سوالات فیزیک کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: در نماد هسته‌ای ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$، عدد بالا یعنی $A$ عدد جرمی و برابر مجموع تعداد پروتون‌ها و نوترون‌هاست. بنابراین برای هستهٔ داده‌شده، $A_{\text{مادر}}=242$ است.

گام دوم: ذرهٔ آلفا، هستهٔ هلیم ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ و شامل دو پروتون و دو نوترون است. با گسیل آن، عدد جرمی هسته چهار واحد و عدد اتمی آن دو واحد کاهش می‌یابد (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۱۶).

گام سوم: با پایستگی مجموع عددهای جرمی در دو طرف واکنش داریم:
$A_{\text{مادر}}=A_{\text{دختر}}+4$
پس:
$A_{\text{دختر}}=242-4=238$

بنابراین عدد جرمی هستهٔ دختر $238$ است؛ کاهش دوواحدی مربوط به عدد اتمی است، نه عدد جرمی.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: رابطهٔ نیرو و میدان را می‌نویسیم.
طبق رابطهٔ نیروی مغناطیسی، $F=|q|vB\sin\theta$ است. اگر حرکت ذره بر میدان عمود باشد، $\sin\theta=1$ و در نتیجه $B=\frac{F}{|q|v}$ می‌شود. بنابراین یکای میدان مغناطیسی، تسلا، برابر است با $\mathrm{T}=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}\cdot(\mathrm{m/s})}$ (فیزیک ۲، صفحهٔ ۷۱).

گام دوم: نیوتون را برحسب یکاهای پایه می‌نویسیم.
از رابطهٔ نیرو و شتاب داریم: $\mathrm{N}=\mathrm{kg\cdot m/s^2}$. پس:
$\mathrm{T}=\frac{\mathrm{kg\cdot m/s^2}}{\mathrm{C}\cdot(\mathrm{m/s})}=\frac{\mathrm{kg\cdot m}}{\mathrm{s^2}}\times\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{C\cdot m}}=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{C\cdot s}}$.

با حذف عامل طول و ساده‌کردن عامل‌های زمان، یکای تسلا به کیلوگرم بر حاصل‌ضرب کولن و ثانیه تبدیل می‌شود که با گزینهٔ چهارم مطابقت دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۴

چون سؤال «مورد نادرست» را می‌خواهد، باید عبارتی را پیدا کنیم که با ویژگی‌های فشار در شارهٔ ساکن سازگار نیست.

۱. اصل تعیین‌کننده: فشار در عمق معین از یک مایع ساکن از رابطهٔ $P=P_0+\rho gh$ به دست می‌آید. در این رابطه، $P_0$ فشار سطح مایع، $\rho$ چگالی مایع و $h$ عمق نقطه است؛ بنابراین جهت‌گیری سطح در مقدار فشار نقشی ندارد (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۴). فعالیت صفحهٔ ۳۹ نیز دقیقاً به بررسی تجربی همین استقلال فشار از جهت‌گیری سطح اختصاص دارد (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۹).

۲. بررسی گزینهٔ ۲: این گزینه فشار را وابسته به جهت‌گیری سطح می‌داند؛ پس نادرست است. نکتهٔ مهم این است که نیروی شاره بر هر سطح، عمود بر همان سطح است؛ بنابراین با چرخاندن سطح، جهت نیرو تغییر می‌کند، نه مقدار فشار در آن نقطه (فیزیک ۱، صفحه‌های ۳۲–۳۳).

۳. بررسی سایر گزینه‌ها: بارومتر وسیلهٔ اندازه‌گیری فشار جو است، پس گزینهٔ ۱ درست است. مانومترِ $U$ شکل نیز برای اندازه‌گیری فشار شارهٔ محصور به کار می‌رود؛ نمونهٔ لولهٔ متصل به مخزن گاز در تمرین‌های کتاب آمده است، پس گزینهٔ ۳ نیز درست است (فیزیک ۱، صفحه‌های ۵۰–۵۱).

۴. در آزمایش توریچلی، با ناچیز گرفتن فشار بخار جیوه در بالای ستون، رابطهٔ تعادل به صورت $P_0=\rho gh$ است؛ بنابراین $h=\frac{P_0}{\rho g}$. در شرایط یکسان، ارتفاع ستون به فشار جو، چگالی جیوه و شتاب گرانش وابسته است، نه سطح مقطع یا طول لوله. البته لوله باید غیرمویین و به‌اندازهٔ کافی بلند باشد تا آرایش معمول آزمایش برقرار شود. پس گزینهٔ ۴ نیز درست است؛ رابطهٔ فشار جو و ارتفاع ستون جیوه در مثال کتاب به کار رفته است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۳۹).

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای محاسبهٔ مسافت، ابتدا باید بررسی کنیم جسم در بازهٔ موردنظر تغییر جهت می‌دهد یا نه؛ زیرا در صورت تغییر جهت، قدرمطلق جابه‌جایی کل با مسافت برابر نیست.

