نمونه سوال فصل ۹ ریاضی هشتم با جواب

اگر فاصلهٔ خط از مرکز کمتر از شعاع باشد، خط دو نقطهٔ مشترک با دایره دارد؛ اگر برابر شعاع باشد، یک نقطهٔ مشترک دارد و اگر بیشتر باشد، نقطهٔ مشترکی ندارد. بنابراین، خط‌های با فاصله‌های $3$ و $0$ سانتی‌متر قاطع‌اند، خط با فاصلهٔ $5$ سانتی‌متر مماس است و خط با فاصلهٔ $7$ سانتی‌متر دایره را قطع نمی‌کند. چون محل‌های برخورد خط‌های مختلف روی دایره متفاوت‌اند، تعداد کل نقطه‌ها برابر است با $2+2+1+0=5$ (صفحهٔ ۱۳۸–۱۳۹). پاسخ: گزینهٔ ۲

عمود واردشده از مرکز دایره بر وتر، آن را نصف می‌کند؛ پس $AH=HB$ (صفحهٔ ۱۴۰). بنابراین $3x-1=x+7$ و در نتیجه $2x=8$ و $x=4$. اکنون $AH=3(4)-1=11\,\mathrm{cm}$ و طول کل وتر برابر است با $AB=2\times11=22\,\mathrm{cm}$. پاسخ: گزینهٔ ۴

اندازهٔ هر کمان برابر زاویهٔ مرکزی روبه‌روی آن است؛ بنابراین هر دو کمان اندازهٔ $40^\circ$ دارند. سهم هر کمان از محیط دایرهٔ خودش نیز $\frac{40}{360}=\frac{1}{9}$ است. بااین‌حال، چون شعاع‌ها متفاوت‌اند، محیط‌ها متفاوت‌اند و یک‌نهم این دو محیط نیز طول یکسانی ندارد. کتاب میان برابری اندازهٔ کمان‌ها و برابری طول آن‌ها تفاوت می‌گذارد (صفحهٔ ۱۴۲). پاسخ: گزینهٔ ۱

شعاع‌های $OA$ و $OB$ بر مماس‌های $PA$ و $PB$ عمودند؛ بنابراین زاویه‌های چهارضلعی $OAPB$ در رأس‌های $A$ و $B$ قائمه‌اند (صفحهٔ ۱۳۹). پس زاویهٔ مرکزی روبه‌روی کمان کوچک $AB$ برابر است با $360^\circ-90^\circ-90^\circ-56^\circ=124^\circ$. چون $C$ روی کمان بزرگ قرار دارد، زاویهٔ $ACB$ روبه‌روی کمان کوچک $AB$ است. اندازهٔ زاویهٔ محاطی نصف کمان مقابل آن است؛ پس $\angle ACB=\frac{124^\circ}{2}=62^\circ$ (صفحهٔ ۱۴۶–۱۴۷). پاسخ: گزینهٔ ۳

هر کمان میان دو نقطهٔ پیاپی اندازهٔ $\frac{360^\circ}{10}=36^\circ$ دارد (صفحهٔ ۱۴۲). کمان مقابل زاویهٔ $ACG$ نباید شامل رأس $C$ باشد؛ بنابراین مسیر $A,J,I,H,G$ را در نظر می‌گیریم که از چهار کمان پیاپی تشکیل شده است. اندازهٔ این کمان $4\times36^\circ=144^\circ$ است. پس با استفاده از نصف بودن زاویهٔ محاطی نسبت به کمان مقابل، $\angle ACG=\frac{144^\circ}{2}=72^\circ$ به دست می‌آید (صفحهٔ ۱۴۶–۱۴۷). پاسخ: گزینهٔ ۲

چون وترهای $AB$ و $BC$ برابرند، کمان‌های کوچک متناظر آن‌ها نیز برابرند (صفحهٔ ۱۴۳–۱۴۴). مجموع این دو کمان برابر است با $360^\circ-144^\circ=216^\circ$؛ پس اندازهٔ هرکدام $\frac{216^\circ}{2}=108^\circ$ است. زاویهٔ $BAC$ روبه‌روی کمان $BC$ قرار دارد، بنابراین $\angle BAC=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ$ (صفحهٔ ۱۴۶–۱۴۷). پاسخ: گزینهٔ ۴

