سوالات فیزیک کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

۱. در حرکت مستقیم‌الخط با سرعت ثابت، معادلهٔ مکان ـ زمان به‌صورت $x=vt+x_0$ است؛ در این رابطه، $x_0$ مکان جسم در مبدأ زمان است، نه لزوماً نخستین مکان داده‌شده در سؤال (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۴–۱۵).

۲. چون سرعت ثابت است، سرعت جسم با سرعت متوسط در فاصلهٔ دو لحظه برابر است:
$v=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{26-8}{10-4}=3\,\mathrm{m/s}$.

۳. برای یافتن مکان اولیه، داده‌های لحظهٔ نخست را در معادلهٔ حرکت قرار می‌دهیم:
$8=3\times4+x_0\quad\Rightarrow\quad x_0=-4\,\mathrm{m}$.
بنابراین مثبت بودن مکان جسم در دو لحظهٔ داده‌شده، به معنای مثبت بودن مکان اولیه نیست.

۴. با جای‌گذاری سرعت و مکان اولیه، معادله در SI به دست می‌آید:
$x=3t-4$.
در این معادله، زمان برحسب ثانیه و مکان برحسب متر است. برای بررسی، در لحظهٔ دوم نیز داریم: $x(10)=3\times10-4=26\,\mathrm{m}$ که با صورت سؤال سازگار است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا توجه می‌کنیم که چهار ثانیهٔ دوم، بازهٔ $t=4\,\mathrm{s}$ تا $t=8\,\mathrm{s}$ است.

گام اول: تعیین شتاب و سرعت اولیه
شیب نمودار مکان ـ زمان، سرعت متحرک را نشان می‌دهد. نمودار در $t=3\,\mathrm{s}$ به بیشینه می‌رسد؛ پس در این لحظه سرعت صفر است و پس از آن، جهت حرکت عوض می‌شود. ارتباط تغییر علامت سرعت با تغییر جهت حرکت در مثال کتاب نیز بررسی شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹).

چون سهمی رو به پایین است، شتاب منفی است:
$a=-2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

از رابطهٔ سرعت در حرکت با شتاب ثابت داریم:
$v=v_0+at$

در رأس سهمی:
$0=v_0+\left(-2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\right)(3\,\mathrm{s})\Rightarrow v_0=6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

بنابراین سرعت‌های لازم عبارت‌اند از:
$v(4\,\mathrm{s})=-2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}},\qquad v(8\,\mathrm{s})=-10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

گام دوم: مسافت چهار ثانیهٔ اول
مساحت علامت‌دار بین نمودار سرعت ـ زمان و محور زمان، جابه‌جایی است؛ برای محاسبهٔ مسافت باید مساحت بخش‌ها را بدون علامت با هم جمع کنیم (فیزیک ۳، صفحه‌های ۲۰–۲۱).

در بازهٔ اول، سرعت در $t=3\,\mathrm{s}$ تغییر علامت می‌دهد. پس مسافت، مجموع مساحت دو مثلث است:
$d_1=\frac{1}{2}(3\,\mathrm{s})\left(6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)+\frac{1}{2}(1\,\mathrm{s})\left(2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)=9\,\mathrm{m}+1\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{m}$

گام سوم: مسافت چهار ثانیهٔ دوم
در بازهٔ $4\,\mathrm{s}$ تا $8\,\mathrm{s}$، سرعت همواره منفی است و تغییر جهت نداریم. مسافت برابر مساحت ذوزنقهٔ بین نمودار سرعت ـ زمان و محور زمان است:
$d_2=\frac{2+10}{2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\times4\,\mathrm{s}=24\,\mathrm{m}$

پس نسبت خواسته‌شده برابر است با:
$\frac{d_1}{d_2}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$

پاسخ: گزینهٔ ۴

جهت حرکت خودرو را مثبت می‌گیریم. چون خودرو ترمز می‌کند، شتاب هر دو مرحله منفی است:
$a_1=-2\,\mathrm{m/s^2}$ و $a_2=-1\,\mathrm{m/s^2}$.

۱. تعیین مدت مرحلهٔ دوم

مدت مرحلهٔ دوم را $t_2$ و سرعت در مرز دو مرحله را $v_1$ می‌نامیم؛ بنابراین:

از رابطهٔ سرعت ـ زمان در مرحلهٔ دوم و شرط توقف داریم:

در مرحلهٔ اول نیز:

۲. استفاده از نسبت مسافت‌ها

در حرکت با شتاب ثابت، جابه‌جایی برابر حاصل‌ضرب میانگین سرعت ابتدا و انتهای بازه در مدت آن است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۲۰). خودرو تا توقف تغییر جهت نمی‌دهد؛ پس اینجا جابه‌جایی و مسافت برابرند.

مسافت مرحلهٔ اول:

با جای‌گذاری سرعت مرزی و مجموع زمان دو مرحله:

مسافت مرحلهٔ دوم نیز برابر است با:

اکنون شرط $s_1=4s_2$ را اعمال می‌کنیم:

با ساده‌سازی:

ریشهٔ $40\,\mathrm{s}$ از کل زمان حرکت بیشتر است و پذیرفته نیست؛ پس:

بنابراین پنج ثانیهٔ پایانی کاملاً در مرحلهٔ دوم قرار دارد.

