سوال ۵۰ فیزیک کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

برای بررسی گزینه‌ها باید ابتدا نمودار سرعت ـ زمان را از روی شتاب‌ها بسازیم؛ زیرا جهت حرکت را علامت سرعت مشخص می‌کند، نه علامت شتاب (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹).

گام اول: محاسبهٔ سرعت در مرز بازه‌ها

در هر بازهٔ شتاب ثابت، از رابطهٔ $v_f=v_i+a\Delta t$ استفاده می‌کنیم (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۷–۱۸). با توجه به سرعت اولیه داریم:

$v(0)=-5\,\mathrm{m/s}$

$v(5)=-5+2\times5=+5\,\mathrm{m/s}$

$v(15)=v(5)=+5\,\mathrm{m/s}$

$v(25)=5-2\times10=-15\,\mathrm{m/s}$

$v(30)=v(25)=-15\,\mathrm{m/s}$

$v(40)=-15+2\times10=+5\,\mathrm{m/s}$

پس نمودار سرعت ـ زمان در بازه‌های شتاب‌دار، خط راست و در بازه‌های شتاب صفر، خط افقی است.

گام دوم: یافتن لحظه‌های تغییر جهت

در بازهٔ نخست، سرعت از منفی به مثبت می‌رسد:

$0=-5+2t\quad\Rightarrow\quad t=2.5\,\mathrm{s}$

در بازهٔ شتاب منفی داریم:

$0=5-2(t-15)\quad\Rightarrow\quad t=17.5\,\mathrm{s}$

در بازهٔ پایانی نیز:

$0=-15+2(t-30)\quad\Rightarrow\quad t=37.5\,\mathrm{s}$

در این سه لحظه، سرعت تغییر علامت می‌دهد و جهت حرکت عوض می‌شود.

گام سوم: محاسبهٔ مسافت

جمع جبری مساحت‌های نمودار سرعت ـ زمان، جابه‌جایی را می‌دهد؛ اما برای مسافت باید همهٔ مساحت‌ها را مثبت جمع کنیم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۲۰). بنابراین بازه‌های دارای تغییر جهت را به دو مثلث تقسیم می‌کنیم:

• از $0$ تا $5\,\mathrm{s}$، دو مثلث هم‌اندازه داریم:

$L_1=2\left(\frac12\times2.5\times5\right)=12.5\,\mathrm{m}$

• از $5$ تا $15\,\mathrm{s}$، سرعت ثابت است:

$L_2=5\times10=50\,\mathrm{m}$

• از $15$ تا $25\,\mathrm{s}$، دو مثلث با قاعده‌های متفاوت داریم:

$L_3=\frac12\times2.5\times5+\frac12\times7.5\times15=62.5\,\mathrm{m}$

• از $25$ تا $30\,\mathrm{s}$، تندی ثابت است:

$L_4=15\times5=75\,\mathrm{m}$

• از $30$ تا $40\,\mathrm{s}$، دوباره دو مثلث داریم:

$L_5=\frac12\times7.5\times15+\frac12\times2.5\times5=62.5\,\mathrm{m}$

در نتیجه:

$L=L_1+L_2+L_3+L_4+L_5=12.5+50+62.5+75+62.5=262.5\,\mathrm{m}$

این همان مقدار نوشته‌شده در گزینهٔ چهارم است؛ ممیز آن با خط مورب نمایش داده شده است.

بررسی سایر عبارت‌ها

شتاب و سرعت در بازه‌های $2.5<t<5$، $17.5<t<25$ و $37.5<t<40$ هم‌علامت‌اند؛ پس مجموع مدت هم‌جهتی آن‌ها برابر است با:

$\Delta t=2.5+7.5+2.5=12.5\,\mathrm{s}$

جابه‌جایی را با جمع مساحت‌های علامت‌دار، یا رابطهٔ $\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t$ برای هر بازه، به دست می‌آوریم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۲۰):

$\Delta x=0+50-50-75-50=-125\,\mathrm{m}$

بنابراین بزرگی جابه‌جایی $125\,\mathrm{m}$ است. همچنین سرعت در بازه‌های $2.5<t<17.5$ و $37.5<t<40$ مثبت است؛ پس مدت حرکت در جهت مثبت محور برابر است با:

$\Delta t_+=(17.5-2.5)+(40-37.5)=17.5\,\mathrm{s}$

پس سه عبارت دیگر نادرست‌اند.

پاسخ: گزینهٔ ۴