چون $AB$ قطر است، زاویهٔ محاطی $ACB$ قائمه است (صفحهٔ ۱۴۷–۱۴۸). بنابراین $AB^2=AC^2+BC^2=8^2+15^2=289$ و $AB=17\,\mathrm{cm}$؛ در نتیجه شعاع $OA=8.5\,\mathrm{cm}$ است. پای عمود مرکز بر $AC$ را $H$ می‌نامیم. این عمود وتر را نصف می‌کند؛ پس $AH=4\,\mathrm{cm}$ (صفحهٔ ۱۴۰). در مثلث قائم‌الزاویهٔ $OHA$ داریم $OH^2=8.5^2-4^2=72.25-16=56.25$، پس $OH=7.5\,\mathrm{cm}$. این طول همان فاصلهٔ مرکز از خط حامل وتر است. استفاده از رابطهٔ فیثاغورس در مثلث‌های قائم‌الزاویهٔ مربوط به دایره در صفحهٔ ۱۴۰–۱۴۱ نیز به کار رفته است. پاسخ: گزینهٔ ۱

عبارت «الف» درست است؛ اتصال مرکز به وسط یک وترِ غیرقطر، بر وتر عمود می‌شود (صفحهٔ ۱۴۰). عبارت «ب» نیز درست است؛ اگر اندازهٔ یکی از دو کمان $AB$ را $\alpha$ بنامیم، زاویه‌های محاطی موردنظر برابر $\frac{\alpha}{2}$ و $\frac{360^\circ-\alpha}{2}$ هستند و مجموعشان $180^\circ$ می‌شود (صفحهٔ ۱۴۶–۱۴۷). عبارت «ج» درست است؛ دو قطر عمود، چهار زاویهٔ مرکزی $90^\circ$ و در نتیجه چهار کمان برابر می‌سازند. عبارت «د» نادرست است؛ عمود بودن دو وتر، بدون شرط گذشتن آن‌ها از مرکز، برابری چهار کمان را تضمین نمی‌کند؛ این تفاوت در تمرین‌های قطرهای عمود و وترهای عمود مطرح شده است (صفحهٔ ۱۴۴–۱۴۵). پس سه عبارت درست است. پاسخ: گزینهٔ ۳

مرکز دایره از دو سر هر وتر فاصلهٔ یکسان دارد؛ بنابراین روی عمودمنصف آن وتر قرار می‌گیرد. پس مرکز روی عمودمنصف هر دو وتر است. چون وترها موازی نیستند، عمودمنصف‌های آن‌ها نیز موازی نیستند و نقطهٔ برخورد یکتایی دارند که همان مرکز است. برخورد خود وترها، وسطِ پاره‌خط رابط وسط‌های آن‌ها یا عمودهای رسم‌شده از سر وترها چنین ویژگی تضمین‌شده‌ای ندارند. (صفحهٔ ۱۳۹ و ۱۴۰) پاسخ: گزینهٔ ۱

پای عمود مرکز بر وتر را $H$ می‌نامیم. این عمود، وتر را نصف می‌کند؛ بنابراین نصف وتر برابر $8\,\mathrm{cm}$ است. از مثلث قائم‌الزاویهٔ حاصل داریم: $r^2=6^2+8^2=100$، پس $r=10\,\mathrm{cm}$. همچنین شعاع $OT$ بر مماس $PT$ عمود است؛ در نتیجه $PT^2=OP^2-OT^2=26^2-10^2=576$ و $PT=24\,\mathrm{cm}$. (صفحهٔ ۱۳۸ تا ۱۴۱) پاسخ: گزینهٔ ۳

چون چهارضلعی محاطی است، مجموع زاویه‌های رأس‌های $A$ و $C$ برابر $180^\circ$ است. پس $(2x+10)+(3x-5)=180$ و در نتیجه $5x=175$ و $x=35$. بنابراین $\angle DAB=80^\circ$ است. زاویهٔ رأس $B$ به اندازهٔ $30^\circ$ بیشتر است، پس $\angle ABC=110^\circ$. اکنون از مکمل بودن زاویه‌های رأس‌های $B$ و $D$ داریم: $\angle CDA=180^\circ-110^\circ=70^\circ$. (صفحهٔ ۱۴۹ و ۱۵۰) پاسخ: گزینهٔ ۴

محیط دایره برابر $2\pi\times9=18\pi\,\mathrm{cm}$ است. اگر اندازهٔ کمان کوچک را $\alpha$ بنامیم، از نسبت طول کمان به محیط داریم: $\dfrac{\alpha}{360^\circ}=\dfrac{5\pi}{18\pi}=\dfrac{5}{18}$؛ بنابراین $\alpha=100^\circ$. چون $C$ روی همین کمان کوچک قرار دارد، کمان مقابل زاویهٔ $ACB$، کمان بزرگ با اندازهٔ $360^\circ-100^\circ=260^\circ$ است. زاویهٔ محاطی نصف کمان مقابل خود است؛ پس $\angle ACB=\dfrac{260^\circ}{2}=130^\circ$. (صفحهٔ ۱۴۲، ۱۴۶ و ۱۴۷) پاسخ: گزینهٔ ۲