سوال ۴۷ فیزیک کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

ابتدا توجه می‌کنیم که چهار ثانیهٔ دوم، بازهٔ $t=4\,\mathrm{s}$ تا $t=8\,\mathrm{s}$ است.

گام اول: تعیین شتاب و سرعت اولیه
شیب نمودار مکان ـ زمان، سرعت متحرک را نشان می‌دهد. نمودار در $t=3\,\mathrm{s}$ به بیشینه می‌رسد؛ پس در این لحظه سرعت صفر است و پس از آن، جهت حرکت عوض می‌شود. ارتباط تغییر علامت سرعت با تغییر جهت حرکت در مثال کتاب نیز بررسی شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹).

چون سهمی رو به پایین است، شتاب منفی است:
$a=-2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

از رابطهٔ سرعت در حرکت با شتاب ثابت داریم:
$v=v_0+at$

در رأس سهمی:
$0=v_0+\left(-2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\right)(3\,\mathrm{s})\Rightarrow v_0=6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

بنابراین سرعت‌های لازم عبارت‌اند از:
$v(4\,\mathrm{s})=-2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}},\qquad v(8\,\mathrm{s})=-10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

گام دوم: مسافت چهار ثانیهٔ اول
مساحت علامت‌دار بین نمودار سرعت ـ زمان و محور زمان، جابه‌جایی است؛ برای محاسبهٔ مسافت باید مساحت بخش‌ها را بدون علامت با هم جمع کنیم (فیزیک ۳، صفحه‌های ۲۰–۲۱).

در بازهٔ اول، سرعت در $t=3\,\mathrm{s}$ تغییر علامت می‌دهد. پس مسافت، مجموع مساحت دو مثلث است:
$d_1=\frac{1}{2}(3\,\mathrm{s})\left(6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)+\frac{1}{2}(1\,\mathrm{s})\left(2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)=9\,\mathrm{m}+1\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{m}$

گام سوم: مسافت چهار ثانیهٔ دوم
در بازهٔ $4\,\mathrm{s}$ تا $8\,\mathrm{s}$، سرعت همواره منفی است و تغییر جهت نداریم. مسافت برابر مساحت ذوزنقهٔ بین نمودار سرعت ـ زمان و محور زمان است:
$d_2=\frac{2+10}{2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\times4\,\mathrm{s}=24\,\mathrm{m}$

پس نسبت خواسته‌شده برابر است با:
$\frac{d_1}{d_2}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$

پاسخ: گزینهٔ ۴