گام اول: تعیین سرعت و لحظهٔ تغییر جهت
طبق معادلهٔ مکان ــ زمان حرکت با شتاب ثابت داریم (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۶ و ۱۷):
$x=\frac{1}{2}at^2+v_0t+x_0$
با مقایسهٔ آن با $x=t^2-12t+20$ نتیجه می‌گیریم:
$a=2\,\mathrm{m/s^2},\qquad v_0=-12\,\mathrm{m/s},\qquad x_0=20\,\mathrm{m}$
بنابراین معادلهٔ سرعت در دستگاه SI برابر است با:
$v=v_0+at=2t-12$
لحظهٔ صفرشدن سرعت:
$2t-12=0\quad\Rightarrow\quad t=6\,\mathrm{s}$
پیش از این لحظه، سرعت منفی و پس از آن مثبت است؛ پس جسم در همین لحظه تغییر جهت می‌دهد. معیار تغییر جهت، تغییر علامت سرعت است، نه صرفاً صفرشدن آن (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹).

گام دوم: محاسبهٔ مکان‌های لازم
با جای‌گذاری زمان‌ها در معادلهٔ حرکت داریم:
$x(0)=20\,\mathrm{m}$
$x(6)=6^2-12\times6+20=-16\,\mathrm{m}$
$x(10)=10^2-12\times10+20=0\,\mathrm{m}$
پس جسم ابتدا از مکان $20\,\mathrm{m}$ به مکان $-16\,\mathrm{m}$ می‌رود و سپس تا مبدأ برمی‌گردد.

گام سوم: جمع طول دو بخش مسیر
همانند روش مثال کتاب، مسافت کل از جمع طول بخش‌های مسیر به دست می‌آید (فیزیک ۳، صفحهٔ ۲۰):
$\ell=|x(6)-x(0)|+|x(10)-x(6)|$
$\ell=|-16-20|+|0-(-16)|=36+16=52\,\mathrm{m}$

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: بازهٔ موردنظر را مشخص می‌کنیم.
فقط $3\,\mathrm{s}$ آخرِ حرکت را بررسی می‌کنیم و جهت حرکت را مثبت می‌گیریم. چون متحرک ترمز می‌کند، شتاب خلاف جهت سرعت است؛ بنابراین:
$a=-3\,\mathrm{m/s^2},\qquad \Delta t=3\,\mathrm{s},\qquad v_2=0$.

گام دوم: سرعت ابتدای این بازه را به دست می‌آوریم.
در حرکت با شتاب ثابت، رابطهٔ سرعت و زمان برای هر بازه برقرار است؛ این رابطه در مبحث معادلهٔ سرعت ــ جابه‌جایی نیز به کار رفته است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۸):
$v_2=v_1+a\Delta t$
$0=v_1+(-3\,\mathrm{m/s^2})(3\,\mathrm{s})\quad\Rightarrow\quad v_1=9\,\mathrm{m/s}$.

گام سوم: جابه‌جایی بازه را محاسبه می‌کنیم.
در حرکت با شتاب ثابت، سرعت متوسط برابر میانگین سرعت ابتدا و انتهای بازه است؛ پس جابه‌جایی از رابطهٔ زیر به دست می‌آید (فیزیک ۳، صفحهٔ ۲۰):
$\Delta x=\frac{v_1+v_2}{2}\Delta t=\frac{9\,\mathrm{m/s}+0}{2}\times3\,\mathrm{s}=13.5\,\mathrm{m}$.

نکته: مسافت کلِ $200\,\mathrm{m}$ برای این محاسبه لازم نیست؛ شتاب، مدت بازهٔ پایانی و سرعت نهایی، جابه‌جایی این بازه را تعیین می‌کنند.

پاسخ: گزینهٔ ۲

بیست ثانیهٔ دوم، بازهٔ $t=20\,\mathrm{s}$ تا $t=40\,\mathrm{s}$ است. برای محاسبهٔ مسافت این بازه، ابتدا باید سرعت ابتدای آن و احتمال تغییر جهت حرکت را مشخص کنیم.

گام اول: سرعت ابتدای بازهٔ مورد سؤال
طبق رابطهٔ سرعت ـ زمان در حرکت با شتاب ثابت، $v=v_0+a\Delta t$ است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۵). بنابراین در پایان بازهٔ نخست داریم:
$v(20)=20+(-2)(20)=-20\,\mathrm{m/s}$.
در بازهٔ دوم نیز شتاب برابر $a=3\,\mathrm{m/s^2}$ است؛ پس سرعت انتهای این بازه برابر است با:
$v(40)=-20+3(40-20)=40\,\mathrm{m/s}$.