۳. محاسبهٔ مسافت پنج ثانیهٔ پایانی

در این بازه، شتاب $-1\,\mathrm{m/s^2}$ است و سرعت نهایی صفر می‌شود؛ پس سرعت ابتدای بازه برابر است با:

در نتیجه:

این همان مساحت مثلث زیر نمودار سرعت ـ زمان در پنج ثانیهٔ پایانی است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۲۰). عدد «۱۲/۵» در گزینهٔ اول، نمایش اعشاری همین مقدار است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. نیروهای وارد بر وزنه را مشخص می‌کنیم. در حالت موردنظر، وزنه نسبت به آسانسور ساکن است؛ بنابراین همراه آسانسور شتاب رو به پایین دارد. وزن به طرف پایین و نیروی فنر به طرف بالا وارد می‌شوند. مطابق روش مثال آسانسور در کتاب، باید قانون دوم نیوتون را با توجه به جهت شتاب بنویسیم، نه اینکه برآیند نیروها را صفر بگیریم (فیزیک ۳، صفحه‌های ۳۶–۳۷).

۲. نیروی فنر را به دست می‌آوریم. جهت پایین را مثبت و اندازهٔ شتاب آسانسور را $a$ می‌گیریم:
$mg-F_s=ma$
پس:
$F_s=m(g-a)=2\times(10-2)=16\,\mathrm{N}$
بنابراین نیروی فنر از وزن وزنه کمتر است؛ این نتیجه با تحلیل آسانسور دارای شتاب رو به پایین در کتاب سازگار است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۷).

۳. افزایش طول فنر را محاسبه می‌کنیم. طبق قانون هوک، اندازهٔ نیروی فنر برابر $F_s=kx$ است که در آن $x$ افزایش طول نسبت به طول طبیعی است. مسئلهٔ فنر آویزان در آسانسور نیز در تمرین‌های کتاب مطرح شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۱، مسئلهٔ ۱۲).
$x=\frac{F_s}{k}=\frac{16}{400}=0.04\,\mathrm{m}=4\,\mathrm{cm}$

۴. طول نهایی را می‌یابیم. مقدار محاسبه‌شده افزایش طول است، نه طول کل فنر؛ پس:
$L=L_0+x=30+4=34\,\mathrm{cm}$

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تعیین نیروها و جهت شتاب
راست را جهت مثبت می‌گیریم. جسم در ابتدا به راست حرکت می‌کند و تندشونده است؛ پس شتاب اولیه نیز به راست است. طبق قانون دوم نیوتون، نیروی خالص هم‌جهت شتاب است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۰). اصطکاک جنبشی، برخلاف حرکت جسم، به چپ وارد می‌شود؛ بنابراین:
$F_1-f_k=ma$
$f_k=30-5\times2=20\,\mathrm{N}$

۲. محاسبهٔ ضریب اصطکاک جنبشی
جسم در راستای قائم شتاب ندارد و نیروی $F_2$ رو به پایین است؛ پس نیروی عمودی سطح برابر است با:
$N=mg+F_2=5\times10+10=60\,\mathrm{N}$
اثر نیروی قائمِ فشاری بر نیروی عمودی سطح در مسئلهٔ ۹ کتاب نیز بررسی شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۱). با استفاده از رابطهٔ اصطکاک جنبشی داریم:
$f_k=\mu_kN\quad\Rightarrow\quad\mu_k=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$

۳. محاسبهٔ اصطکاک لازم برای حرکت کندشونده
در ادامه، تا پیش از توقف، سرعت جسم همچنان به راست است؛ بنابراین اصطکاک همچنان به چپ است. برای کندشدن با شتابی به بزرگی $2\,\mathrm{m/s^2}$، شتاب باید به چپ باشد؛ یعنی $a'=-2\,\mathrm{m/s^2}$. پس:
$F_1-f'_k=ma'$
$30-f'_k=5\times(-2)\quad\Rightarrow\quad f'_k=40\,\mathrm{N}$

۴. محاسبهٔ افزایش نیروی قائم
با ثابت‌ماندن جنس سطوح، ضریب اصطکاک جنبشی تغییر نمی‌کند. بنابراین:
$N'=\frac{f'_k}{\mu_k}=\frac{40}{1/3}=120\,\mathrm{N}$
از تعادل قائم، مقدار جدید نیروی رو به پایین به دست می‌آید:
$F'_2=N'-mg=120-50=70\,\mathrm{N}$
پرسش، افزایش نیرو را می‌خواهد، نه مقدار نهایی آن:
$\Delta F_2=F'_2-F_2=70-10=60\,\mathrm{N}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. انتخاب جسم و رابطهٔ مناسب: نیروی خالص متوسط وارد بر سرنشین خواسته شده است؛ پس جرم مورد استفاده $m=60\,\mathrm{kg}$ است و به جرم کامیون و خودرو نیازی نداریم. طبق رابطهٔ تغییر تکانه و نیروی متوسط، داریم: $\vec F_{\mathrm{av}}=\frac{\Delta\vec p}{\Delta t}=m\frac{\vec v_2-\vec v_1}{\Delta t}$ (فیزیک ۳، صفحه‌های ۴۴ تا ۴۶).

