نمونه سوال فصل ۲ ریاضی نهم با جواب

برای تشخیص نمایش اعشاری مختوم، مخرج کسر را پس از ساده‌سازی بررسی می‌کنیم. داریم $\frac{14}{175}=\frac{2}{25}$ و $25=5^2$؛ پس نمایش اعشاری این کسر مختوم است. سه کسر دیگر ساده‌اند و مخرج‌هایشان به‌ترتیب شامل عامل‌های اوّلِ $3$، $11$ و $3,7$ است؛ بنابراین نمایش اعشاری آن‌ها مختوم نیست. (صفحهٔ ۲۲) پاسخ: گزینهٔ ۱

میانگین دو عدد اولیه برابر است با $m=\frac{-\frac45-\frac15}{2}=-\frac12$. عدد کوچک‌ترِ اولیه $-\frac45$ است. پس میانگین موردنظر برابر می‌شود با $\frac{-\frac45-\frac12}{2}=\frac{-\frac8{10}-\frac5{10}}{2}=-\frac{13}{20}$. این همان روش میانگین‌گیری برای یافتن کسر میان دو کسر است. (صفحه‌های ۲۰ و ۲۱) پاسخ: گزینهٔ ۲

از $4<6<9$ نتیجه می‌شود $2<\sqrt6<3$. بنابراین $2-\sqrt6<0$ و $\sqrt6-3<0$. با استفاده از تعریف قدر مطلقِ عدد منفی، داریم $|2-\sqrt6|+|\sqrt6-3|=(\sqrt6-2)+(3-\sqrt6)=1$. (صفحه‌های ۲۴ و ۲۸) پاسخ: گزینهٔ ۴

عدد نوشته‌شده روی نمایشگر، اعشاری مختوم است و می‌توان آن را به صورت $1.4142136=\frac{14142136}{10000000}$ نوشت؛ بنابراین گویاست. این عدد فقط تقریبی از $\sqrt2$ است. مقدار دقیق $\sqrt2$ اعشاری نامتناهی و نامتناوب دارد و گنگ است. (صفحه‌های ۲۲ و ۲۳) پاسخ: گزینهٔ ۱

از $16<20<25$ داریم $4<\sqrt{20}<5$ و در نتیجه $-5<-\sqrt{20}<-4$. همچنین $9<13<16$ نشان می‌دهد $3<\sqrt{13}<4$. پس عددهای صحیحِ مجموعه عبارت‌اند از $\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ و تعداد آن‌ها $8$ است. تفاوت علامت‌های دو کران، چون خود کران‌ها صحیح نیستند، عضو صحیح دیگری را اضافه یا حذف نمی‌کند. (صفحه‌های ۲۴، ۲۶ و ۲۷) پاسخ: گزینهٔ ۲

داریم $60=2^2\times3\times5$. برای آنکه نمایش اعشاریِ $\frac{k}{60}$ مختوم باشد، پس از ساده‌سازی نباید عامل $3$ در مخرج باقی بماند. بنابراین $k$ باید مضرب $3$ باشد. در بازهٔ $1\le k\le12$، مقدارهای مناسب $3,6,9,12$ هستند. کسرهای حاصل به‌ترتیب به $\frac1{20}$، $\frac1{10}$، $\frac3{20}$ و $\frac15$ ساده می‌شوند؛ پس تعداد مقدارهای مجاز $4$ است. (صفحهٔ ۲۲) پاسخ: گزینهٔ ۳

چون کران‌ها مثبت‌اند، از $\frac72<\sqrt n<\frac92$ نتیجه می‌شود $\frac{49}{4}<n<\frac{81}{4}$؛ بنابراین $n$ یکی از عددهای صحیحِ $13$ تا $20$ است. از طرف دیگر، تساوی $|\sqrt n-4|=4-\sqrt n$ هنگامی برقرار است که $\sqrt n-4\le0$، یعنی $n\le16$. پس فقط $13,14,15,16$ باقی می‌مانند. برای گنگ بودن $\sqrt n$، عدد طبیعیِ $n$ نباید مربع کامل باشد؛ بنابراین $16$ حذف می‌شود و سه مقدار مجاز باقی می‌ماند. (صفحه‌های ۲۳، ۲۴ و ۲۸) پاسخ: گزینهٔ ۴

