نمونه سوال فصل ۳ ریاضی نهم با جواب

شکل، مشاهده و مثال می‌توانند به پیدا کردن حدس یا مسیر حل کمک کنند؛ ولی برای اثبات باید با استفاده از فرض‌ها و واقعیت‌های از پیش معلوم، حکم را به‌طور منطقی نتیجه گرفت. بنابراین نه دقت اندازه‌گیری، نه وضوح شکل و نه فراوانی مثال‌ها، به‌تنهایی جای اثبات را نمی‌گیرند. (صفحهٔ ۳۳ و صفحات ۳۷–۳۸) پاسخ: گزینهٔ ۲

چون $AB=AC$ و $AD$ نیمساز است و ضلع $AD$ نیز مشترک است، دو مثلث $ABD$ و $ACD$ به حالت ضلع ـ زاویه ـ ضلع هم‌نهشت‌اند؛ پس $BD=DC$. بنابراین $3x-2=x+6$ و در نتیجه $x=4$. اکنون $\angle BAD=3(4)+8=20^\circ$ است؛ پس $\angle BAC=40^\circ$. از همان هم‌نهشتی، دو زاویهٔ قاعده برابرند. با استفاده از مجموع زاویه‌های مثلث داریم $\angle ABC=(180^\circ-40^\circ)/2=70^\circ$. (صفحات ۳۹–۴۱) پاسخ: گزینهٔ ۴

از $AB=AD$، مشترک بودن $AC$ و $\angle BAC=\angle CAD$، نتیجه می‌شود $\triangle ABC\cong\triangle ADC$ به حالت ضلع ـ زاویه ـ ضلع. بنابراین $\angle BCA=\angle ACD$ و داریم $2x+5=3x-10$؛ پس $x=15$ و $\angle BCA=35^\circ$. چون $AC$ نیمساز زاویهٔ $BAD$ است، $\angle BAC=25^\circ$. در مثلث $ABC$ داریم $\angle ABC=180^\circ-35^\circ-25^\circ=120^\circ$. توجه کنید برابری دو زاویه در رأس $C$ نتیجهٔ هم‌نهشتی است، نه نتیجهٔ مستقیم نیمساز بودن $AC$. (صفحات ۳۹–۴۱) پاسخ: گزینهٔ ۱

هدف، اثبات برابری ضلع‌های مقابل از روی تعریف متوازی‌الاضلاع است؛ بنابراین نمی‌توان همین برابری‌ها را از ابتدا دانسته فرض کرد. از $AB\parallel CD$ و مورب $BD$ داریم $\angle ABD=\angle CDB$. همچنین از $AD\parallel BC$ داریم $\angle ADB=\angle CBD$. با توجه به $BD=DB$، دو مثلث $ABD$ و $CDB$ به حالت زاویه ـ ضلع ـ زاویه هم‌نهشت‌اند. اکنون می‌توان برابری ضلع‌های متناظر را نتیجه گرفت. (صفحات ۴۷–۴۸) پاسخ: گزینهٔ ۳

زاویه‌های متقابل به رأس برابرند؛ بنابراین $3x+10=5x-30$ و از آن $x=20$ به دست می‌آید. اندازهٔ هر زاویهٔ داده‌شده برابر $3(20)+10=70^\circ$ است. زاویهٔ مجاور با آن روی یک خط راست قرار دارد؛ پس اندازه‌اش $180^\circ-70^\circ=110^\circ$ خواهد بود. (صفحات ۴۱–۴۲) پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق تعریف، در چندضلعی محدب باید پاره‌خط میان هر دو نقطهٔ داخلی به‌طور کامل داخل چندضلعی باشد. یافتن حتی یک جفت نقطه که این شرط را نقض کند، نشان می‌دهد چندضلعی محدب نیست و در نتیجه مقعر است. در مقابل، یافتن یک یا چند جفت نقطه که شرط را تأیید کنند، برای اثبات برقرار بودن آن در همهٔ جفت‌ها کافی نیست. (صفحات ۴۲–۴۳) پاسخ: گزینهٔ ۱

قطر $AC$ زاویهٔ قائمهٔ رأس $C$ در مربع را نصف می‌کند؛ بنابراین $\angle ACB=90^\circ/2=45^\circ$. چون $B$، $C$ و $E$ روی یک خط‌اند و $C$ میان دو نقطهٔ دیگر قرار دارد، زاویه‌های $ACB$ و $ACE$ مجموعاً یک زاویهٔ نیم‌صفحه می‌سازند. پس $\angle ACE=180^\circ-45^\circ=135^\circ$. (صفحات ۳۹–۴۰ و ۴۱–۴۲) پاسخ: گزینهٔ ۴

