نمونه سوال فصل ۱ ریاضی نهم با جواب

برای مشخص‌شدن یک مجموعه، عضویت هر شیء باید بدون ابهام تعیین شود. شمارنده‌های اوّل عدد $42$ دقیقاً $2$، $3$ و $7$ هستند؛ بنابراین این عبارت یک مجموعهٔ معین را مشخص می‌کند. در عبارت‌های دیگر، انتخاب اعضا یا نقطهٔ شروع تعیین نشده است، یا معیار «بزرگ» مبهم است. (صفحهٔ ۲ و ۳) پاسخ: گزینهٔ ۲

در نمایش مجموعه، تکرار اعضا اثری ندارد؛ پس $A=\{0,\varnothing\}$ است. عدد صفر و مجموعهٔ تهی دو شیء متمایزند و هر دو به‌عنوان عضو در این مجموعه آمده‌اند. در نتیجه $n(A)=2$. (صفحهٔ ۲، ۳–۴ و ۱۳) پاسخ: گزینهٔ ۴

چون $8$ عضو مجموعهٔ نخست است، باید عضو مجموعهٔ دوم نیز باشد. از آنجا که $8\ne4$ و $8\ne6$، داریم $y=8$. اکنون مجموعهٔ دوم برابر $\{4,6,8\}$ است. مجموعهٔ نخست نیز باید سه عضو متمایز داشته باشد؛ پس $x$ و $x+2$ باید دو عدد $4$ و $6$ باشند. بنابراین $x=4$ و در نتیجه $x+y=4+8=12$. (صفحهٔ ۶–۷) پاسخ: گزینهٔ ۱

با جای‌گذاری $k=1,2,3,4,5$ داریم $A=\{2,5,8,11,14\}$. همچنین $B=\{4,5,6,7,8,9,10,11\}$؛ بنابراین $A\cap B=\{5,8,11\}$. از میان این اعضا، $5$ و $11$ اوّل‌اند و عضو $P$ هستند؛ ولی $8$ اوّل نیست. پس $(A\cap B)-P=\{8\}$. (صفحهٔ ۲، ۸–۹، ۱۱ و ۱۳) پاسخ: گزینهٔ ۳

از $C\subseteq A$ نتیجه می‌شود هر عضو $C$ در $A$ نیز هست. همچنین همهٔ اعضای $A$ در $B$ قرار دارند؛ پس هر عضو $A\cup C$ در $B$ است و $(A\cup C)\subseteq B$. لزوماً $B\subseteq A$ نیست و ممکن است $B-A$ عضو داشته باشد. افزون بر این، چون $t\in C$ و $C\subseteq A$، داریم $t\in A$، نه $t\notin A$. (صفحهٔ ۷–۸ و ۱۱–۱۳) پاسخ: گزینهٔ ۲

اعضای مشترک دو مجموعه $3$ و $9$ هستند و اعضای مخصوص $A$ برابر $1$ و $7$ است. از اعضای اجتماع فقط $5$ و $11$ باقی می‌مانند. این دو عضو نه مشترک‌اند و نه مخصوص $A$؛ بنابراین فقط در $B$ قرار دارند. با افزودن اعضای مشترک، $B=\{3,5,9,11\}$ به دست می‌آید. (صفحهٔ ۱۱–۱۳) پاسخ: گزینهٔ ۴

داریم $A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$ و چون $B$ شامل اعضای زوج $A$ است، $B=\{-2,0,2,4\}$. پس $A-B=\{-3,-1,1,3\}$. با توجه به شروع اعداد طبیعی از $1$، مجموعهٔ سوم برابر $C=\{1,3,5\}$ است؛ بنابراین $C-A=\{5\}$ و $(A-B)\cup(C-A)=\{-3,-1,1,3,5\}$ که پنج عضو دارد. از سوی دیگر، همهٔ اعضای $B$ زوج و همهٔ اعضای $C$ فردند؛ پس $B\cap C=\varnothing$ و تعداد اعضای آن صفر است. مقدار عبارت برابر $5+0=5$ می‌شود. (صفحهٔ ۸–۹ و ۱۱–۱۳) پاسخ: گزینهٔ ۳

