سوال ۲۰۹ فیزیک کنکور تجربی ۱۳۹۹ با پاسخ تشریحی

برای یافتن لحظه‌های عبور از مبدأ باید شرط $x=0$ را بررسی کنیم. در هر بازه، شتاب ثابت است؛ بنابراین از رابطه‌های $v=v_i+a\Delta t$ و $x=x_i+v_i\Delta t+\tfrac{1}{2}a(\Delta t)^2$ استفاده می‌کنیم. کاربرد مرحله‌ای رابطهٔ مکان در حرکت با شتاب ثابت در کتاب نیز آمده است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۲۰).

گام اول: بررسی بازهٔ نخست
در بازهٔ $0\leq t\leq10\,\mathrm{s}$، مکان اولیه صفر، سرعت اولیه $10\,\mathrm{m/s}$ و شتاب $-2\,\mathrm{m/s^2}$ است. پس:
$x=(10\,\mathrm{m/s})t+\tfrac{1}{2}(-2\,\mathrm{m/s^2})t^2$.
با قرار دادن $x=0$ داریم:
$t[(10\,\mathrm{m/s})-(1\,\mathrm{m/s^2})t]=0$.
ریشه‌ها $t=0$ و $t=10\,\mathrm{s}$ هستند. طبق صورت سؤال، لحظهٔ آغاز حرکت نخستین عبور محسوب می‌شود؛ بنابراین در $t=10\,\mathrm{s}$ متحرک برای دومین بار از مبدأ می‌گذرد.

گام دوم: تعیین شرایط آغاز بازهٔ دوم
سرعت در لحظهٔ تغییر شتاب برابر است با:
$v(10\,\mathrm{s})=10\,\mathrm{m/s}+(-2\,\mathrm{m/s^2})(10\,\mathrm{s})=-10\,\mathrm{m/s}$.
پس بازهٔ دوم با مکان صفر، سرعت $-10\,\mathrm{m/s}$ و شتاب $+3\,\mathrm{m/s^2}$ آغاز می‌شود. توجه کنید که تغییر شتاب، سرعت را ناگهان تغییر نمی‌دهد.

گام سوم: یافتن بازگشت بعدی به مبدأ
زمان سپری‌شده از آغاز بازهٔ دوم را $\tau=t-10\,\mathrm{s}$ تعریف می‌کنیم. در این صورت:
$x=(-10\,\mathrm{m/s})\tau+\tfrac{1}{2}(3\,\mathrm{m/s^2})\tau^2$.
برای عبور از مبدأ:
$0=\tau[-10\,\mathrm{m/s}+(\tfrac{3}{2}\,\mathrm{m/s^2})\tau]$.
ریشهٔ $\tau=0$ همان عبور دوم است. ریشهٔ دیگر برابر است با:
$\tau=\dfrac{10\,\mathrm{m/s}}{\tfrac{3}{2}\,\mathrm{m/s^2}}=\dfrac{20}{3}\,\mathrm{s}$.
بنابراین زمان سومین عبور، از مبدأ زمان سؤال، برابر است با:
$t=10\,\mathrm{s}+\dfrac{20}{3}\,\mathrm{s}=\dfrac{50}{3}\,\mathrm{s}$.
این زمان در بازهٔ دوم نمودار قرار دارد و معتبر است.

پاسخ: گزینهٔ ۴