نمونه سوال ریاضی نهم با جواب

برای مشخص‌شدن یک مجموعه، عضویت هر شیء باید بدون ابهام تعیین شود. شمارنده‌های اوّل عدد $42$ دقیقاً $2$، $3$ و $7$ هستند؛ بنابراین این عبارت یک مجموعهٔ معین را مشخص می‌کند. در عبارت‌های دیگر، انتخاب اعضا یا نقطهٔ شروع تعیین نشده است، یا معیار «بزرگ» مبهم است. (صفحهٔ ۲ و ۳) پاسخ: گزینهٔ ۲

در نمایش مجموعه، تکرار اعضا اثری ندارد؛ پس $A=\{0,\varnothing\}$ است. عدد صفر و مجموعهٔ تهی دو شیء متمایزند و هر دو به‌عنوان عضو در این مجموعه آمده‌اند. در نتیجه $n(A)=2$. (صفحهٔ ۲، ۳–۴ و ۱۳) پاسخ: گزینهٔ ۴

برای تشخیص نمایش اعشاری مختوم، مخرج کسر را پس از ساده‌سازی بررسی می‌کنیم. داریم $\frac{14}{175}=\frac{2}{25}$ و $25=5^2$؛ پس نمایش اعشاری این کسر مختوم است. سه کسر دیگر ساده‌اند و مخرج‌هایشان به‌ترتیب شامل عامل‌های اوّلِ $3$، $11$ و $3,7$ است؛ بنابراین نمایش اعشاری آن‌ها مختوم نیست. (صفحهٔ ۲۲) پاسخ: گزینهٔ ۱

میانگین دو عدد اولیه برابر است با $m=\frac{-\frac45-\frac15}{2}=-\frac12$. عدد کوچک‌ترِ اولیه $-\frac45$ است. پس میانگین موردنظر برابر می‌شود با $\frac{-\frac45-\frac12}{2}=\frac{-\frac8{10}-\frac5{10}}{2}=-\frac{13}{20}$. این همان روش میانگین‌گیری برای یافتن کسر میان دو کسر است. (صفحه‌های ۲۰ و ۲۱) پاسخ: گزینهٔ ۲

شکل، مشاهده و مثال می‌توانند به پیدا کردن حدس یا مسیر حل کمک کنند؛ ولی برای اثبات باید با استفاده از فرض‌ها و واقعیت‌های از پیش معلوم، حکم را به‌طور منطقی نتیجه گرفت. بنابراین نه دقت اندازه‌گیری، نه وضوح شکل و نه فراوانی مثال‌ها، به‌تنهایی جای اثبات را نمی‌گیرند. (صفحهٔ ۳۳ و صفحات ۳۷–۳۸) پاسخ: گزینهٔ ۲

چون $AB=AC$ و $AD$ نیمساز است و ضلع $AD$ نیز مشترک است، دو مثلث $ABD$ و $ACD$ به حالت ضلع ـ زاویه ـ ضلع هم‌نهشت‌اند؛ پس $BD=DC$. بنابراین $3x-2=x+6$ و در نتیجه $x=4$. اکنون $\angle BAD=3(4)+8=20^\circ$ است؛ پس $\angle BAC=40^\circ$. از همان هم‌نهشتی، دو زاویهٔ قاعده برابرند. با استفاده از مجموع زاویه‌های مثلث داریم $\angle ABC=(180^\circ-40^\circ)/2=70^\circ$. (صفحات ۳۹–۴۱) پاسخ: گزینهٔ ۴

طبق تعریف توان منفی، $(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}$ و چون پایهٔ جملهٔ دوم غیرصفر است، $(-3)^0=1$ (صفحهٔ ۶۰). منفیِ بیرون پرانتز پس از محاسبهٔ توان اعمال می‌شود (صفحه‌های ۶۱ و ۶۲). بنابراین $-(-3)^{-2}+(-3)^0=-\frac{1}{9}+1=\frac{8}{9}$. پاسخ: گزینهٔ 2

برای $a,b\ne0$، با استفاده از قوانین توان داریم $(a^{-2}b)^{-3}=a^6b^{-3}$ (صفحه‌های ۶۲ تا ۶۴). پس صورت کسر برابر $a^6b^{-3}\times a^{-1}b^2=a^5b^{-1}$ است. اکنون با کم کردن توان‌های مخرج از توان‌های صورت، $\frac{a^5b^{-1}}{a^3b^{-2}}=a^{5-3}b^{-1-(-2)}=a^2b$ به دست می‌آید. پاسخ: گزینهٔ 1

