نمونه سوال فصل ۷ ریاضی نهم با جواب

عبارت گویا باید به شکل نسبت دو چندجمله‌ای باشد. در عبارت $\dfrac{\sqrt{5}x+2}{x^2+1}$، عدد ثابت $\sqrt{5}$ ضریب متغیر است؛ بنابراین صورت و مخرج هر دو چندجمله‌ای‌اند. در سایر گزینه‌ها، رادیکالِ متغیر یا قدرمطلقِ متغیر مانع چندجمله‌ای بودن صورت یا مخرج شده است. (صفحهٔ ۱۱۴ و ۱۱۵) پاسخ: گزینهٔ 2

با تجزیه داریم: $\dfrac{x^2-2x-8}{x^2-16}=\dfrac{(x-4)(x+2)}{(x-4)(x+4)}$. مخرج عبارت اولیه در $x=4$ و $x=-4$ صفر است؛ پس هر دو مقدار ممنوع‌اند. صورت در $x=4$ و $x=-2$ صفر می‌شود، اما فقط $x=-2$ مجاز است. بنابراین عبارت فقط در $x=-2$ مقدار صفر دارد. حذف عامل مشترک، محدودیت عبارت اولیه را از بین نمی‌برد. (صفحهٔ ۱۱۵ تا ۱۱۷) پاسخ: گزینهٔ 4

تقسیم را به ضرب در معکوس تبدیل می‌کنیم: $\dfrac{x^2-x-6}{x^2-9}\div\dfrac{x^2-4}{x^2+5x+6}=\dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)}\times\dfrac{(x+2)(x+3)}{(x-2)(x+2)}$. با حذف عامل‌های مشترکِ غیرصفر، حاصل برابر $\dfrac{x+2}{x-2}$ می‌شود. شرط تعریف عبارت اولیه، مقادیر $x=3,-3,-2,2$ را کنار می‌گذارد. (صفحهٔ ۱۱۹ و ۱۲۰) پاسخ: گزینهٔ 3

با فرض $x\neq1,-1$، مخرج مشترک می‌گیریم: $\dfrac{2x+1}{x-1}-\dfrac{x+4}{x+1}=\dfrac{(2x+1)(x+1)-(x+4)(x-1)}{(x-1)(x+1)}$. صورت برابر است با $2x^2+3x+1-(x^2+3x-4)=x^2+5$ و مخرج برابر $x^2-1$ است. پس حاصل $\dfrac{x^2+5}{x^2-1}$ خواهد بود. (صفحهٔ ۱۲۰ و ۱۲۱) پاسخ: گزینهٔ 2

ابتدا از مخرج‌های داخلی نتیجه می‌گیریم $x\neq1,-1$. صورت بزرگ برابر است با $\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2}{x^2-1}$. مخرج بزرگ نیز برابر است با $\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+(x-1)}{x^2-1}=\dfrac{2x-1}{x^2-1}$. این مخرج نباید صفر شود؛ پس $x\neq\dfrac12$. اکنون تقسیم می‌کنیم: $\dfrac{2}{x^2-1}\times\dfrac{x^2-1}{2x-1}=\dfrac{2}{2x-1}$. هر سه محدودیتِ عبارت اولیه باید حفظ شوند. (صفحهٔ ۱۱۵، ۱۱۶، ۱۲۱ و ۱۲۲) پاسخ: گزینهٔ 4

سرعت رفت را $v$ و سرعت برگشت را $2v$ می‌گیریم. برای دو مسیر هم‌طول، سرعت متوسط برابر است با $\dfrac{2(v)(2v)}{v+2v}=\dfrac{4v}{3}$. میانگین حسابی دو سرعت نیز $\dfrac{v+2v}{2}=\dfrac{3v}{2}$ است. نسبت خواسته‌شده برابر می‌شود با $\dfrac{4v}{3}\div\dfrac{3v}{2}=\dfrac{4v}{3}\times\dfrac{2}{3v}=\dfrac89$. (صفحهٔ ۱۱۴، ۱۱۹ و ۱۲۰) پاسخ: گزینهٔ 3

