سوال ۴۷ فیزیک کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

نکتهٔ خواندن صورت سؤال: عبارت $2/5t_1$ در اینجا با نگارش اعشاری آمده و منظور از آن $2.5t_1=\frac{5}{2}t_1$ است، نه $\frac{2}{5}t_1$.

گام اول: تعیین سرعت‌ها و شتاب‌ها
سرعت اولیه را $v_0>0$ می‌نامیم. شتاب از نسبت تغییر سرعت به مدت زمان به دست می‌آید؛ بنابراین در نمودار سرعت ـ زمان، شتاب برابر شیب نمودار است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۰–۱۱).

در بخش نزولی داریم:
$a_1=\frac{0-v_0}{t_1}=-\frac{v_0}{t_1}$.

چون همین خط راست تا $2t_1$ ادامه دارد، سرعت در این لحظه برابر است با:
$v(2t_1)=v_0+a_1(2t_1)=-v_0$.

بزرگی شتاب بخش صعودی نصف بزرگی شتاب بخش نزولی است و علامت آن مثبت است؛ پس:
$a_2=\frac{|a_1|}{2}=\frac{v_0}{2t_1}$.

از کمینهٔ نمودار تا انتهای بازهٔ خواسته‌شده، مدت $\frac{t_1}{2}$ گذشته است. بنابراین:
$v\left(\frac{5}{2}t_1\right)=-v_0+\frac{v_0}{2t_1}\times\frac{t_1}{2}=-\frac{3}{4}v_0$.

گام دوم: تندی متوسط در بازهٔ اول
تندی متوسط، مسافت پیموده‌شده تقسیم بر مدت زمان است. در نمودار سرعت ـ زمان، مسافت با جمع قدرمطلق مساحت ناحیه‌های بین نمودار و محور زمان به دست می‌آید؛ کاربرد این روش برای محاسبهٔ مسافت و جابه‌جایی در تمرین‌های کتاب آمده است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۲۰–۲۱).

در بازهٔ صفر تا $t_1$، ناحیه یک مثلث است؛ پس:
$s_1=\frac{1}{2}v_0t_1$،
$\overline{u}_1=\frac{s_1}{t_1}=\frac{v_0}{2}$.

گام سوم: تندی متوسط در بازهٔ دوم
در بازهٔ $t_1$ تا $2t_1$ یک مثلث و در بازهٔ $2t_1$ تا $\frac{5}{2}t_1$ یک ذوزنقه داریم. هر دو زیر محور زمان‌اند، اما مساحت آن‌ها برای محاسبهٔ مسافت مثبت در نظر گرفته می‌شود:
$s_2=\frac{1}{2}v_0t_1+\frac{v_0+\frac{3}{4}v_0}{2}\times\frac{t_1}{2}=\frac{15}{16}v_0t_1$.

مدت این بازه برابر $\frac{3}{2}t_1$ است؛ بنابراین:
$\overline{u}_2=\frac{\frac{15}{16}v_0t_1}{\frac{3}{2}t_1}=\frac{5}{8}v_0$.

گام چهارم: نسبت خواسته‌شده
$\frac{\overline{u}_1}{\overline{u}_2}=\frac{\frac{1}{2}v_0}{\frac{5}{8}v_0}=\frac{4}{5}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