گام دوم: یافتن زمان تغییر جهت
سرعت از مقداری منفی به مقداری مثبت می‌رسد؛ بنابراین متحرک در این بازه تغییر جهت می‌دهد. مطابق بررسی نمودار سرعت ـ زمان در مثال کتاب، تغییر علامت سرعت نشان‌دهندهٔ تغییر جهت حرکت است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹).
اگر زمان سپری‌شده از ابتدای بازهٔ دوم تا توقف را $\tau$ بنامیم:
$0=-20+3\tau\quad\Rightarrow\quad\tau=\frac{20}{3}\,\mathrm{s}$.
زمان باقی‌مانده از توقف تا انتهای بازه نیز برابر است با:
$20-\frac{20}{3}=\frac{40}{3}\,\mathrm{s}$.

گام سوم: محاسبهٔ مسافت دو بخش حرکت
در نمودار سرعت ـ زمان، مساحت علامت‌دار بیانگر جابه‌جایی است؛ برای مسافت باید قدرمطلق مساحت بخش‌های زیر و بالای محور زمان را جمع کنیم. این تمایز در مثال کتاب بررسی شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹).
چون شتاب ثابت است، نمودار سرعت ـ زمان خط راست است و در دو سوی لحظهٔ توقف، دو مثلث تشکیل می‌شود:
$d_1=\frac12\times\frac{20}{3}\times20=\frac{200}{3}\,\mathrm{m}$،
$d_2=\frac12\times\frac{40}{3}\times40=\frac{800}{3}\,\mathrm{m}$.
پس مسافت کل در بازهٔ خواسته‌شده برابر است با:
$d=d_1+d_2=\frac{200}{3}+\frac{800}{3}=\frac{1000}{3}\,\mathrm{m}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: جابه‌جایی لازم را مشخص می‌کنیم.
در حرکت روی محور، جابه‌جایی برابر اختلاف مکان نهایی و اولیه است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۵–۶):
$\Delta x=x-x_0=136-10=126\,\mathrm{m}$.
طبق روش بررسی نمودار سرعت ـ زمان، این جابه‌جایی برابر مساحت علامت‌دار زیر نمودار است؛ قسمت زیر محور زمان سهم منفی دارد (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹).

گام دوم: لحظهٔ تغییر جهت را پیدا می‌کنیم.
شیب بخش نزولی نمودار، شتاب ثابت این بخش است:
$a=\frac{(-12-18)\,\mathrm{m/s}}{(21-6)\,\mathrm{s}}=-2\,\mathrm{m/s^2}$.
بنابراین، پس از رسیدن سرعت به $18\,\mathrm{m/s}$، مدت لازم برای صفرشدن آن برابر است با:
$\Delta t=\frac{0-18\,\mathrm{m/s}}{-2\,\mathrm{m/s^2}}=9\,\mathrm{s}$.
پس سرعت در لحظهٔ $t_{\mathrm{برگشت}}=6\,\mathrm{s}+9\,\mathrm{s}=15\,\mathrm{s}$ صفر می‌شود. پیش از این لحظه سرعت مثبت و پس از آن منفی است؛ پس مکان در این لحظه بیشینه است. ارتباط علامت سرعت با جهت حرکت در مثال کتاب نیز بررسی شده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۹).

گام سوم: بیشترین مکان را حساب می‌کنیم.
مساحت بخش مثبت نمودار، مجموع دو مثلث است:
$\Delta x_{\max}=\frac{1}{2}(6\,\mathrm{s})(18\,\mathrm{m/s})+\frac{1}{2}(9\,\mathrm{s})(18\,\mathrm{m/s})=135\,\mathrm{m}$.
پس:
$x_{\max}=10\,\mathrm{m}+135\,\mathrm{m}=145\,\mathrm{m}$.
در بخش ابتدایی حرکت نیز مکان فقط از $10\,\mathrm{m}$ تا $64\,\mathrm{m}$ افزایش می‌یابد؛ بنابراین رسیدن به مکان خواسته‌شده در بخش نزولی نمودار سرعت رخ می‌دهد.

گام چهارم: دو زمان رسیدن به مکان خواسته‌شده را می‌یابیم.
مکان موردنظر به‌اندازهٔ زیر از بیشترین مکان کمتر است:
$x_{\max}-x=145\,\mathrm{m}-136\,\mathrm{m}=9\,\mathrm{m}$.
اگر فاصلهٔ زمانی از لحظهٔ برگشت را $\tau=|t-15\,\mathrm{s}|$ بنامیم، اندازهٔ سرعت در آن لحظه برابر $|a|\tau$ است. در نتیجه، مساحت مثلث بین آن لحظه و لحظهٔ برگشت برابر می‌شود با:
$9\,\mathrm{m}=\frac{1}{2}\tau(|a|\tau)=\frac{1}{2}(2\,\mathrm{m/s^2})\tau^2$.
از این رابطه داریم:
$\tau=3\,\mathrm{s}$.
پس متحرک یک‌بار هنگام رفت و یک‌بار هنگام برگشت از مکان موردنظر می‌گذرد:
$t_1=15\,\mathrm{s}-3\,\mathrm{s}=12\,\mathrm{s}$،
$t_2=15\,\mathrm{s}+3\,\mathrm{s}=18\,\mathrm{s}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای رسیدن به پاسخ، باید مقاومت هوا را در نظر بگیریم و شتاب گرانشی را در این حرکت نزدیک سطح زمین ثابت فرض کنیم. اگر مقاومت هوا نادیده گرفته شود، در تمام مسیر فقط وزن وارد می‌شود و خواهیم داشت $a=a_{اوج}=g$ که در گزینه‌ها نیست. در مثال توپ فوتبال کتاب نیز در بالاترین نقطه، هم وزن و هم مقاومت هوا در محاسبهٔ شتاب منظور شده‌اند (فیزیک ۳، صفحهٔ ۳۲).

