نمونه سوال فصل ۶ ریاضی نهم با جواب

با مرتب کردن معادله داریم $y=7-2x$. به ازای هر مقدار حقیقی برای $x$، مقداری برای $y$ به دست می‌آید؛ بنابراین معادله بی‌شمار پاسخ دارد. بااین‌حال، هر زوج دلخواه پاسخ نیست؛ برای نمونه، با جای‌گذاری $(0,0)$ تساوی برقرار نمی‌شود. پس این تساوی اتحاد نیست. این تفاوت در بحث پاسخ‌های معادلهٔ خطی مطرح شده است (صفحهٔ ۹۷–۹۸). پاسخ: گزینهٔ ۱

معادله را به صورت $3y=-6x+12$ و سپس $y=-2x+4$ می‌نویسیم. بنابراین شیب برابر $-2$ و عرض از مبدأ برابر $4$ است. تفاضل خواسته‌شده برابر است با $4-(-2)=6$. روش تبدیل معادله به صورت شیب و عرض از مبدأ در صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷ و تعریف این دو در صفحهٔ ۱۰۲–۱۰۳ آمده است. پاسخ: گزینهٔ ۲

شیب خط برابر است با $a=\frac{-1-5}{4-(-2)}=\frac{-6}{6}=-1$ (صفحهٔ ۱۰۷). پس معادلهٔ خط به صورت $y=-x+b$ است. با جای‌گذاری نقطهٔ $(-2,5)$ داریم $5=2+b$، بنابراین $b=3$ و معادلهٔ خط $y=-x+3$ است. روی محور طول‌ها $y=0$ است؛ پس $0=-x+3$ و $x=3$ به دست می‌آید (صفحهٔ ۹۸–۱۰۰). پاسخ: گزینهٔ ۳

از $(m-1)x+2y=6$ داریم $y=-\frac{m-1}{2}x+3$. شیب این خط $-\frac{m-1}{2}$ و عرض از مبدأ آن $3$ است. چون خط با $y=-2x+7$ موازی است، باید $-\frac{m-1}{2}=-2$ باشد؛ پس $m-1=4$ و $m=5$. در نتیجه مجموع خواسته‌شده $5+3=8$ است. برابری شیب خط‌های موازی در صفحهٔ ۱۰۲–۱۰۳ و روش مرتب کردن معادله در صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷ مطرح شده است. پاسخ: گزینهٔ ۴

در محل برخورد دو خط، $x=-3$ است؛ بنابراین از معادلهٔ خط دوم داریم $y=2(-3)+5=-1$. پس نقطهٔ مشترک $(-3,-1)$ است. خط موازی محور طول‌ها عرض ثابت دارد و چون از این نقطه می‌گذرد، معادله‌اش $y=-1$ است. مفهوم خط عمودی در صفحهٔ ۱۰۴–۱۰۵، خط افقی در صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷ و پاسخ مشترک دو خط در صفحهٔ ۱۰۸–۱۰۹ مطرح شده است. پاسخ: گزینهٔ ۱

اگر زمان استفاده را با $x$ و هزینه را برحسب تومان بنویسیم، هزینه‌های دو طرح به‌ترتیب $y_1=12000+4000x$ و $y_2=7000x$ هستند. برای برابری هزینه‌ها داریم $12000+4000x=7000x$؛ بنابراین $3000x=12000$ و $x=4$. در این زمان دو هزینه برابرند. پس از آن، طرح اول به علت هزینهٔ ساعتی کمتر، ارزان‌تر می‌شود؛ در نتیجه کمترین تعداد ساعت صحیح $5$ است. این روش مدل‌سازی و تفسیر محل برخورد دو خط بر فعالیت صفحهٔ ۱۰۸–۱۰۹ تکیه دارد. پاسخ: گزینهٔ ۲

برای داشتن بی‌شمار پاسخ مشترک، دو معادله باید یک خط را نمایش دهند. ضریب $x$ در معادلهٔ دوم سه برابر معادلهٔ اول است؛ پس با ضرب همهٔ جمله‌های معادلهٔ اول در $3$ به $9x-6y=15$ می‌رسیم. بنابراین $k=-6$ و $c=15$ است و $k+c=-6+15=9$ می‌شود. هم‌ارز ماندن معادله در اثر ضرب همهٔ جمله‌ها در یک عدد ناصفر و ارتباط آن با بی‌شمار پاسخ مشترک در صفحهٔ ۱۰۸–۱۰۹ بررسی شده است. پاسخ: گزینهٔ ۳

