نمونه سوال فصل ۵ ریاضی نهم با جواب

در تک‌جمله‌ای، توان متغیرها باید صحیح و نامنفی باشد و برای تشابه، قسمت حرفی دو عبارت باید یکسان باشد. در زوج دوم، قسمت حرفی هر دو عبارت $x^3y^2$ است و تفاوت ضریب‌ها اثری بر تشابه ندارد. در زوج اول توان‌های متناظر یکسان نیستند؛ در زوج سوم عبارت نخست متغیر در مخرج دارد و در زوج چهارم عبارت نخست شامل توان غیرصحیح متغیر است. (صفحهٔ ۷۹ و ۸۰) پاسخ: گزینهٔ 2

ابتدا عبارت را ساده می‌کنیم: $P=2x^3y^2-xy^5+4x^2y^3-2x^3y^2+xy^5=4x^2y^3$. بنابراین درجهٔ آن نسبت به $x$ برابر $2$، نسبت به $y$ برابر $3$ و نسبت به $x$ و $y$ برابر $2+3=5$ است. توجه به حذف جمله‌های متشابه پیش از تعیین درجه ضروری است. (صفحهٔ ۸۰ و ۸۱) پاسخ: گزینهٔ 4

با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای داریم: $(x+a)^2-(x-2)^2=x^2+2ax+a^2-(x^2-4x+4)=(2a+4)x+a^2-4$. برای آنکه برابری برای هر $x$ برقرار باشد، باید $2a+4=10$ و $a^2-4=5$ باشد. از رابطهٔ نخست $a=3$ به دست می‌آید و این مقدار رابطهٔ دوم را نیز برقرار می‌کند، زیرا $9-4=5$. (صفحهٔ ۸۱ تا ۸۳) پاسخ: گزینهٔ 1

ابتدا داریم $(-2x^2y)^3=-8x^6y^3$ و $(3xy^2)^2=9x^2y^4$. پس حاصل‌ضرب آن‌ها برابر $-72x^8y^7$ است. اکنون دو جمله متشابه‌اند و می‌توان ضرایب را جمع کرد: $-72x^8y^7+5x^8y^7=(-72+5)x^8y^7=-67x^8y^7$. (صفحهٔ ۷۹ و ۸۰) پاسخ: گزینهٔ 3

با خارج‌کردن عامل مشترک، عبارت به صورت $3x[(x-2)^2-4]$ درمی‌آید. عبارت داخل کروشه تفاضل دو مربع است؛ بنابراین $(x-2)^2-2^2=[(x-2)-2][(x-2)+2]=(x-4)x$. در نتیجه تجزیهٔ موردنظر $3x\cdot(x-4)\cdot x=3x^2(x-4)$ است. (صفحهٔ ۸۴، ۸۶ و ۸۷) پاسخ: گزینهٔ 2

با بازکردن پرانتزها داریم $-6x+3+4\leq2x+10$، یعنی $-6x+7\leq2x+10$. با کم‌کردن $2x$ و سپس $7$ از دو طرف، به $-8x\leq3$ می‌رسیم. تقسیم بر $-8$ جهت نابرابری را تغییر می‌دهد؛ پس $x\geq-\frac{3}{8}$. (صفحهٔ ۹۰ تا ۹۲) پاسخ: گزینهٔ 4

طبق اتحاد جملهٔ مشترک، $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$. چون برابری داده‌شده یک اتحاد است، با مقایسهٔ ضرایب داریم $a+b=-3$ و $ab=-10$. از اتحادهای مربع مجموع و تفاضل نیز نتیجه می‌شود $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$. پس $(a-b)^2+ab=(a+b)^2-3ab=(-3)^2-3(-10)=9+30=39$. به این ترتیب نیازی به تعیین جداگانهٔ $a$ و $b$ نیست. (صفحهٔ ۸۲ و ۸۳ و ۸۸ و ۸۹) پاسخ: گزینهٔ 3

اتحاد، برابری‌ای است که برای همهٔ مقدارهای مجاز متغیر برقرار باشد. اگر با ساده‌سازی جبری، تفاضل دو طرف به صفر تبدیل شود، برابری آن‌ها مستقل از مقدار متغیر ثابت شده است. بررسی چند مقدار خاص یا یکسان بودن درجه‌ها چنین تضمینی نمی‌دهد. این تمایز، مبنای تفاوت اتحاد و معادله است. (صفحهٔ ۸۱ و ۸۲) پاسخ: گزینهٔ 1

مساحت مستطیل برابر $(x+4)(x+1)=x^2+5x+4$ و مساحت مربع برابر $x^2$ است. بنابراین مساحت باقی‌مانده برابر $5x+4$ خواهد بود. از $5x+4=34$ نتیجه می‌شود $5x=30$ و $x=6$. پس طول و عرض مستطیل به‌ترتیب $10$ و $7$ است و محیط آن برابر $2(10+7)=34$ می‌شود. محاسبهٔ مساحت و محیط و بسط حاصل‌ضرب با اتحاد جملهٔ مشترک انجام شده است. (صفحهٔ ۸۵ و ۸۹) پاسخ: گزینهٔ 2

از $ab>0$ می‌فهمیم دو عدد هم‌علامت‌اند. چون $a+b<0$ است، هر دو باید منفی باشند. همچنین از $a^2>b^2$ داریم $a^2-b^2>0$. با اتحاد مزدوج، $(a-b)(a+b)>0$ به دست می‌آید. عامل $a+b$ منفی است؛ بنابراین برای مثبت بودن حاصل‌ضرب، باید $a-b<0$ باشد. پس $a<b$ و در نتیجه $a<b<0$ است. (صفحهٔ ۸۷، ۹۱ و ۹۳–۹۴) پاسخ: گزینهٔ 3

شرط مسئله به‌صورت $(x+3)^2-(x-1)^2\leq24$ نوشته می‌شود. با اتحاد مزدوج داریم: $(x+3)^2-(x-1)^2=[(x+3)-(x-1)][(x+3)+(x-1)]=4(2x+2)=8x+8$. بنابراین $8x+8\leq24$، پس $8x\leq16$ و در نتیجه $x\leq2$. چون تقسیم بر عدد مثبت انجام شده، جهت نامعادله تغییر نمی‌کند و به‌دلیل واژهٔ «حداکثر»، مرز نیز در مجموعهٔ جواب قرار دارد. (صفحهٔ ۸۷ و ۹۳–۹۴) پاسخ: گزینهٔ 4

ابتدا عامل‌های مزدوج را جفت می‌کنیم: $(x-3)(x+3)=x^2-9$ و $(x-1)(x+1)=x^2-1$. پس عبارت برابر $(x^2-9)(x^2-1)-(x^2-5)^2$ است. اکنون $t=x^2-5$ قرار می‌دهیم؛ در نتیجه $x^2-9=t-4$ و $x^2-1=t+4$. بنابراین عبارت به $(t-4)(t+4)-t^2=t^2-16-t^2=-16$ تبدیل می‌شود. این مقدار به انتخاب $x$ وابسته نیست. (صفحهٔ ۸۶ و ۸۷) پاسخ: گزینهٔ 2