۲. تبدیل یکای سرعت‌ها: برای تبدیل کیلومتر بر ساعت به متر بر ثانیه، مقدار سرعت را بر $3.6$ تقسیم می‌کنیم؛ بنابراین $\vec v_1=(40\,\mathrm{m/s})\vec i$ و $\vec v_2=-(10\,\mathrm{m/s})\vec i$.

۳. محاسبهٔ تغییر سرعت: باید سرعت نهایی را با علامت منفی آن در رابطه قرار دهیم: $\Delta\vec v=\vec v_2-\vec v_1=(-10-40)\vec i\,\mathrm{m/s}=-(50\,\mathrm{m/s})\vec i$. پس بزرگی تغییر سرعت $50\,\mathrm{m/s}$ است. در برخورد همراه با برگشت، تندی‌های اولیه و نهایی برای محاسبهٔ بزرگی تغییر سرعت با هم جمع می‌شوند؛ نمونهٔ مشابه آن در مثال تصادف کتاب آمده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۶).

۴. محاسبهٔ نیرو: با مدت برخورد $\Delta t=0.5\,\mathrm{s}$، نیروی متوسط برابر است با $\vec F_{\mathrm{av}}=\frac{(60\,\mathrm{kg})(-50\,\mathrm{m/s})}{0.5\,\mathrm{s}}\vec i=-(6\times10^3\,\mathrm{N})\vec i$. علامت منفی جهت نیرو را نشان می‌دهد؛ چون سؤال بزرگی نیرو را می‌خواهد، نتیجه $F_{\mathrm{av}}=6\times10^3\,\mathrm{N}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: معادلهٔ حرکت را بنویسیم.
طبق نمودار، نوسانگر در لحظهٔ $t=0$ در بیشینهٔ مثبت قرار دارد و دامنهٔ آن $A=5\,\mathrm{cm}$ است. بنابراین، با استفاده از معادلهٔ حرکت هماهنگ ساده داریم (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۵):
$x(t)=A\cos(\omega t)$
همچنین $\omega=2\pi/T$ است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۶).

گام دوم: مکان نوسانگر را پس از نیم‌دوره بررسی کنیم.
از خاصیت $\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$ نتیجه می‌شود:
$x(t+T/2)=A\cos(\omega t+\pi)=-x(t)$
پس مکان نوسانگر پس از نیم‌دوره، قرینهٔ مکان اولیه نسبت به نقطهٔ تعادل است. چون در لحظهٔ $t_1$ داریم $x(t_1)=-2\,\mathrm{cm}$، بنابراین:
$x(t_1+T/2)=+2\,\mathrm{cm}$

گام سوم: شرط «برای اولین بار» را بررسی کنیم.
در لحظهٔ $t_1$ نمودار نزولی است؛ پس نوسانگر ابتدا از مکان $-2\,\mathrm{cm}$ به نقطهٔ بازگشت منفی می‌رود. سپس جهت حرکتش عوض می‌شود و با افزایش مکان، از تعادل و پس از آن از مکان $+2\,\mathrm{cm}$ می‌گذرد. بنابراین، پیش از عبوری که پیدا کردیم، عبور دیگری از مکان خواسته‌شده رخ نمی‌دهد.

در نتیجه، مدت‌زمان موردنظر برابر است با:
$\Delta t=(t_1+T/2)-t_1=\frac{T}{2}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. تعیین ترتیب رسیدن صداها: تندی صوت به ویژگی‌های محیط بستگی دارد و در فلزِ این مسئله از هوا بیشتر است؛ بنابراین $V_1>V_2$ و صدایی که از دیوارهٔ فلزی می‌گذرد، زودتر شنیده می‌شود (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷۱–۷۲).

۲. محاسبهٔ زمان انتشار هر موج: طبق رابطهٔ $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$، زمان پیمودن مسیر برابر مسافت تقسیم بر تندی است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۷۱). هر دو موج از محل ضربه تا شنونده، مسافت $L$ را می‌پیمایند؛ پس:
$t_{\text{فلز}}=\frac{L}{V_1}$
$t_{\text{هوا}}=\frac{L}{V_2}$

۳. محاسبهٔ فاصلهٔ زمانی دریافت دو صدا: چون دو موج با همان ضربه ایجاد می‌شوند، بازهٔ زمانی بین شنیدن آن‌ها برابر زمان رسیدن موجِ هوا منهای زمان رسیدن موجِ فلز است:
$\Delta t=t_{\text{هوا}}-t_{\text{فلز}}=\frac{L}{V_2}-\frac{L}{V_1}$
با هم‌مخرج کردن داریم:
$\Delta t=\frac{LV_1-LV_2}{V_1V_2}=\frac{(V_1-V_2)L}{V_1V_2}$
این مقدار مثبت است، زیرا $V_1>V_2$. توجه کنید که دو صدا ناشی از انتشار در دو محیط متفاوت‌اند، نه بازتاب و رفت‌وبرگشت صوت؛ بنابراین ضریب دو وارد محاسبه نمی‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۳

برای یافتن ضریب شکست، ابتدا تندی نور در مایع را محاسبه می‌کنیم.