ابتدا محل برخورد دو خط را می‌یابیم. با جمع معادله‌های $x+y=5$ و $2x-y=4$ داریم $3x=9$، پس $x=3$ و سپس $y=2$؛ بنابراین نقطهٔ مشترک $(3,2)$ است (صفحهٔ ۱۰۸–۱۰۹). شیب خط گذرنده از $(-1,4)$ و $(3,-4)$ برابر $a=\frac{-4-4}{3-(-1)}=-2$ است (صفحهٔ ۱۰۷). خط مطلوب نیز به دلیل موازی بودن همین شیب را دارد (صفحهٔ ۱۰۲–۱۰۳)، پس $y=-2x+b$. با جای‌گذاری $(3,2)$ داریم $2=-6+b$ و در نتیجه $b=8$. برای برخورد با محور طول‌ها، $y=0$ قرار می‌دهیم: $0=-2x+8$، پس $x=4$. پاسخ: گزینهٔ ۴

در معادلهٔ $y=ax+b$، ضریب $a$ شیب و عدد $b$ عرض از مبدأ است (صفحهٔ ۱۰۳). با فرض $a<0$ و $b>0$، اگر $x<0$ باشد، داریم $ax>0$ و در نتیجه $y=ax+b>0$. بنابراین نقطه‌ای با طول و عرض هر دو منفی نمی‌تواند روی چنین خطی باشد. برای اطمینان از امکان سه حالت دیگر، نقطهٔ $(-2,1)$ روی خط $y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$ و دو نقطهٔ $(2,-1)$ و $(2,1)$ به‌ترتیب روی خط‌های $y=-x+1$ و $y=-x+3$ قرار دارند؛ هر سه خط نیز شرایط مسئله را دارند. پاسخ: گزینهٔ ۱

طبق روش حذفی، می‌توان دو طرف هر معادله را در یک عدد یکسان ضرب کرد و سپس تساوی‌های حاصل را جمع کرد (صفحهٔ ۱۱۰). معادلهٔ اول را در $3$ و معادلهٔ دوم را در $2$ ضرب می‌کنیم: $9x+6y=57$ و $4x-6y=8$. با جمع آن‌ها داریم $13x=65$، پس $x=5$. با جای‌گذاری در معادلهٔ اول، $15+2y=19$ و در نتیجه $y=2$ به دست می‌آید. بنابراین $x-y=5-2=3$. پاسخ: گزینهٔ ۲

شیب مسیر از نسبت افزایش ارتفاع به جابه‌جایی افقی به دست می‌آید (صفحه‌های ۱۰۳ و ۱۰۴). افزایش ارتفاع مشترک را $h$ و طول افقی مسیر دوم را $L$ می‌گیریم. طول افقی مسیر اول $\frac{3}{2}L$ است؛ بنابراین $m_1=\frac{h}{(3/2)L}=\frac{2h}{3L}$ و $m_2=\frac{h}{L}$، پس $m_2=\frac{3}{2}m_1$. چون مسیر دوم طول افقی کمتری دارد، شیب آن بیشتر است. در نتیجه $m_2-m_1=\frac{1}{6}$ و بنابراین $\frac{1}{2}m_1=\frac{1}{6}$. از این رابطه $m_1=\frac{1}{3}$ به دست می‌آید. پاسخ: گزینهٔ ۳

اگر طول ضلع مربع بزرگ‌تر $x$ و طول ضلع مربع کوچک‌تر $y$ باشد، محیط‌های آن‌ها به‌ترتیب $4x$ و $4y$ و مساحت‌هایشان $x^2$ و $y^2$ است (صفحهٔ ۹۷). از داده‌ها داریم $4x+4y=92$ و $4x-4y=20$. با تقسیم هر دو معادله بر $4$، دستگاه $\begin{cases}x+y=23\\x-y=5\end{cases}$ به دست می‌آید. مطابق روش حذفی، با جمع دو معادله داریم $2x=28$، پس $x=14$ و سپس $y=9$ (صفحهٔ ۱۱۰). اختلاف مساحت‌ها برابر است با $14^2-9^2=196-81=115\ \text{سانتی‌متر مربع}$. پاسخ: گزینهٔ ۴