گام اول: نیروها را به شتاب مربوط کنیم.
طبق قانون دوم نیوتون، $\vec a=\vec F_{\mathrm{net}}/m$ و وزن توپ نیز برابر $mg$ و رو به پایین است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۳۳–۳۴).

گام دوم: شتاب در نقطهٔ اوج را بیابیم.
در اوج، مؤلفهٔ قائم سرعت صفر است، اما توپ همچنان به راست حرکت می‌کند؛ بنابراین مقاومت هوا به چپ و وزن رو به پایین است. اگر اندازهٔ مقاومت هوا در اوج را $D_{اوج}$ بنامیم، این دو نیرو بر هم عمودند و داریم:
$a_{اوج}=\frac{\sqrt{(mg)^2+D_{اوج}^2}}{m}=\sqrt{g^2+\left(\frac{D_{اوج}}{m}\right)^2}>g$.
پس صفرشدن سرعت قائم به معنای صفرشدن شتاب یا برابرشدن اندازهٔ آن با شتاب گرانشی نیست.

گام سوم: شتاب کمی پیش از اوج را با شتاب اوج مقایسه کنیم.
کمی پیش از اوج، سرعت توپ به راست و بالا است؛ پس مقاومت هوا به چپ و پایین است. در نتیجه، مؤلفهٔ قائم مقاومت هوا با وزن هم‌جهت است. از طرف دیگر، در مرحلهٔ صعود، وزن و مقاومت هوا هر دو باعث کاهش تندی می‌شوند؛ بنابراین تندی کمی پیش از اوج بیشتر از تندی در اوج است و با وابستگی معمول مقاومت هوا به تندی، داریم $D>D_{اوج}$.

اگر اندازهٔ مؤلفه‌های افقی و قائم مقاومت هوا پیش از اوج را به‌ترتیب $D_x$ و $D_y$ بنامیم، هر دو مثبت‌اند و:
$a^2=\left(\frac{D_x}{m}\right)^2+\left(g+\frac{D_y}{m}\right)^2=g^2+\frac{D^2}{m^2}+\frac{2gD_y}{m}$.
این مقدار از $a_{اوج}^2=g^2+D_{اوج}^2/m^2$ بیشتر است؛ پس $a>a_{اوج}$.

در نتیجه ترتیب درست چنین است:
$a>a_{اوج}>g$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ــ تعیین رابطهٔ مناسب: مطابق مثال ماهواره در کتاب، ماهواره را ذره و زمین را کره‌ای در نظر می‌گیریم که جرم آن برای محاسبهٔ نیروی گرانشی در مرکزش متمرکز است. بنابراین نیروی گرانشی از رابطهٔ $F=G\frac{M_em}{r^2}$ به دست می‌آید؛ در این رابطه، $r$ فاصلهٔ ماهواره از مرکز زمین است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۴۸).

گام دوم ــ محاسبهٔ فاصله از مرکز زمین: ارتفاع داده‌شده از سطح زمین اندازه‌گیری شده است؛ پس باید شعاع زمین را به آن اضافه کنیم:
$r=R_e+h=(6400+2600)\,\mathrm{km}=9000\,\mathrm{km}=9\times10^6\,\mathrm{m}$.
تبدیل فاصله به متر ضروری است، چون ثابت گرانش با واحدهای SI داده شده است.

گام سوم ــ جای‌گذاری داده‌ها:
$F=\left(6.67\times10^{-11}\,\frac{\mathrm{N\cdot m^2}}{\mathrm{kg^2}}\right)\frac{(5.98\times10^{24}\,\mathrm{kg})(200\,\mathrm{kg})}{(9\times10^6\,\mathrm{m})^2}$.

با محاسبهٔ صورت و مخرج داریم:
$F=\frac{7.97732\times10^{16}}{8.1\times10^{13}}\,\mathrm{N}\simeq984.85\,\mathrm{N}\simeq985\,\mathrm{N}$.

پس مقدار نیروی گرانشی با عدد گزینهٔ دوم برابر است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول ـ تعیین دامنه و معادلهٔ حرکت:
دامنه، بیشترین فاصلهٔ نوسانگر از نقطهٔ تعادل است. نمودار از بیشترین مکان مثبت آغاز می‌شود؛ بنابراین داریم:
$A=4\,\mathrm{cm}=0.04\,\mathrm{m}$
برای چنین شروعی، معادلهٔ مکان به‌صورت $x=A\cos(\omega t)$ نوشته می‌شود (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۵).

