سوال ۶۹ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

طبق تعریف چگالی، جرم جسم را بر حجم آن تقسیم می‌کنیم: $\rho=\frac{m}{V}$ (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۶–۱۷).

گام اول: نسبت شعاع‌ها و جرم‌ها را بنویسیم.
شعاع کرهٔ $A$ به اندازهٔ $25\%$ کمتر از شعاع کرهٔ $B$ است؛ پس:
$\frac{r_A}{r_B}=1-\frac{25}{100}=\frac{3}{4}$
همچنین، طبق صورت سؤال:
$\frac{m_A}{m_B}=\frac{1}{2}$

گام دوم: نسبت حجم‌ها را حساب کنیم.
حجم کره از رابطهٔ $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ به دست می‌آید. بنابراین ضریب مشترک در نسبت حجم‌ها حذف می‌شود و داریم:
$\frac{V_A}{V_B}=\left(\frac{r_A}{r_B}\right)^3=\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64}$

گام سوم: نسبت چگالی‌ها را به دست آوریم.
با استفاده از تعریف چگالی:
$\frac{\rho_A}{\rho_B}=\frac{m_A/V_A}{m_B/V_B}=\frac{m_A}{m_B}\times\frac{V_B}{V_A}=\frac{1}{2}\times\frac{64}{27}=\frac{32}{27}\approx1.1852$
پس با اینکه جرم کرهٔ $A$ کمتر است، چگالی آن بیشتر است؛ زیرا حجم آن به نسبت بیشتری کاهش یافته است.

گام چهارم: درصد افزایش چگالی را حساب کنیم.
چون چگالی کرهٔ $B$ مبنای مقایسه است:
$\frac{\rho_A-\rho_B}{\rho_B}\times100=\left(\frac{32}{27}-1\right)\times100=\frac{5}{27}\times100\approx18.5$
بنابراین چگالی کرهٔ $A$ تقریباً $18.5\%$ بیشتر از چگالی کرهٔ $B$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