گام اول: تعیین بسامد نور در مایع
با عبور نور از خلأ به مایع، بسامد آن ثابت می‌ماند؛ تندی و طول موج تغییر می‌کنند. پس بسامد نور در مایع نیز برابر است با:
$f=5\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$

گام دوم: محاسبهٔ تندی نور در مایع
رابطهٔ تندی موج، $v=f\lambda$، برای نور نیز برقرار است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۶۷). ابتدا طول موج مایع را به متر تبدیل می‌کنیم:
$\lambda_{\text{مایع}}=\frac{9}{20}\,\mu\mathrm{m}=4.5\times10^{-7}\,\mathrm{m}$
بنابراین:
$v=f\lambda_{\text{مایع}}=(5\times10^{14})(4.5\times10^{-7})=2.25\times10^8\,\mathrm{m/s}$

گام سوم: محاسبهٔ ضریب شکست
ضریب شکست محیط از نسبت تندی نور در خلأ به تندی آن در محیط به دست می‌آید: $n=\frac{c}{v}$ (فیزیک ۳، صفحه‌های ۸۴–۸۵). در نتیجه:
$n=\frac{3\times10^8}{2.25\times10^8}=\frac{3}{2.25}=\frac{4}{3}$
این مقدار بزرگ‌تر از یک است و با کمتر بودن تندی نور در مایع نسبت به خلأ سازگاری دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۴

صورت سؤال عبارت «نادرست» را می‌خواهد؛ بنابراین باید درستی هر چهار عبارت را بررسی کنیم.

۱. رابطهٔ انرژی ترازهای اتم هیدروژن در مدل بور چنین است:
$E_n=-\frac{13.6}{n^2}\,\mathrm{eV}$
با افزایش $n$، انرژی کمتر منفی می‌شود و به صفر نزدیک می‌شود. در حد $n=\infty$ داریم $E_\infty=0\,\mathrm{eV}$؛ پس این حد، بالاترین تراز در نمودار کتاب است و عبارت گزینهٔ ۱ درست است. (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۵–۱۰۶)

۲. برای $n=1$، انرژی برابر $E_1=-13.6\,\mathrm{eV}$ است که کمترین مقدار انرژی الکترون در اتم هیدروژن است. این تراز را «حالت پایه» می‌نامند؛ بنابراین عبارت گزینهٔ ۲ نیز درست است. (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۵–۱۰۶)

۳. طبق توضیح کتاب، در دمای اتاق الکترون اتم هیدروژن معمولاً در حالت پایه قرار دارد، نه در حالت برانگیخته. انتقال به حالت برانگیخته نیازمند دریافت انرژی است؛ پس عبارت گزینهٔ ۳ نادرست است. (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۶)

۴. با افزایش $n$، ترازهای انرژی به حد صفر نزدیک می‌شوند و فاصلهٔ انرژی ترازهای مجاور کاهش می‌یابد. در نتیجه، ترازهای بالاتر در نمودار فشرده‌ترند و عبارت گزینهٔ ۴ درست است. (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۵–۱۰۶)

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. تعیین گذارهای مجاز

شرط $\Delta n=1$ در این سؤال یعنی فقط گذار بین ترازهای مجاور مجاز است. بنابراین الکترون در مسیر رسیدن به حالت پایه، گذارهای زیر را انجام می‌دهد:

$5\to4,\qquad4\to3,\qquad3\to2,\qquad2\to1$

این محدودیت همان نوع محدودیتی است که در پرسش مربوط به گذارهای مجاور کتاب مطرح شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۲۳).

۲. شناسایی فوتون‌های دارای بلندترین و کوتاه‌ترین طول موج

در اتم هیدروژن، با افزایش عدد کوانتومی، ترازهای انرژی به هم نزدیک‌تر می‌شوند؛ پس در میان گذارهای بالا، کمترین فاصلهٔ انرژی مربوط به $5\to4$ و بیشترین فاصله مربوط به $2\to1$ است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۵–۱۰۶).

از طرفی، انرژی فوتون و طول موج آن رابطهٔ $E_\gamma=\frac{hc}{\lambda}$ دارند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷). بنابراین:

• بلندترین طول موج مربوط به گذار $5\to4$ است.

• کوتاه‌ترین طول موج مربوط به گذار $2\to1$ است.