گام دوم ـ تعیین فاز با توجه به جهت حرکت:
در لحظهٔ $t=0.5\,\mathrm{s}$، مکان نوسانگر $x=2\,\mathrm{cm}$ است؛ پس:
$\cos(\omega t)=\frac{x}{A}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
در یک دوره، دو فاز $\pi/3$ و $5\pi/3$ چنین کسینوسی دارند. در فاز نخست نمودار نزولی است، اما نقطهٔ موردنظر روی بخش صعودی و پس از رسیدن به کمترین مکان قرار دارد. بنابراین:
$\omega t=\frac{5\pi}{3}$
در نتیجه:
$\omega=\frac{5\pi/3}{0.5\,\mathrm{s}}=\frac{10\pi}{3}\,\mathrm{rad/s}$
با قرار دادن $\pi=3$ داریم:
$\omega=10\,\mathrm{rad/s}$
رابطهٔ بسامد زاویه‌ای با دوره نیز $\omega=2\pi/T$ است (فیزیک ۳، صفحه‌های ۵۵–۵۶).

گام سوم ـ محاسبهٔ تندی بیشینه:
تندی نوسانگر هنگام عبور از نقطهٔ تعادل بیشینه است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۵۶). با استفاده از رابطهٔ تندی بیشینه داریم:
$v_{\max}=A\omega=(0.04\,\mathrm{m})(10\,\mathrm{rad/s})=0.4\,\mathrm{m/s}$

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: انتخاب رابطهٔ تندی موج
طبق کتاب، تندی انتشار موج عرضی در سیم کشیده از رابطهٔ $v=\sqrt{F/\mu}$ به دست می‌آید که در آن $F$ نیروی کشش و $\mu$ جرم واحد طول سیم است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۶۴–۶۵).

چگالی داده‌شده در سؤال، چگالی حجمی است؛ بنابراین ابتدا باید آن را به چگالی خطی تبدیل کنیم. اگر سطح مقطع سیم $A$ و طول آن $L$ باشد، داریم:
$m=\rho AL\quad\Rightarrow\quad\mu=\frac{m}{L}=\rho A$.

گام دوم: تبدیل واحدها
علامت ممیز در داده‌های سؤال به‌صورت «/» نوشته شده است. پس چگالی و سطح مقطع در یکاهای SI برابرند با:
$\rho=7.8\,\mathrm{g/cm^3}=7.8\times10^3\,\mathrm{kg/m^3}$
$A=0.5\,\mathrm{mm^2}=0.5\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}$.

در نتیجه:
$\mu=\rho A=(7.8\times10^3)(0.5\times10^{-6})=3.9\times10^{-3}\,\mathrm{kg/m}$.

گام سوم: محاسبهٔ تندی انتشار
با قرار دادن $F=156\,\mathrm{N}$ داریم:
$v=\sqrt{\frac{156}{3.9\times10^{-3}}}=\sqrt{40000}=200\,\mathrm{m/s}$.

گام چهارم: محاسبهٔ مسافت
طبق تعریف تندی انتشار موج، $v=d/\Delta t$؛ بنابراین مسافت پیشروی موج از رابطهٔ $d=v\Delta t$ به دست می‌آید (فیزیک ۳، صفحهٔ ۶۳–۶۴). برای مدت $\Delta t=1\,\mathrm{s}$:
$d=(200\,\mathrm{m/s})(1\,\mathrm{s})=200\,\mathrm{m}$.

این مسافت مربوط به پیشروی موج در امتداد سیم است، نه مسیری که هر جزء سیم هنگام نوسان طی می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: رابطهٔ ریدبرگ را می‌نویسیم:
$\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right)$
در هر رشته، $n'$ ثابت است و مقدارهای مجاز $n$ از $n'+1$ آغاز می‌شوند (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۰۱–۱۰۲). پس اولین، دومین و سومین خط به‌ترتیب با $n=n'+1$، $n=n'+2$ و $n=n'+3$ متناظرند؛ «سومین خط» لزوماً به معنی $n=3$ نیست.

گام دوم: با استفاده از طول‌موج و ثابت ریدبرگِ داده‌شده در خود سؤال داریم:
$\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{(n'+3)^2}=\frac{1}{R\lambda}=\frac{1}{(0.01\,\mathrm{nm}^{-1})(1200\,\mathrm{nm})}=\frac{1}{12}$

گام سوم: برای رشتهٔ پاشن، طبق جدول کتاب، $n'=3$ است؛ بنابراین سومین خط آن از تراز $n=6$ به تراز $n'=3$ گسیل می‌شود (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۰۱–۱۰۲). اختلاف موردنظر برابر است با:
$\frac{1}{3^2}-\frac{1}{6^2}=\frac{1}{9}-\frac{1}{36}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$
این مقدار دقیقاً با مقدار به‌دست‌آمده از داده‌های سؤال برابر است. در نتیجه:
$\frac{1}{\lambda}=\frac{0.01}{12}\,\mathrm{nm}^{-1}\quad\Rightarrow\quad\lambda=1200\,\mathrm{nm}$
پس طول‌موج داده‌شده متعلق به سومین خط رشتهٔ پاشن است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. طبق تعریف نیمه‌عمر، با گذشت هر نیمه‌عمر تعداد هسته‌های مادرِ باقی‌مانده نصف می‌شود؛ بنابراین نصف‌شدن در هر مرحله نسبت به مقدار باقی‌مانده از مرحلهٔ قبل است، نه مقدار اولیه (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۲۰).