در تک‌جمله‌ای، توان متغیرها باید صحیح و نامنفی باشد و برای تشابه، قسمت حرفی دو عبارت باید یکسان باشد. در زوج دوم، قسمت حرفی هر دو عبارت $x^3y^2$ است و تفاوت ضریب‌ها اثری بر تشابه ندارد. در زوج اول توان‌های متناظر یکسان نیستند؛ در زوج سوم عبارت نخست متغیر در مخرج دارد و در زوج چهارم عبارت نخست شامل توان غیرصحیح متغیر است. (صفحهٔ ۷۹ و ۸۰) پاسخ: گزینهٔ 2

ابتدا عبارت را ساده می‌کنیم: $P=2x^3y^2-xy^5+4x^2y^3-2x^3y^2+xy^5=4x^2y^3$. بنابراین درجهٔ آن نسبت به $x$ برابر $2$، نسبت به $y$ برابر $3$ و نسبت به $x$ و $y$ برابر $2+3=5$ است. توجه به حذف جمله‌های متشابه پیش از تعیین درجه ضروری است. (صفحهٔ ۸۰ و ۸۱) پاسخ: گزینهٔ 4

با مرتب کردن معادله داریم $y=7-2x$. به ازای هر مقدار حقیقی برای $x$، مقداری برای $y$ به دست می‌آید؛ بنابراین معادله بی‌شمار پاسخ دارد. بااین‌حال، هر زوج دلخواه پاسخ نیست؛ برای نمونه، با جای‌گذاری $(0,0)$ تساوی برقرار نمی‌شود. پس این تساوی اتحاد نیست. این تفاوت در بحث پاسخ‌های معادلهٔ خطی مطرح شده است (صفحهٔ ۹۷–۹۸). پاسخ: گزینهٔ ۱

معادله را به صورت $3y=-6x+12$ و سپس $y=-2x+4$ می‌نویسیم. بنابراین شیب برابر $-2$ و عرض از مبدأ برابر $4$ است. تفاضل خواسته‌شده برابر است با $4-(-2)=6$. روش تبدیل معادله به صورت شیب و عرض از مبدأ در صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷ و تعریف این دو در صفحهٔ ۱۰۲–۱۰۳ آمده است. پاسخ: گزینهٔ ۲

عبارت گویا باید به شکل نسبت دو چندجمله‌ای باشد. در عبارت $\dfrac{\sqrt{5}x+2}{x^2+1}$، عدد ثابت $\sqrt{5}$ ضریب متغیر است؛ بنابراین صورت و مخرج هر دو چندجمله‌ای‌اند. در سایر گزینه‌ها، رادیکالِ متغیر یا قدرمطلقِ متغیر مانع چندجمله‌ای بودن صورت یا مخرج شده است. (صفحهٔ ۱۱۴ و ۱۱۵) پاسخ: گزینهٔ 2

با تجزیه داریم: $\dfrac{x^2-2x-8}{x^2-16}=\dfrac{(x-4)(x+2)}{(x-4)(x+4)}$. مخرج عبارت اولیه در $x=4$ و $x=-4$ صفر است؛ پس هر دو مقدار ممنوع‌اند. صورت در $x=4$ و $x=-2$ صفر می‌شود، اما فقط $x=-2$ مجاز است. بنابراین عبارت فقط در $x=-2$ مقدار صفر دارد. حذف عامل مشترک، محدودیت عبارت اولیه را از بین نمی‌برد. (صفحهٔ ۱۱۵ تا ۱۱۷) پاسخ: گزینهٔ 4

در هرم، به ازای هر ضلع قاعده یک وجه جانبی مثلثی وجود دارد. قاعدهٔ شش‌ضلعی، شش وجه جانبی ایجاد می‌کند. با افزودن یک وجه قاعده، تعداد کل وجه‌ها هفت می‌شود و فقط شش وجه جانبی مثلثی‌اند. (صفحهٔ ۱۳۵) پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر شعاع دو کره را $R_1$ و $R_2$ بنامیم، از رابطهٔ مساحت داریم: $\frac{S_2}{S_1}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2=9$. بنابراین $\frac{R_2}{R_1}=3$. با استفاده از رابطهٔ حجم کره، $\frac{V_2}{V_1}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3=3^3=27$ به دست می‌آید. (صفحه‌های ۱۳۲ و ۱۳۳) پاسخ: گزینهٔ ۴