نمونه سوال فصل ۸ ریاضی نهم با جواب

در هرم، به ازای هر ضلع قاعده یک وجه جانبی مثلثی وجود دارد. قاعدهٔ شش‌ضلعی، شش وجه جانبی ایجاد می‌کند. با افزودن یک وجه قاعده، تعداد کل وجه‌ها هفت می‌شود و فقط شش وجه جانبی مثلثی‌اند. (صفحهٔ ۱۳۵) پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر شعاع دو کره را $R_1$ و $R_2$ بنامیم، از رابطهٔ مساحت داریم: $\frac{S_2}{S_1}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2=9$. بنابراین $\frac{R_2}{R_1}=3$. با استفاده از رابطهٔ حجم کره، $\frac{V_2}{V_1}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3=3^3=27$ به دست می‌آید. (صفحه‌های ۱۳۲ و ۱۳۳) پاسخ: گزینهٔ ۴

حجم چهار کره برابر است با $4\times\frac{4}{3}\pi\times3^3=144\pi\,\mathrm{cm^3}$. اگر شعاع نیم‌کرهٔ حاصل $R$ باشد، داریم $\frac{2}{3}\pi R^3=144\pi$؛ پس $R^3=216$ و $R=6\,\mathrm{cm}$. مساحت کل سطح خارجی نیم‌کرهٔ توپر، با احتساب قاعده، برابر $3\pi R^2=108\pi\,\mathrm{cm^2}$ است. مجموع مساحت سطح چهار کره نیز $4\times4\pi\times3^2=144\pi\,\mathrm{cm^2}$ است. نسبت خواسته‌شده $\frac{108\pi}{144\pi}=\frac{3}{4}$ می‌شود. (صفحه‌های ۱۳۲ و ۱۳۳) پاسخ: گزینهٔ ۱

حجم اولیه برابر $V=\frac{1}{3}Sh$ است. پس از تغییرها، $S'=1.5S$ و $h'=0.8h$ خواهد بود. بنابراین $V'=\frac{1}{3}(1.5S)(0.8h)=1.2V$. در نتیجه حجم جدید، $20\%$ بیشتر از حجم اولیه است. (صفحه‌های ۱۳۷ و ۱۳۸) پاسخ: گزینهٔ ۳

مرکز قاعده را $H$ و وسط یکی از ضلع‌های مربع را $M$ می‌نامیم. چون ضلع مربع $6\,\mathrm{cm}$ است، $HM=3\,\mathrm{cm}$ خواهد بود. ارتفاع وجه جانبی $OM=5\,\mathrm{cm}$ است و مثلث $OHM$ در $H$ قائم است. پس $OH=\sqrt{5^2-3^2}=4\,\mathrm{cm}$. مساحت قاعده $S=6^2=36\,\mathrm{cm^2}$ و حجم هرم $V=\frac{1}{3}\times36\times4=48\,\mathrm{cm^3}$ است. جایگاه پای ارتفاع و روش محاسبهٔ ارتفاع و حجم هرم منتظم در متن آمده است. (صفحه‌های ۱۳۵، ۱۳۷ و ۱۳۸) پاسخ: گزینهٔ ۱

اگر شعاع قاعدهٔ دو مخروط را $r_1$ و $r_2$ بگیریم، از برابری کمان قطاع و محیط قاعده داریم: $2\pi r_1=\frac{3}{5}\times2\pi\times5$ و $2\pi r_2=\frac{4}{5}\times2\pi\times5$. پس $r_1=3\,\mathrm{cm}$ و $r_2=4\,\mathrm{cm}$. مولد هر دو مخروط $5\,\mathrm{cm}$ است؛ بنابراین $h_1=\sqrt{5^2-3^2}=4\,\mathrm{cm}$ و $h_2=\sqrt{5^2-4^2}=3\,\mathrm{cm}$. با رابطهٔ حجم مخروط، $\frac{V_2}{V_1}=\frac{r_2^2h_2}{r_1^2h_1}=\frac{16\times3}{9\times4}=\frac{4}{3}$. ارتباط مخروط با هرم، گستردهٔ مخروط و محاسبهٔ حجم آن مبنای این حل است. (صفحه‌های ۱۳۸، ۱۴۰ و ۱۴۱) پاسخ: گزینهٔ ۴

در دوران حول ضلع کوچک‌تر، شعاع استوانه $2a$ و ارتفاع آن $a$ است؛ بنابراین $V_1=\pi(2a)^2a=4\pi a^3$. در دوران حول ضلع بزرگ‌تر، شعاع $a$ و ارتفاع $2a$ است؛ پس $V_2=\pi a^2(2a)=2\pi a^3$. در نتیجه $\frac{V_1}{V_2}=2$. تشخیص شعاع و ارتفاع جسم حاصل از دوران مستطیل، مبنای محاسبه است. (صفحهٔ ۱۴۱) پاسخ: گزینهٔ ۲