باید هر دو عددِ گزینهٔ موردنظر گویا باشند، ولی هیچ‌یک صحیح نباشد. داریم $\sqrt{0.81}=0.9=\frac{9}{10}$؛ بنابراین این عدد گویا و غیرصحیح است. عدد $-\frac{7}{4}$ نیز گویا و غیرصحیح است. در سایر گزینه‌ها، $\sqrt{81}=9$ و $-\frac{8}{4}=-2$ صحیح‌اند و $\sqrt{8}$ به دلیل مربع کامل نبودن عدد زیر رادیکال، گنگ است. پس فقط یک زوج هر دو شرط را دارد. (صفحه‌های ۲۳ و ۲۴) پاسخ: گزینهٔ ۲

با هم‌مخرج کردن کران‌ها داریم $-\frac{2}{3}=-\frac{8}{12}$ و $-\frac{1}{4}=-\frac{3}{12}$. پس شرط سؤال به صورت $-\frac{8}{12}<\frac{k}{12}<-\frac{3}{12}$ و در نتیجه $-8<k<-3$ درمی‌آید. عددهای صحیح مجاز عبارت‌اند از $-7,-6,-5,-4$؛ بنابراین چهار مقدار وجود دارد. این روش بر مقایسهٔ کسرهای هم‌مخرج و تعیین اعضای صحیح یک بازه تکیه دارد. (صفحه‌های ۱۹ تا ۲۱) پاسخ: گزینهٔ ۴

از $a<0$ نتیجه می‌شود $|a|=-a$ و از $b>0$ داریم $|b|=b$. همچنین، چون $a+b<0$ است، باید $|a+b|=-(a+b)$ بنویسیم. بنابراین $|a+b|-|a|-|b|=-(a+b)-(-a)-b=-a-b+a-b=-2b$. نکتهٔ اصلی این است که علامت مجموع را از فرض سوم تعیین کنیم، نه از علامت یکی از دو عدد. (صفحه‌های ۲۸ و ۲۹) پاسخ: گزینهٔ ۳

ابتدا از $4<6<\frac{25}{4}$ نتیجه می‌گیریم $2<\sqrt{6}<\frac{5}{2}$. بنابراین $\sqrt{6}-3<0$ و $\sqrt{6}-2>0$. با استفاده از رابطهٔ $\sqrt{x^2}=|x|$ داریم $T=|\sqrt{6}-3|-|\sqrt{6}-2|=(3-\sqrt{6})-(\sqrt{6}-2)=5-2\sqrt{6}$. همچنین از $2<\sqrt{6}<\frac{5}{2}$ به دست می‌آید $4<2\sqrt{6}<5$؛ پس $0<T<1$. برای تعیین نوع عدد، اگر $T$ گویا باشد، رابطهٔ $\sqrt{6}=\frac{5-T}{2}$ نشان می‌دهد که $\sqrt{6}$ نیز گویاست؛ در حالی که چون $6$ مربع کامل نیست، $\sqrt{6}$ گنگ است. پس $T$ گنگ و در بازهٔ موردنظر است. (صفحه‌های ۲۳ تا ۲۵، ۳۰ و ۳۱) پاسخ: گزینهٔ ۱

مجموعهٔ $A$ همهٔ عددهای حقیقیِ بازهٔ $-2<x\le3$ و مجموعهٔ $B$ فقط عددهای گویای همین بازه را شامل می‌شود. بنابراین $A-B$ از عددهای گنگِ این بازه تشکیل شده است. چون $4<8<9$، داریم $2<\sqrt8<3$؛ همچنین $8$ مربع کامل نیست، پس $\sqrt8$ گنگ است. عدد $2.75$ و عدد $\sqrt9=3$ گویا هستند و $-\sqrt4=-2$ نیز در $A$ نیست. (صفحه‌های ۲۴، ۲۵ و ۲۷) پاسخ: گزینهٔ ۳