اگر زاویهٔ خارجی رأس $A$ را $e$ بنامیم، داریم $e+\angle A=180^\circ$. همچنین $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$؛ با حذف مقدار مشترک، $e=\angle B+\angle C$ به دست می‌آید. پس $5x+10=(2x+5)+(x+25)$ و در نتیجه $2x=20$ و $x=10$. بنابراین $e=60^\circ$ و زاویهٔ داخلی رأس $A$ برابر $180^\circ-60^\circ=120^\circ$ است. این استدلال برای مثلث داده‌شده، بدون فرض متساوی‌الاضلاع بودن، معتبر است. (صفحات ۴۰–۴۳) پاسخ: گزینهٔ ۳

در تعریف تشابه چندضلعی‌ها، دو شرط هم‌زمان لازم است: زاویه‌های متناظر برابر باشند و نسبت طول تمام ضلع‌های متناظر یکسان باشد. اگر طول هر ضلع در عدد مثبت ثابت $k$ ضرب شود، نسبت هر ضلع جدید به ضلع متناظر اولیه برابر $k$ خواهد بود. با ثابت ماندن زاویه‌های متناظر، هر دو شرط برقرار می‌شود. برابری زاویه‌ها به‌تنهایی یا تناسب ضلع‌ها به‌تنهایی کافی نیست. همچنین افزودن مقدار ثابت $a$ به دو طول نابرابر $u$ و $v$، نسبت‌های $\frac{u+a}{u}$ و $\frac{v+a}{v}$ را برابر نمی‌کند. (صفحه‌های ۵۳–۵۵)
پاسخ: گزینهٔ ۲

مثلث‌های $AMH$ و $BMK$ در رأس‌های $H$ و $K$ قائم‌اند. چون $M$ وسط $AB$ است، داریم $AM=BM$. همچنین $\angle AMH=\angle BMK$، زیرا این دو زاویه متقابل به رأس‌اند. پس دو مثلث به حالت «وتر و یک زاویهٔ حاده» هم‌نهشت‌اند و در نتیجه $AH=BK$. این همان روش اثبات برابری فاصله‌ها در مسئلهٔ خط گذرنده از وسط پاره‌خط است. (صفحه‌های ۴۹–۵۰)
بنابراین $3x-1=x+5$ و از آن $2x=6$، پس $x=3$ به دست می‌آید. طول هر مسیر برابر $3(3)-1=8$ کیلومتر است؛ در نتیجه مجموع طول دو مسیر برابر $8+8=16$ کیلومتر خواهد بود.
پاسخ: گزینهٔ ۳

از مجموع زاویه‌های داخلی مثلث داریم $\angle C=180^\circ-40^\circ-65^\circ=75^\circ$ و به همین ترتیب $\angle E=75^\circ$. بنابراین تناظر رأس‌ها عبارت است از $A\leftrightarrow D$، $B\leftrightarrow F$ و $C\leftrightarrow E$. استفاده از برابری دو زاویه برای نتیجه‌گیری دربارهٔ زاویه‌های سوم، بر مجموع زاویه‌های مثلث تکیه دارد. (صفحهٔ ۳۸)
اکنون $\angle A=\angle D$، $AC=DE$ و $\angle C=\angle E$؛ یعنی ضلع برابر در هر مثلث بین دو زاویهٔ برابر قرار دارد. پس با حالت «ز ض ز»، نتیجه می‌شود $\triangle ABC\cong\triangle DFE$. برای استفادهٔ مستقیم از حالت‌های «ض ض ض» یا «ض ز ض»، تعداد کافی ضلع برابر در اختیار نداریم. (صفحهٔ ۴۴ و صفحه‌های ۴۷–۴۸)
پاسخ: گزینهٔ ۱

در هر مرحلهٔ تغییر اندازه، همهٔ طول‌ها در ضریب همان مرحله ضرب می‌شوند. بنابراین ضریب نسخهٔ نهایی نسبت به نقشهٔ اصلی برابر است با $\frac{75}{100}\times\frac{80}{100}=\frac{3}{5}$. این محاسبه بر مفهوم تغییر متناسب طول‌ها و نسبت تشابه تکیه دارد. (صفحه‌های ۵۳–۵۸)
اگر فاصلهٔ دو نقطه در نقشهٔ اصلی را $L$ سانتی‌متر بگیریم، داریم $\frac{3}{5}L=4$، پس $L=\frac{20}{3}$ سانتی‌متر. با مقیاس نقشهٔ اصلی، فاصلهٔ واقعی برابر است با $\frac{20}{3}\times20000=\frac{400000}{3}$ سانتی‌متر. چون هر کیلومتر برابر $100000$ سانتی‌متر است، فاصلهٔ واقعی $\frac{400000}{3}\div100000=\frac{4}{3}$ کیلومتر خواهد بود. (صفحه‌های ۵۳–۵۵ و ۵۶–۵۸)
پاسخ: گزینهٔ ۴