۳. محاسبهٔ انرژی دو فوتون

طبق مدل بور، $E_n=-\frac{E_R}{n^2}$ و انرژی فوتون گسیلی برابر اختلاف انرژی تراز بالایی و پایینی است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷):

$E_\gamma=E_R\left(\frac{1}{n_L^2}-\frac{1}{n_U^2}\right)$

برای فوتونِ کوتاه‌ترین طول موج:

$E_{\gamma,\max}=13.6\left(1-\frac{1}{4}\right)=10.2\,\mathrm{eV}$

برای فوتونِ بلندترین طول موج:

$E_{\gamma,\min}=13.6\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{25}\right)=13.6\times\frac{9}{400}=0.306\,\mathrm{eV}$

۴. محاسبهٔ اختلاف انرژی و تبدیل به ژول

$\Delta E=10.2-0.306=9.894\,\mathrm{eV}$

با استفاده از $1\,\mathrm{eV}=1.6\times10^{-19}\,\mathrm{J}$ داریم:

$\Delta E=9.894\times1.6\times10^{-19}=1.58304\times10^{-18}\,\mathrm{J}\simeq1.58\times10^{-18}\,\mathrm{J}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. رابطهٔ مناسب را می‌نویسیم. طبق معادلهٔ ریدبرگ، طول‌موج خط‌های گسیلی هیدروژن از رابطهٔ زیر به دست می‌آید (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۰–۱۰۱):
$\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right),\qquad n>n'$
در هر رشته، $n'$ ثابت است و مقدارهای مجاز $n$ از $n'+1$ آغاز می‌شوند؛ بنابراین چهارمین خط مربوط به $n=n'+4$ است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۱–۱۰۲).

۲. داده‌های سؤال را در رابطه قرار می‌دهیم. توجه کنید که علامت «/» در عدد داده‌شده، ممیز اعشاری است؛ یعنی $\lambda=1102.5\,\mathrm{nm}$. همچنین باید از ثابت خود سؤال، یعنی $R=0.01\,\mathrm{nm}^{-1}$، استفاده کنیم:
$\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{(n'+4)^2}=\frac{1}{R\lambda}=\frac{1}{0.01\times1102.5}=\frac{40}{441}$

۳. رشتهٔ پاشن را بررسی می‌کنیم. برای این رشته $n'=3$ است؛ پس تراز بالاییِ چهارمین خط آن برابر است با:
$n=3+4=7$
در نتیجه:
$\frac{1}{3^2}-\frac{1}{7^2}=\frac{1}{9}-\frac{1}{49}=\frac{49-9}{441}=\frac{40}{441}$
این مقدار دقیقاً با مقدار به‌دست‌آمده از داده‌های سؤال برابر است. برای کنترل نهایی نیز داریم:
$\lambda=\frac{1}{0.01\times\frac{40}{441}}=1102.5\,\mathrm{nm}$
پس طول‌موج داده‌شده متعلق به چهارمین خط رشتهٔ پاشن است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. تعیین موقعیت نقطه‌ها و قاعدهٔ محاسبه
بزرگی میدان بار نقطه‌ای از رابطهٔ $E=k|q|/r^2$ به دست می‌آید و میدان خالص، جمع برداری میدان‌های هر بار است؛ بنابراین علامت بار را در تعیین جهت میدان به کار می‌بریم، نه به‌عنوان علامت بزرگی میدان (فیزیک ۲، صفحه‌های ۱۲–۱۳).

وسط دو بار را $A$ و نقطهٔ دیگر را $B$ می‌نامیم. فاصلهٔ $A$ از هر بار برابر $3\,\mathrm{cm}$ است. نقطهٔ $B$ نیز باید در سمت چپ $q_1$ باشد تا فاصله‌اش از $q_1$ برابر $3\,\mathrm{cm}$ و از $q_2$ برابر $9\,\mathrm{cm}$ شود.

۲. میدان در وسط دو بار
میدان بار مثبت از آن دور می‌شود و میدان بار منفی به‌سوی آن است. پس در $A$ هر دو میدان به راست‌اند و بزرگی آن‌ها جمع می‌شود؛ همین آرایش جهت‌ها در مثال کتاب نیز بررسی شده است (فیزیک ۲، صفحه‌های ۱۲–۱۳):
$E_A=k\frac{4\times10^{-6}}{(0.03)^2}+k\frac{6\times10^{-6}}{(0.03)^2}=\frac{k\times10^{-6}}{(0.03)^2}(4+6)$.

۳. میدان در نقطهٔ بیرونی
در $B$ میدان بار مثبت به چپ و میدان بار منفی به راست است. همچنین، بار مثبت هم بزرگی بار کمتری از نظر فاصله جبران می‌کند و هم نزدیک‌تر است؛ به‌طور دقیق، چون $4>6/9$، میدان آن قوی‌تر است. بنابراین بزرگی میدان خالص برابر است با:
$E_B=k\frac{4\times10^{-6}}{(0.03)^2}-k\frac{6\times10^{-6}}{(0.09)^2}$.
با توجه به $0.09=3\times0.03$، داریم:
$E_B=\frac{k\times10^{-6}}{(0.03)^2}\left(4-\frac{6}{9}\right)=\frac{k\times10^{-6}}{(0.03)^2}\times\frac{10}{3}$.

۴. محاسبهٔ نسبت
عامل مشترک دو میدان حذف می‌شود:
$\frac{E_A}{E_B}=\frac{4+6}{4-6/9}=\frac{10}{10/3}=3$.
پس بزرگی میدان در وسط دو بار، سه برابر بزرگی میدان در نقطهٔ بیرونی است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تعیین کمیت ثابت: با جداکردن خازن از باتری، مسیر انتقال بار قطع می‌شود؛ بنابراین بار خازن ثابت می‌ماند، نه اختلاف پتانسیل آن. این نتیجه با سازوکار باردارشدن خازن از راه انتقال بار در مدار سازگار است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۲۸–۲۹).