برای $x\neq-2$، ابتدا عبارت داخل پرانتز را ساده می‌کنیم: $\dfrac{x^2+ax+6}{x+2}-x=\dfrac{x^2+ax+6-x(x+2)}{x+2}=\dfrac{(a-2)x+6}{x+2}$. سپس تقسیم بر $\dfrac1{x+2}$ می‌دهد: $\dfrac{(a-2)x+6}{x+2}\times(x+2)=(a-2)x+6$. برای اینکه مقدار عبارت به انتخاب $x$ وابسته نباشد، باید $a-2=0$ باشد؛ پس $a=2$ و مقدار ثابت عبارت $6$ است. (صفحهٔ ۱۱۶ و ۱۱۹ تا ۱۲۲) پاسخ: گزینهٔ 1

در تقسیم چندجمله‌ای‌ها، اگر باقی‌مانده صفر شود یا درجهٔ آن از درجهٔ مقسوم‌علیه کمتر باشد، تقسیم پایان می‌یابد. در اینجا درجهٔ $7x-9$ برابر $1$ و درجهٔ $x^2+1$ برابر $2$ است؛ بنابراین ادامهٔ تقسیم لازم نیست. صفر نبودن باقی‌مانده فقط نشان می‌دهد مقسوم بر مقسوم‌علیه بخش‌پذیر نیست. (صفحهٔ ۱۲۷–۱۲۸) پاسخ: گزینهٔ 2

طبق قاعدهٔ تقسیم چندجمله‌ای بر تک‌جمله‌ای، داریم: $\dfrac{12a^3b^2-8a^2b^3}{-4a^2b}=\dfrac{12a^3b^2}{-4a^2b}-\dfrac{8a^2b^3}{-4a^2b}$. با تقسیم ضرایب و کم‌کردن توان‌ها، جملهٔ اول $-3ab$ و جملهٔ دوم $+2b^2$ می‌شود. پس حاصل برابر $-3ab+2b^2$ است. شرط $ab\neq0$ نیز غیرصفر بودن مخرج را تضمین می‌کند. (صفحهٔ ۱۲۶) پاسخ: گزینهٔ 4

خارج‌قسمت را $2x+c$ می‌گیریم. رابطهٔ تقسیم می‌دهد: $2x^3+ax^2-5x+b=(x^2-x-2)(2x+c)+(2x-4)$. با بسط سمت راست داریم: $2x^3+(c-2)x^2+(-c-2)x-2c-4$. از مقایسهٔ ضریب $x$ نتیجه می‌شود $-c-2=-5$، پس $c=3$. در نتیجه $a=c-2=1$ و $b=-2c-4=-10$ است. بنابراین $a+b=-9$. همچنین درجهٔ باقی‌مانده از درجهٔ مقسوم‌علیه کمتر است و رابطهٔ تقسیم معتبر است. (صفحهٔ ۱۲۷ و صفحهٔ ۱۲۹) پاسخ: گزینهٔ 3

از اطلاعات تقسیم نخست داریم: $P(x)=(x-2)Q(x)+5$. بنابراین عبارت جدید برابر است با $P(x)+(x-2)(x+1)-3=(x-2)Q(x)+5+(x-2)(x+1)-3$. با گرفتن عامل مشترک، حاصل به صورت $(x-2)\bigl(Q(x)+x+1\bigr)+2$ نوشته می‌شود. چون باقی‌ماندهٔ ثابت درجه‌ای کمتر از مقسوم‌علیه درجهٔ اول دارد، خارج‌قسمت جدید $Q(x)+x+1$ و باقی‌مانده $2$ است. (صفحهٔ ۱۲۷ و صفحهٔ ۱۲۹) پاسخ: گزینهٔ 2