۲. نیمه‌عمر ایزوتوپ $T_{1/2}=8\,\text{روز}$ و زمان سپری‌شده $t=16\,\text{روز}$ است. پس تعداد نیمه‌عمرهای سپری‌شده برابر است با:
$n=\frac{t}{T_{1/2}}=\frac{16\,\text{روز}}{8\,\text{روز}}=2$

۳. اگر تعداد اولیهٔ هسته‌های مادر را $N_0$ بنامیم، پس از نیمه‌عمر اول $\frac{N_0}{2}$ و پس از نیمه‌عمر دوم $\frac{N_0}{4}$ هستهٔ مادر باقی می‌ماند. همین نتیجه از رابطهٔ کتاب نیز به دست می‌آید (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۲۰–۱۲۱):
$N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^n=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{N_0}{4}$

۴. بنابراین درصد هسته‌های مادر باقی‌مانده نسبت به تعداد اولیه برابر است با:
$\frac{N}{N_0}\times100=\frac{1}{4}\times100=25$
پس $25\%$ از هسته‌های مادر اولیه باقی می‌ماند.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: انتخاب رابطه
میدان الکتریکی میان صفحات خازن تخت، با صرف‌نظر از آثار لبه‌ها، یکنواخت است. اندازهٔ این میدان از رابطهٔ $E=\frac{|\Delta V|}{d}$ به دست می‌آید؛ یعنی اختلاف پتانسیل دو صفحه را بر فاصلهٔ آن‌ها تقسیم می‌کنیم. مسئلهٔ هجده کتاب نیز محاسبهٔ میدان میان دو صفحهٔ موازی با اختلاف پتانسیل معلوم را مطرح می‌کند (فیزیک ۲، صفحات ۳۷–۳۸).

گام دوم: تبدیل واحد فاصله
برای آنکه میدان برحسب $\mathrm{V/m}$ به دست آید، باید فاصله را برحسب متر بنویسیم:
$d=2.0\,\mathrm{mm}=2.0\times10^{-3}\,\mathrm{m}$.

گام سوم: جای‌گذاری و محاسبه
با قرار دادن $|\Delta V|=6.0\,\mathrm{V}$ در رابطه داریم:
$E=\frac{6.0}{2.0\times10^{-3}}=\frac{6.0}{2.0}\times10^{3}=3.0\times10^{3}\,\mathrm{V/m}$.

دقت کنید چون عامل $10^{-3}$ در مخرج است، هنگام ساده‌سازی به عامل $10^{3}$ تبدیل می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۴

مقاومت هر لامپ را $R$ و ولتاژ باتری آرمانی را $V$ می‌نامیم. آمپرسنج در مسیر اصلی مدار قرار دارد، پس جریان کل خروجی باتری را نشان می‌دهد؛ مانند مدار بررسی‌شده در کتاب که جریان آمپرسنج و باتری یکسان است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۶۱).

گام اول ـ کلید باز است: شاخهٔ بالایی قطع است و از دو لامپ آن جریانی نمی‌گذرد. تنها لامپ شاخهٔ میانی به باتری وصل است؛ بنابراین با استفاده از قانون اهم داریم:
$I_1=\frac{V}{R}$.

گام دوم ـ کلید بسته است: دو لامپ شاخهٔ بالایی متوالی‌اند، پس مقاومت معادل این شاخه برابر است با:
$R_{\text{بالا}}=R+R=2R$.
در اتصال متوالی، مقاومت معادل از جمع مقاومت‌ها به دست می‌آید (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۶).

شاخهٔ بالایی با شاخهٔ میانی موازی است؛ بنابراین اختلاف پتانسیل هر دو شاخه همان ولتاژ باتری است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۵۷). در نتیجه:
$I_{\text{میانی}}=\frac{V}{R}$،
$I_{\text{بالا}}=\frac{V}{2R}$.

گام سوم ـ جریان آمپرسنج را محاسبه می‌کنیم: جریان مسیر اصلی برابر مجموع جریان دو شاخه است؛ پس:
$I_2=\frac{V}{R}+\frac{V}{2R}=\frac{3V}{2R}$.
بنابراین نسبت خواسته‌شده برابر است با:
$\frac{I_2}{I_1}=\frac{\frac{3V}{2R}}{\frac{V}{R}}=\frac{3}{2}=1.5$.

