نمونه سوال فصل ۴ حسابان دوازدهم با جواب

خط $d$ موازی محور $x$ها، قرینهٔ سهمی $y=x^2+1$ نسبت به محور $x$ها را در دو نقطه قطع می‌کند و مماس‌های رسم‌شده در این نقاط بر هم عمودند. فاصلهٔ خط $d$ از مبدأ مختصات کدام است؟

اگر $f(x)=\sqrt{x+8}-\sqrt{x}$ و $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x+8}+\sqrt{x}}$ باشد، حاصل عبارت $f'(1)g(1)-g'(1)f(1)$ کدام است؟

اگر $f(x)=\frac{8+\cos^3 x}{4-\cos^2 x}$ و $g(x)=\frac{2}{2-\cos x}$ باشد، حاصل عبارت $f'(\frac{7\pi}{6})-2g'(\frac{7\pi}{6})$ کدام است؟

به ازای چند مقدار صحیح $m$، تابع $f(x)=\begin{cases}b & x<a\\ b+(x-a)^m & x\ge a\end{cases}$ دارای نقطه گوشه‌ای است؟

بازای هر مقدار حقیقی و ناصفر $a$، تابع $f(x)=\begin{cases}bx+c & x<a\\ \frac{1}{x} & x\geq a\end{cases}$ روی $\mathbb{R}$ مشتق‌پذیر است. مقدار $ac$ کدام است؟