینهٔ ۲، معادلهٔ سهمی را به شکل $v=v_1-k(t-t_1)^2$ با $k>0$ می‌نویسیم. مثبت بودن سرعت اولیه و صفر بودن سرعت در $t_2$ می‌دهد:
$v_0=v_1-kt_1^2>0,\qquad v_1=k(t_2-t_1)^2$.
پس $t_2-t_1>t_1$. در سهمی، بزرگی شیب مماس با فاصلهٔ افقی از رأس متناسب است؛ بنابراین $|a(t_2)|>|a(0)|$ و گزینهٔ ۲ نادرست است.

پاسخ: گزینهٔ ۴