عددهای طبیعی از $1$ آغاز می‌شوند؛ بنابراین $0\notin\mathbb{N}$ (صفحهٔ ۸). عددهای حسابی منفی نیستند، پس $-2\notin W$. همچنین $\frac{3}{2}$ عدد صحیح نیست. از سوی دیگر، $-4=\frac{-4}{1}$ و صورت و مخرج این کسر صحیح‌اند و مخرج آن ناصفر است؛ بنابراین $-4\in Q$ (صفحهٔ ۱۰). پاسخ: گزینهٔ ۲

چون $W=\{0,1,2,\ldots\}$ است، با جای‌گذاری مقدارهای مجاز در عبارت داده‌شده داریم $A=\{1,5,9,13,\ldots\}$ (صفحه‌های ۹ و ۱۰). برای استفاده از متغیر طبیعی، می‌توان $k=n-1$ قرار داد؛ زیرا با آغاز $n$ از $1$، مقدار $k$ از $0$ آغاز می‌شود. در این صورت $4k+1=4(n-1)+1=4n-3$ است. بنابراین $A=\{4n-3\mid n\in\mathbb{N}\}$. این دو نمایش دقیقاً عضوهای یکسانی دارند و در نتیجه برابرند (صفحهٔ ۶). پاسخ: گزینهٔ ۳

اگر $x\in A-B$ باشد، آنگاه $x\in A$ و $x\notin B$ است؛ پس چنین عضوی نمی‌تواند در اشتراک با $B$ قرار گیرد و همواره $(A-B)\cap B=\emptyset$ است. سه عبارت دیگر الزاماً تهی نیستند. برای نمونه، اگر $A=\{1\}$ و $B=\{2\}$ باشد، عبارت‌های گزینه‌های دوم، سوم و چهارم به‌ترتیب برابر $\{1,2\}$، $\{1\}$ و $\{1\}$ می‌شوند. این نتیجه از مفهوم اجتماع، اشتراک و تفاضل به دست می‌آید (صفحهٔ ۱۴). پاسخ: گزینهٔ ۱

دو پرتاب تاس سالم دارای $36$ حالت هم‌شانس است (صفحهٔ ۱۷). اگر دقیقاً یکی از دو عدد زوج باشد، عدد دیگر فرد است و مجموع آن‌ها فرد می‌شود. بنابراین مجموعِ بزرگ‌تر از $8$ فقط می‌تواند $9$ یا $11$ باشد. حالت‌های مطلوب عبارت‌اند از $\{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(5,6),(6,5)\}$. پس تعداد حالت‌های مطلوب $6$ است. با استفاده از نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به همهٔ حالت‌ها داریم $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ (صفحهٔ ۱۵). پاسخ: گزینهٔ ۴

با توجه به دامنهٔ متغیرها، داریم $A=\{0,3,6,9,12\}$، $B=\{1,3,5,7,9,11\}$ و $C=\{-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}$ (صفحه‌های ۸ تا ۱۰). اشتراک هر سه مجموعه برابر $\{3\}$ است. عددهای عضو دقیقاً دو مجموعه را از سه بخش جداگانه به دست می‌آوریم: $(A\cap B)-C=\{9\}$، $(A\cap C)-B=\{0,6\}$ و $(B\cap C)-A=\{1,5,7\}$ (صفحهٔ ۱۴). پس مجموعهٔ شماره‌های مطلوب $\{0,1,5,6,7,9\}$ و دارای $6$ عضو است. کارت‌ها با شماره‌های $0$ تا $12$، در مجموع $13$ حالت هم‌شانس ایجاد می‌کنند؛ بنابراین $P=\frac{6}{13}$ (صفحهٔ ۱۵). پاسخ: گزینهٔ ۲