۲. محاسبهٔ تغییر ظرفیت: ظرفیت خازن تخت از رابطهٔ $C=\varepsilon_0 A/d$ به دست می‌آید؛ پس با ثابت‌بودن مساحت صفحه‌ها و محیط بین آن‌ها، ظرفیت با فاصله نسبت وارون دارد (فیزیک ۲، صفحهٔ ۳۰). با افزایش پنجاه‌درصدی فاصله داریم:
$d_f=1.5d_i\quad\Rightarrow\quad C_f=\frac{C_i}{1.5}=\frac{2}{3}C_i$.

۳. محاسبهٔ انرژی اولیه: چون بار ثابت است، مناسب‌ترین رابطهٔ انرژی $U=\frac{Q^2}{2C}$ است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۳۳–۳۴):
$U_i=\frac{(200\times10^{-6}\,\mathrm{C})^2}{2(5\times10^{-6}\,\mathrm{F})}=4\times10^{-3}\,\mathrm{J}=4\,\mathrm{mJ}$.

۴. محاسبهٔ افزایش انرژی: در بار ثابت، انرژی با ظرفیت نسبت وارون دارد؛ بنابراین:
$\frac{U_f}{U_i}=\frac{C_i}{C_f}=1.5$.
پس افزایش انرژی برابر است با:
$\Delta U=U_f-U_i=(1.5-1)U_i=0.5\times4\,\mathrm{mJ}=2\,\mathrm{mJ}$.

این افزایش انرژی حاصل کار عامل خارجی برای دورکردن صفحه‌های دارای بار ناهم‌نام از یکدیگر است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

مقاومت هر لامپ را $R$ می‌نامیم. چون باتری‌ها آرمانی‌اند، اختلاف پتانسیل دو سر هر مدار برابر $\varepsilon$ است.

گام اول: مدار متوالی
طبق قواعد اتصال متوالی، جریان عبوری از مقاومت‌ها یکسان است و مقاومت معادل از جمع مقاومت‌ها به دست می‌آید (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶):
$R_{\mathrm{eq,s}}=R+R=2R$
پس جریان این مدار برابر است با:
$I_{\mathrm{s}}=\frac{\varepsilon}{2R}$
بنابراین اختلاف پتانسیل دو سر هر لامپ می‌شود:
$V_1=V_2=I_{\mathrm{s}}R=\frac{\varepsilon}{2}$
با استفاده از رابطهٔ توان مصرفی مقاومت، $P=V^2/R$، داریم:
$P_1=P_2=\frac{(\varepsilon/2)^2}{R}=\frac{\varepsilon^2}{4R}$

گام دوم: مدار موازی
در اتصال موازی، دو سر هر مقاومت به دو سر باتری وصل است؛ در نتیجه اختلاف پتانسیل هر مقاومت برابر ولتاژ باتری است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۷):
$V_3=V_4=\varepsilon$
پس توان هر لامپ موازی برابر است با:
$P_3=P_4=\frac{\varepsilon^2}{R}$

گام سوم: مقایسهٔ توان‌ها
نسبت توان هر لامپ موازی به هر لامپ متوالی برابر است با:
$\frac{P_3}{P_1}=\frac{\varepsilon^2/R}{\varepsilon^2/(4R)}=4$
بنابراین توان مصرفی هر یک از لامپ‌های $R_3$ و $R_4$، چهار برابر توان مصرفی هر یک از لامپ‌های $R_1$ و $R_2$ است.

همچنین مجموع توان‌ها در دو مدار برابر است با:
$P_1+P_2=\frac{\varepsilon^2}{2R}$
$P_3+P_4=\frac{2\varepsilon^2}{R}$
پس توان کل مدار موازی نیز چهار برابر توان کل مدار متوالی است؛ نه با آن برابر است و نه از آن کمتر.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول ـ تعیین رابطه و زاویه:
شار مغناطیسی در میدان یکنواخت از رابطهٔ $\Phi=BA\cos\theta$ به دست می‌آید؛ در این رابطه، $\theta$ زاویهٔ میدان با خط عمود بر سطح حلقه است. چون سطح حلقه بر میدان عمود است، این زاویه برابر $0^\circ$ و در نتیجه $\cos\theta=1$ است. پس داریم: $\Phi=BA$ (فیزیک ۲، صفحهٔ ۸۷–۸۸، مثال ۳ـ۴).

گام دوم ـ تبدیل داده‌ها به SI:
ضلع حلقه برابر است با $a=30\,\mathrm{cm}=0.30\,\mathrm{m}$. بنابراین مساحت مربع می‌شود:
$A=a^2=(0.30)^2=0.09\,\mathrm{m^2}$.
همچنین با توجه به $1\,\mathrm{G}=10^{-4}\,\mathrm{T}$، میدان برابر است با:
$B=400\times10^{-4}=4\times10^{-2}\,\mathrm{T}$.

