نمونه سوال فصل ۴ ریاضی نهم با جواب

طبق تعریف توان منفی، $(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}$ و چون پایهٔ جملهٔ دوم غیرصفر است، $(-3)^0=1$ (صفحهٔ ۶۰). منفیِ بیرون پرانتز پس از محاسبهٔ توان اعمال می‌شود (صفحه‌های ۶۱ و ۶۲). بنابراین $-(-3)^{-2}+(-3)^0=-\frac{1}{9}+1=\frac{8}{9}$. پاسخ: گزینهٔ 2

برای $a,b\ne0$، با استفاده از قوانین توان داریم $(a^{-2}b)^{-3}=a^6b^{-3}$ (صفحه‌های ۶۲ تا ۶۴). پس صورت کسر برابر $a^6b^{-3}\times a^{-1}b^2=a^5b^{-1}$ است. اکنون با کم کردن توان‌های مخرج از توان‌های صورت، $\frac{a^5b^{-1}}{a^3b^{-2}}=a^{5-3}b^{-1-(-2)}=a^2b$ به دست می‌آید. پاسخ: گزینهٔ 1

ضخامت یک برگه برابر $1.6\times10^{-3}\,\mathrm{cm}$ است (صفحهٔ ۶۶). بنابراین تعداد برگه‌ها از تقسیم ضخامت دسته بر ضخامت هر برگه به دست می‌آید: $\frac{4}{1.6\times10^{-3}}=\frac{4}{1.6}\times10^3=2.5\times10^3$. در محاسبه از قانون تقسیم توان‌ها استفاده شده است (صفحهٔ ۶۳). چون $1\le2.5<10$، جواب به صورت نماد علمی است (صفحهٔ ۶۶). پاسخ: گزینهٔ 3

طبق رابطهٔ $\sqrt{u^2}=|u|$ باید علامت عبارت زیر مربع را بررسی کرد (صفحهٔ ۶۹). چون $x+y<0$، داریم $\sqrt{(x+y)^2}=-x-y$. همچنین از $x<0$ و $y>0$ نتیجه می‌شود $\sqrt{x^2}=-x$ و $\sqrt{y^2}=y$. پس عبارت برابر است با $(-x-y)+(-x)-y=-2x-2y$. پاسخ: گزینهٔ 4

با قوانین ضرب و تقسیم ریشه‌های سوم داریم $\frac{\sqrt[3]{-48}\times\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{4}}=\sqrt[3]{\frac{-48\times18}{4}}=\sqrt[3]{-216}=-6$ (صفحه‌های ۷۰ و ۷۱). سپس با تعریف توان منفی، $(-6)^{-2}=\frac{1}{(-6)^2}=\frac{1}{36}$ (صفحهٔ ۶۰). پاسخ: گزینهٔ 1

با قوانین توان‌ها، $\frac{(6\times10^{-4})(5\times10^7)}{1.5\times10^2}=\frac{30}{1.5}\times10^{-4+7-2}=20\times10^1$ (صفحه‌های ۶۲ و ۶۳). این نمایش هنوز نماد علمی نیست، زیرا ضریب آن کمتر از ده نیست. با تبدیل آن به $2\times10^2$، شرط نماد علمی برقرار می‌شود (صفحهٔ ۶۶). بنابراین $a=2$ و $n=2$ و در نتیجه $a+n=4$. پاسخ: گزینهٔ 3

از $x^2=2^{-4}=\frac{1}{16}$ و شرط $x<0$ نتیجه می‌شود $x=-\frac{1}{4}$؛ بنابراین $x^{-1}=-4$ (صفحه‌های ۶۰ و ۶۸). طبق رابطهٔ ریشهٔ دوم مربع با قدرمطلق، $\sqrt{(x^{-1}+1)^2}=\sqrt{(-3)^2}=3$. همچنین $\sqrt[3]{x^{-3}}=\sqrt[3]{(-4)^3}=-4$، زیرا ریشهٔ سوم علامت عدد را حفظ می‌کند (صفحهٔ ۶۹). پس صورت برابر $3-4=-1$ است. مخرج نیز $(x^{-1}+2)^{-1}=(-2)^{-1}=-\frac{1}{2}$ می‌شود (صفحهٔ ۶۰). در نتیجه مقدار عبارت $\frac{-1}{-\frac{1}{2}}=2$ است. پاسخ: گزینهٔ 2

طبق تعریف نماد علمی، در نمایش $a\times10^n$ باید $1\leq a<10$ باشد و توان نیز عددی صحیح باشد (صفحهٔ ۶۶). هر چهار عبارت، مقدار $804000$ را نشان می‌دهند، اما فقط ضریب $8.04$ در بازهٔ مجاز قرار دارد. بنابراین نماد علمی عدد داده‌شده $8.04\times10^5$ است. پاسخ: گزینهٔ 2

با استفاده از تعریف توان منفی و تبدیل پایه‌ها داریم $\left(\frac14\right)^n=2^{-2n}$ و $8^{-3}=2^{-9}$ (صفحه‌های ۶۰ و ۶۴). چون پایهٔ $2$ از یک بزرگ‌تر است، نامساوی $2^{-2n}>2^{-9}$ معادل $-2n>-9$ است. با تقسیم بر $-2$، جهت نامساوی تغییر می‌کند و به $n<\frac92$ می‌رسیم. بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر از $\frac92$، عدد $4$ است. پاسخ: گزینهٔ 4

ابتدا رادیکال‌های دارای ریشهٔ دوم را ساده می‌کنیم: $\sqrt{12}=2\sqrt3$ و $\sqrt{27}=3\sqrt3$ (صفحهٔ ۷۲). با گویا کردن مخرج داریم $\frac9{\sqrt{12}}=\frac9{2\sqrt3}=\frac{9\sqrt3}{6}=\frac{3\sqrt3}{2}$ (صفحهٔ ۷۵). بنابراین دو جملهٔ اول تفاضلی برابر صفر دارند (صفحهٔ ۷۳). همچنین $\frac{\sqrt[3]{-54}}{\sqrt[3]2}=\sqrt[3]{-27}=-3$؛ ریشهٔ سوم عدد منفی نیز منفی است (صفحه‌های ۶۹ و ۷۲). پس حاصل کل عبارت $-3$ است. پاسخ: گزینهٔ 1

قطر مربع اول برابر $\sqrt{32}+\sqrt{18}=4\sqrt2+3\sqrt2=7\sqrt2$ است (صفحه‌های ۷۲ و ۷۳). از رابطهٔ فیثاغورس، مساحت مربع نصف مربع طول قطر است؛ پس مساحت مربع اول برابر $\frac{(7\sqrt2)^2}{2}=49\,\mathrm{cm}^2$ می‌شود (صفحهٔ ۷۳). ضلع مربع دوم را می‌توان به صورت $\frac{14}{\sqrt8}=\frac7{\sqrt2}=\frac{7\sqrt2}{2}$ نوشت (صفحهٔ ۷۵). بنابراین مساحت آن $\left(\frac{7\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{49}{2}\,\mathrm{cm}^2$ است. تفاضل خواسته‌شده برابر $49-\frac{49}{2}=\frac{49}{2}$ سانتی‌متر مربع است. پاسخ: گزینهٔ 3