شعاع کره را $R$ می‌گیریم. استوانهٔ محیط بر کره، شعاع قاعدهٔ $R$ و ارتفاع $2R$ دارد؛ پس حجم فضای خالی برابر $2\pi R^3-\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3$ است. با توجه به دادهٔ مسئله، $\frac{2}{3}\pi R^3=18\pi$؛ بنابراین $R^3=27$ و $R=3\,\mathrm{cm}$. پس از برش، مجموع مساحت کل سطح دو نیم‌کره برابر $2\times3\pi R^2=6\pi\times9=54\pi\,\mathrm{cm^2}$ است. ابعاد استوانهٔ محیط و رابطه‌های حجم و مساحت کره و نیم‌کره در متن بیان شده‌اند. (صفحه‌های ۱۳۱ تا ۱۳۳) پاسخ: گزینهٔ ۳

در هرم منتظم، اگر قاعده مرکز تقارن داشته باشد، پای ارتفاع بر آن مرکز قرار می‌گیرد. شش‌ضلعی منتظم دارای مرکز تقارن است؛ پس پای ارتفاع این هرم، مرکز قاعده است (صفحهٔ ۱۳۵). وجه‌های جانبی الزاماً متساوی‌الاضلاع نیستند و ارتفاع آنها نیز با ارتفاع هرم یکی نیست. همچنین نمای بالا در امتداد ارتفاع، شش‌ضلعی است، نه مثلث (صفحه‌های ۱۴۲ تا ۱۴۴). پاسخ: گزینهٔ 1

اگر شعاع کره را $R$ بنامیم، با استفاده از رابطه‌های حجم و مساحت کره داریم: $\frac{V}{S}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi R^2}=\frac{R}{3}$ (صفحه‌های ۱۳۲ و ۱۳۳). بنابراین $\frac{R}{3}=2\,\mathrm{cm}$ و در نتیجه $R=6\,\mathrm{cm}$. بزرگ‌ترین مقطع کره از مرکز آن می‌گذرد و شعاعش برابر شعاع کره است (صفحه‌های ۱۴۲ تا ۱۴۴). پس مساحت خواسته‌شده برابر است با $A=\pi R^2=36\pi\,\mathrm{cm^2}$. پاسخ: گزینهٔ 2

با دوران مثلث حول ضلع قائم بلندتر، مخروطی با ارتفاع $12\,\mathrm{cm}$ و شعاع قاعدهٔ $3\,\mathrm{cm}$ ساخته می‌شود (صفحهٔ ۱۴۱). حجم آن برابر است با $V=\frac{1}{3}\pi\times3^2\times12=36\pi\,\mathrm{cm^3}$ (صفحهٔ ۱۳۹). اگر شعاع کرهٔ هم‌حجم را $R$ بگیریم، داریم $\frac{4}{3}\pi R^3=36\pi$؛ بنابراین $R^3=27$ و $R=3\,\mathrm{cm}$. مساحت سطح کره برابر است با $S=4\pi R^2=4\pi\times9=36\pi\,\mathrm{cm^2}$ (صفحه‌های ۱۳۲ و ۱۳۳). پاسخ: گزینهٔ 3

قاعدهٔ هرم، یک وجه کامل مکعب با مساحت $a^2$ است و رأس آن در مرکز مکعب قرار دارد؛ پس ارتفاع هرم $\frac{a}{2}$ است (صفحهٔ ۱۳۵). حجم هرم برابر است با $V_{\text{هرم}}=\frac{1}{3}\times a^2\times\frac{a}{2}=\frac{a^3}{6}$ (صفحهٔ ۱۳۸). بنابراین حجم باقی‌مانده $V=a^3-\frac{a^3}{6}=\frac{5a^3}{6}$ می‌شود. برای مساحت، وجه مربعیِ محل دهانه حذف می‌شود و پنج وجه مربعی دیگر باقی می‌مانند. ارتفاع هر مثلث جانبی، پاره‌خطی از مرکز مکعب تا وسط یکی از ضلع‌های دهانه است. با قضیهٔ فیثاغورس، طول این پاره‌خط برابر $\ell=\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ است. پس مساحت چهار مثلث داخلی برابر $4\times\frac{1}{2}\times a\times\frac{a\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}a^2$ است. با جمع مساحت سطح‌های باقی‌مانده و سطح‌های تازه، مطابق روش محاسبهٔ سطح کل از وجه‌ها، داریم $S=5a^2+\sqrt{2}a^2=(5+\sqrt{2})a^2$ (صفحه‌های ۱۴۰ و ۱۴۱). پاسخ: گزینهٔ 4