گام سوم ـ محاسبهٔ شار:
$\Phi=BA=(4\times10^{-2})(0.09)=3.6\times10^{-3}\,\mathrm{Wb}$.
واحد شار در SI وبر است؛ بنابراین مقدار به‌دست‌آمده با گزینهٔ چهارم مطابقت دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: رابطهٔ انرژی جنبشی را می‌نویسیم:
$K=\frac{1}{2}mv^2$
طبق این رابطه، انرژی جنبشی به جرم و مربع تندی بستگی دارد (فیزیک ۱، صفحهٔ ۵۴). بنابراین، در این مسئله ثابت‌بودن انرژی جنبشی به معنای ثابت‌بودن تندی نیست؛ زیرا جرم موشک نیز تغییر می‌کند.

گام دوم: تندی موشک $25\%$ افزایش یافته است؛ پس:
$v_2=\left(1+\frac{25}{100}\right)v_1=\frac{5}{4}v_1$

گام سوم: چون انرژی جنبشی ثابت مانده است، داریم:
$K_1=K_2\Rightarrow\frac{1}{2}m_1v_1^2=\frac{1}{2}m_2v_2^2$
پس نسبت جرم نهایی به جرم اولیه برابر است با:
$\frac{m_2}{m_1}=\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2=\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{16}{25}=0.64$
بنابراین، جرم باقی‌ماندهٔ موشک برابر با $64\%$ جرم اولیه است.

گام چهارم: برای محاسبهٔ درصد کاهش جرم، باید جرم ازدست‌رفته را نسبت به جرم اولیه بسنجیم:
$\frac{m_1-m_2}{m_1}\times100=(1-0.64)\times100=36$
پس جرم موشک $36\%$ کاهش یافته است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: تعیین مؤلفهٔ مؤثر نیرو
طبق رابطهٔ $W=(F\cos\theta)d$، فقط مؤلفهٔ نیرو در راستای جابه‌جایی کار انجام می‌دهد و مؤلفهٔ عمود بر جابه‌جایی کاری ندارد (فیزیک ۱، صفحهٔ ۵۸).

در این مسئله، $\vec{d}=10\,\vec{i}\,\mathrm{m}$ است؛ پس جابه‌جایی کاملاً افقی است. از نیروی $\vec{F}=(40\,\vec{i}+30\,\vec{j})\,\mathrm{N}$، مؤلفهٔ افقی $F_x=40\,\mathrm{N}$ با جابه‌جایی هم‌جهت است و مؤلفهٔ عمودی $F_y=30\,\mathrm{N}$ بر آن عمود است.

گام دوم: محاسبهٔ کار
چون مؤلفهٔ افقی نیرو با جابه‌جایی هم‌جهت است، داریم:
$W_F=F_xd=(40\,\mathrm{N})(10\,\mathrm{m})=400\,\mathrm{J}$.

گام سوم: بررسی نقش وزن
پرسش، کار نیروی $\vec{F}$ را می‌خواهد، نه کار کل نیروها را؛ بنابراین وزن $60\,\mathrm{N}$ در این محاسبه نقشی ندارد. همچنین خود نیروی وزن، به دلیل عمود بودن بر جابه‌جایی افقی، کاری انجام نمی‌دهد (فیزیک ۱، صفحهٔ ۵۸).

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای شناسایی نام یکای داده‌شده، آن را با یکاهای شناخته‌شده بازنویسی می‌کنیم. طبق تعریف کتاب، یکاهای فرعی برحسب یکاهای اصلی بیان می‌شوند و برخی از آن‌ها نام مخصوص دارند (فیزیک ۱، صفحهٔ ۷).

گام اول: طبق جدول یکاهای فرعی، یکای انرژی ژول است و داریم (فیزیک ۱، صفحهٔ ۷):
$\mathrm{J}=\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{s}^{2}}$
پس یکای سؤال برابر است با:
$\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{A}\cdot\mathrm{s}^{2}}=\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{A}}$

گام دوم: از رابطهٔ توان الکتریکی $P=VI$ و تعریف توان به‌صورت انرژی بر زمان، یکای ولت به دست می‌آید:
$\mathrm{V}=\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{A}\cdot\mathrm{s}}$
بنابراین:
$\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{A}}=\mathrm{V}\cdot\mathrm{s}$

گام سوم: طبق قانون القای فاراده، نیروی محرکهٔ القایی با آهنگ تغییر شار مغناطیسی متناسب است؛ پس یکای شار مغناطیسی، حاصل‌ضرب ولت در ثانیه است. نام این یکا «وبر» و نماد درست آن $\mathrm{Wb}$ است:
$\mathrm{Wb}=\mathrm{V}\cdot\mathrm{s}=\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{A}\cdot\mathrm{s}^{2}}$

در نتیجه، یکای داده‌شده همان وبر است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ـ تعیین جهت میدان: در فاصلهٔ بین قطب‌های آهنربا، جهت میدان از قطب شمال به قطب جنوب است؛ بنابراین در این شکل، میدان مغناطیسی از چپ به راست است.

گام دوم ـ تعیین راستای نیرو: طبق کتاب، نیروی مغناطیسی وارد بر سیم حامل جریان بر راستای سیم و راستای میدان عمود است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۷۴–۷۵). چون جریان رو به بالا و میدان رو به راست است، نیرو باید عمود بر صفحه باشد؛ پس جهت‌های چپ و راست کنار می‌روند.