نکتهٔ نگارشی: در گزینه‌های این سؤال، $1/5$ به شیوهٔ نگارش اعشاری به معنی $1.5$ آمده است، نه کسرِ $\frac{1}{5}$. بنابراین نتیجه با گزینهٔ اول مطابقت دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. محاسبهٔ مساحت و شار حلقه
چون خطوط میدان بر صفحهٔ حلقه عمودند، زاویهٔ میدان با خط عمود بر سطح صفر است؛ بنابراین طبق رابطهٔ شار داریم $\Phi=BA\cos0^\circ=BA$ (فیزیک ۲، صفحهٔ ۸۷–۸۸).
ضلع حلقه و مساحت آن در یکاهای استاندارد عبارت‌اند از:
$a=2\,\mathrm{cm}=2\times10^{-2}\,\mathrm{m}$
$A=a^2=(2\times10^{-2})^2=4\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}$

۲. تعیین تغییر میدان در بازهٔ خواسته‌شده
از نمودار، میدان در ابتدا و انتهای بازه برابر است با:
$B_i=B(2\,\mathrm{s})=0.16\,\mathrm{T}$
$B_f=B(10\,\mathrm{s})=0$
پس:
$\Delta B=B_f-B_i=-0.16\,\mathrm{T}$
$\Delta t=10-2=8\,\mathrm{s}$

۳. استفاده از قانون فاراده و قانون اهم
برای یک حلقه، قانون فاراده به صورت $\mathcal{E}_{\mathrm{av}}=-\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ است. کاربرد این قانون در نمودار شار و محاسبهٔ جریان با استفاده از مقاومت حلقه در کتاب مطرح شده است (فیزیک ۲، صفحهٔ ۹۰). چون مساحت و جهت حلقه ثابت‌اند، $\Delta\Phi=A\Delta B$؛ بنابراین:
$|I_{\mathrm{av}}|=\dfrac{|\mathcal{E}_{\mathrm{av}}|}{R}=\dfrac{A|\Delta B|}{R\Delta t}$
با جای‌گذاری داریم:
$|I_{\mathrm{av}}|=\dfrac{(4\times10^{-4})(0.16)}{(0.1)(8)}=8\times10^{-5}\,\mathrm{A}=0.08\,\mathrm{mA}$

نکته: جریان در بخش افزایش میدان و بخش کاهش آن جهت‌های مخالف دارد و در بخش ثابت‌بودن میدان صفر است. پس برای متوسط جریان، تغییرات باید با علامت در نظر گرفته شوند؛ عدد به‌دست‌آمده اندازهٔ جریان متوسط است، نه متوسطِ اندازهٔ جریان.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول ـ خواندن جرم و انتخاب رابطه:
در نگارش صورت سؤال، علامت «/» نشانهٔ اعشار است؛ بنابراین جرم مخروط $m=5.4\,\mathrm{kg}$ است، نه کسر $\frac{5}{4}\,\mathrm{kg}$. طبق تعریف چگالی، جرم جسم را بر حجم آن تقسیم می‌کنیم: $\rho=\frac{m}{V}$. یکای چگالی در SI نیز $\mathrm{kg/m^3}$ است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۱۶–۱۷).

گام دوم ـ تبدیل یکاهای طول:
برای محاسبهٔ حجم برحسب متر مکعب، داریم:
$r=10\,\mathrm{cm}=0.10\,\mathrm{m}$
$h=20\,\mathrm{cm}=0.20\,\mathrm{m}$

گام سوم ـ محاسبهٔ حجم مخروط:
چون مخروط توپُر است، حجم ماده برابر حجم مخروط است. پس با استفاده از رابطهٔ حجم مخروط و مقدار داده‌شدهٔ $\pi=3$:
$V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\times3\times(0.10)^2\times0.20=2\times10^{-3}\,\mathrm{m^3}$.

گام چهارم ـ محاسبهٔ چگالی:
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{5.4}{2\times10^{-3}}=2.7\times10^3\,\mathrm{kg/m^3}=2700\,\mathrm{kg/m^3}$.

دقت کنید که مقدار $2.7\,\mathrm{g/cm^3}$ همین چگالی را در یکای دیگری بیان می‌کند؛ طبق تبدیل یکای کتاب، $1\,\mathrm{g/cm^3}=1000\,\mathrm{kg/m^3}$، اما سؤال پاسخ را در SI می‌خواهد (فیزیک ۱، صفحهٔ ۱۶–۱۷).

پاسخ: گزینهٔ ۱

ابتدا باید میان «کار نیروی وزن» و «کار کل نیروها» تفاوت بگذاریم. سؤال فقط کار وزن را می‌خواهد؛ بنابراین نیروی اصطکاک، با وجود اثرگذاری بر حرکت جسم، در محاسبهٔ این کار وارد نمی‌شود.

