سوال ۵۲ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

نکتهٔ اصلی، تفاوت «مسافت» و «بزرگی جابه‌جایی» است. چون زمانِ محاسبهٔ دو کمیت یکسان است، داریم:
$\displaystyle \frac{\text{تندی متوسط}}{|\text{سرعت متوسط}|}=\frac{s/\Delta t}{|\Delta x|/\Delta t}=\frac{s}{|\Delta x|}$
بنابراین کافی است مسافت طی‌شده و بزرگی جابه‌جایی را پیدا کنیم.

گام اول: تعیین دوره و مکان اولیه
با مقایسهٔ معادلهٔ سؤال با $x=A\cos\omega t$ و استفاده از رابطهٔ $\omega=\frac{2\pi}{T}$ داریم (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۳):
$\displaystyle \omega=\frac{16\pi}{3}\,\mathrm{rad/s}\quad\Rightarrow\quad T=\frac{2\pi}{16\pi/3}=\frac{3}{8}\,\mathrm{s}$
پس بازهٔ موردنظر برابر است با:
$\displaystyle \Delta t=\frac{1}{2}\,\mathrm{s}=\frac{4T}{3}=T+\frac{T}{3}$
همچنین در آغاز حرکت:
$\displaystyle x_i=A\cos 0=A$

گام دوم: محاسبهٔ مکان نهایی و جابه‌جایی
در انتهای بازه داریم:
$\displaystyle x_f=A\cos\left(\frac{16\pi}{3}\times\frac{1}{2}\right)=A\cos\frac{8\pi}{3}=-\frac{A}{2}$
بنابراین:
$\displaystyle |\Delta x|=|x_f-x_i|=\left|-\frac{A}{2}-A\right|=\frac{3A}{2}$

گام سوم: محاسبهٔ مسافت کل
نوسانگر بین دو نقطهٔ بازگشت $x=+A$ و $x=-A$ حرکت می‌کند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۳). در یک دورهٔ کامل، از $+A$ به $-A$ می‌رود و به $+A$ بازمی‌گردد؛ پس مسافت این بخش $4A$ است.

در زمان باقی‌مانده، یعنی $\frac{T}{3}$، ابتدا طی $\frac{T}{2}$ به نقطهٔ بازگشت نمی‌رسد؛ بنابراین باید دقت کنیم که تقسیم‌بندی مناسب کل بازه چیست: پس از یک دوره، حرکت از $+A$ آغاز می‌شود و چون $\frac{T}{3}<\frac{T}{2}$ است، بدون رسیدن به $-A$ تا $-\frac{A}{2}$ پیش می‌رود. در نتیجه مسافت این بخش برابر است با:
$\displaystyle s_2=\left| -\frac{A}{2}-A\right|=\frac{3A}{2}$
پس مسافت کل:
$\displaystyle s=4A+\frac{3A}{2}=\frac{11A}{2}$

گام چهارم: محاسبهٔ نسبت
$\displaystyle \frac{\text{تندی متوسط}}{|\text{سرعت متوسط}|}=\frac{11A/2}{3A/2}=\frac{11}{3}$

پاسخ: گزینهٔ ۱