گام سوم ـ تعیین سوی نیرو: قاعدهٔ دست راست را به روش سه‌انگشتی اجرا می‌کنیم: انگشت اشاره در جهت جریان، رو به بالا، و انگشت میانی در جهت میدان، رو به راست، قرار می‌گیرد. در این حالت شست به داخل صفحه اشاره می‌کند؛ بنابراین نیروی وارد بر سیم درون‌سو است و با نماد $\otimes$ نمایش داده می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. انتخاب رابطه: چون سیم‌لوله آرمانی است و میدان در نقطه‌ای دور از لبه‌ها خواسته شده، میدان یکنواخت است و از رابطهٔ $B=\dfrac{\mu_0NI}{\ell}$ به دست می‌آید (فیزیک ۲، صفحهٔ ۸۱–۸۲).

۲. تبدیل واحدها: برای استفاده از رابطه در دستگاه SI داریم:
$\ell=10\,\mathrm{cm}=0.10\,\mathrm{m}$
$I=400\,\mathrm{mA}=0.400\,\mathrm{A}$
تعداد دورها نیز $N=500$ است.

۳. جای‌گذاری: مقدار تراوایی را مطابق دادهٔ خود سؤال قرار می‌دهیم:
$B=\dfrac{(12\times10^{-7})(500)(0.400)}{0.10}\,\mathrm{T}=2.4\times10^{-3}\,\mathrm{T}$.

۴. تبدیل تسلا به گاوس: با توجه به تبدیل واحد به‌کاررفته در کتاب، $1\,\mathrm{G}=10^{-4}\,\mathrm{T}$ است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۷۵–۷۶). بنابراین:
$B=(2.4\times10^{-3})(10^4)\,\mathrm{G}=24\,\mathrm{G}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

جرم یخ اولیه را $m_{\text{یخ}}$ و جرم آبِ فرایند دوم را $m_{\text{آب}}$ می‌نامیم.

گام اول: یکسان‌سازی یکاها

جرم‌ها را برحسب کیلوگرم در نظر می‌گیریم؛ بنابراین:

$L_F=336\,\mathrm{J/g}=336000\,\mathrm{J/kg}$

$c_{\text{آب}}=4200\,\mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}$

$c_{\text{یخ}}=\frac{4200}{2}=2100\,\mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}$

گام دوم: محاسبهٔ گرمای لازم برای تبدیل یخ به آب

طبق کتاب، گرمای لازم برای تغییر دما از رابطهٔ $Q=mc\Delta T$ به دست می‌آید (فیزیک ۱، صفحهٔ ۹۸–۹۹). همچنین، ذوب در دمای ثابت رخ می‌دهد و گرمای لازم برای آن برابر $Q=mL_F$ است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۱۰۴–۱۰۵).

پس تبدیل یخِ $-10^\circ\mathrm{C}$ به آبِ $15^\circ\mathrm{C}$ را به سه مرحله تقسیم می‌کنیم:

۱. گرم‌شدن یخ تا $0^\circ\mathrm{C}$:

$Q_1=m_{\text{یخ}}c_{\text{یخ}}[0-(-10)]=m_{\text{یخ}}c_{\text{یخ}}(10)$

۲. ذوب کامل یخ در $0^\circ\mathrm{C}$:

$Q_2=m_{\text{یخ}}L_F$

۳. گرم‌شدن آب حاصل از $0^\circ\mathrm{C}$ تا $15^\circ\mathrm{C}$:

$Q_3=m_{\text{یخ}}c_{\text{آب}}(15)$

جرم آب حاصل از ذوب، همان جرم یخ اولیه است. بنابراین گرمای کل برابر است با:

$Q_{\text{اول}}=m_{\text{یخ}}\big[c_{\text{یخ}}(10)+L_F+c_{\text{آب}}(15)\big]$

$Q_{\text{اول}}=m_{\text{یخ}}\big[2100(10)+336000+4200(15)\big]$

$Q_{\text{اول}}=m_{\text{یخ}}\left(420000\,\mathrm{J/kg}\right)$

گام سوم: محاسبهٔ گرمای فرایند دوم

آب در این فرایند تغییر حالت نمی‌دهد و افزایش دمای آن برابر است با:

$\Delta T=60-10=50^\circ\mathrm{C}$

پس:

$Q_{\text{دوم}}=m_{\text{آب}}c_{\text{آب}}\Delta T=m_{\text{آب}}\left(210000\,\mathrm{J/kg}\right)$

گام چهارم: استفاده از برابری دو گرما

طبق صورت سؤال:

$m_{\text{یخ}}\left(420000\,\mathrm{J/kg}\right)=m_{\text{آب}}\left(210000\,\mathrm{J/kg}\right)$

بنابراین:

$\frac{m_{\text{آب}}}{m_{\text{یخ}}}=\frac{420000}{210000}=2$

پس جرم آبِ فرایند دوم، دو برابر جرم یخ اولیه است.

پاسخ: گزینهٔ ۴