طبق کتاب، کار نیروی وزن برابر منفی تغییر انرژی پتانسیل گرانشی است و فقط به اختلاف ارتفاع ابتدا و انتهای مسیر بستگی دارد، نه به طول یا شکل مسیر (فیزیک ۱، صفحهٔ ۶۵):
$W_{\text{وزن}}=-\Delta U=mg(h_{\text{آغاز}}-h_{\text{پایان}})$.

در شکل، ارتفاع قائم سطح برابر $10\,\mathrm{m}$ است. چون جسم به پایین می‌لغزد، داریم:
$h_{\text{آغاز}}-h_{\text{پایان}}=10\,\mathrm{m}$.

اکنون داده‌ها را جای‌گذاری می‌کنیم:
$W_{\text{وزن}}=(2\,\mathrm{kg})(10\,\mathrm{N/kg})(10\,\mathrm{m})=200\,\mathrm{J}$.

علامت کار مثبت است، زیرا با پایین‌آمدن جسم، انرژی پتانسیل گرانشی کاهش می‌یابد. زاویهٔ سطح و مقدار اصطکاک برای محاسبهٔ کار وزن با داشتن اختلاف ارتفاع لازم نیستند.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. تعیین تندی در مرز بازه‌ها
طبق رابطهٔ سرعت ــ زمان در حرکت با شتاب ثابت، $v=v_0+at$ است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۵). خودرو از سکون شروع می‌کند؛ بنابراین با $v_0=0$ و $a=3\,\mathrm{m/s^2}$ داریم:
$v(0)=0,\qquad v(1\,\mathrm{s})=3\,\mathrm{m/s},\qquad v(2\,\mathrm{s})=6\,\mathrm{m/s}$.

۲. محاسبهٔ تغییر انرژی جنبشی در هر ثانیه
رابطهٔ انرژی جنبشی، از مبحث کار و انرژی در فیزیک ۱، برابر $K=\frac{1}{2}mv^2$ است. پس تغییر انرژی جنبشی در هر بازه از رابطهٔ $\Delta K=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)$ به دست می‌آید.
ثانیهٔ اول بازهٔ $0$ تا $1\,\mathrm{s}$ است؛ بنابراین:
$\Delta K_1=\frac{1}{2}m\left[(3\,\mathrm{m/s})^2-0\right]$.
ثانیهٔ دوم بازهٔ $1\,\mathrm{s}$ تا $2\,\mathrm{s}$ است؛ بنابراین:
$\Delta K_2=\frac{1}{2}m\left[(6\,\mathrm{m/s})^2-(3\,\mathrm{m/s})^2\right]$.

۳. تشکیل نسبت
با تقسیم دو تغییر انرژی، جرم و ضریب مشترک حذف می‌شوند:
$\frac{\Delta K_2}{\Delta K_1}=\frac{6^2-3^2}{3^2-0}=\frac{36-9}{9}=3$.
پس تغییر انرژی جنبشی در ثانیهٔ دوم، سه برابر تغییر آن در ثانیهٔ اول است. دقت کنید که انرژی جنبشیِ پایان ثانیهٔ دوم با تغییر انرژی جنبشی در ثانیهٔ دوم تفاوت دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گرما انرژیِ منتقل‌شده به جسم است، نه انرژیِ موجود در آن (فیزیک ۱، صفحات ۹۶–۹۷). برای افزایش دمای جسم بدون تغییر حالت، از رابطهٔ $Q=mc\Delta T$ استفاده می‌کنیم.

گام اول: نسبت جرم‌ها را پیدا می‌کنیم. چون هر دو کره آلومینیمی‌اند، گرمای ویژهٔ آن‌ها یکسان است؛ بنابراین:
$\frac{Q_B}{Q_A}=\frac{m_Bc\Delta T_B}{m_Ac\Delta T_A}$
پس:
$\frac{m_B}{m_A}=\frac{Q_B}{Q_A}\frac{\Delta T_A}{\Delta T_B}$
با توجه به داده‌های سؤال، $Q_A=5\,\mathrm{kJ}$، $Q_B=20\,\mathrm{kJ}$ و $\Delta T_A=2\Delta T_B$ است. در نتیجه:
$\frac{m_B}{m_A}=\frac{20}{5}\times 2=8$

گام دوم: نسبت جرم‌ها را به نسبت شعاع‌ها تبدیل می‌کنیم. دو کره توپر و هم‌جنس‌اند؛ پس با درنظرگرفتن چگالی یکسان و رابطهٔ حجم کره داریم:
$m=\rho V=\rho\frac{4}{3}\pi r^3$
بنابراین:
$\frac{m_B}{m_A}=\left(\frac{r_B}{r_A}\right)^3=8$
و در نهایت:
$\frac{r_B}{r_A}=\sqrt[3]{8}=2$

پس شعاع کرهٔ $B$ دو برابر شعاع کرهٔ $A$ است. نکتهٔ اصلی این است که نسبت جرم‌ها با مکعب نسبت شعاع‌ها برابر است، نه با خود نسبت شعاع‌ها یا مربع آن.

پاسخ: گزینهٔ ۴