نمونه سوال فصل ۸ ریاضی هشتم با جواب

برای مشاهدهٔ روند تغییر یک کمیت در طول زمان، نمودار خط شکسته مناسب است. برای مقایسهٔ سهم چند بخش از یک کل نیز نمودار دایره‌ای به کار می‌رود. بنابراین برای گزارش تغییرات مصرف، نمودار خط شکسته و برای گزارش سهم بخش‌ها، نمودار دایره‌ای مناسب است. (صفحهٔ ۱۲۰) پاسخ: گزینهٔ 1

بیشترین دادهٔ اصلاح‌شده برابر است با $135+15=150$. بنابراین دامنهٔ جدید $150-60=90$ و طول هر یک از دسته‌های هم‌اندازه برابر با $\frac{90}{6}=15$ خواهد بود. تغییر نکردن کمترین داده و تعداد دسته‌ها در این محاسبه مهم است. (صفحهٔ ۱۲۱) پاسخ: گزینهٔ 3

برای دستهٔ $15\le x<20$، دادهٔ $15$ پذیرفته می‌شود، اما دادهٔ $20$ در این دسته نیست. داده‌های متعلق به این دسته عبارت‌اند از $15،15،18،19$؛ پس فراوانی آن $4$ است. تکرار یک مقدار به معنی وجود چند داده است و هر بار باید شمرده شود. (صفحهٔ ۱۲۱) پاسخ: گزینهٔ 2

هر مهرهٔ مشخص یک حالت ممکن است و چون مهره‌ها از نظر انتخاب شدن تفاوتی ندارند، این حالت‌ها هم‌شانس‌اند. تعداد همهٔ حالت‌ها $4+2=6$ و تعداد حالت‌های منجر به آبی شدن $4$ است؛ بنابراین احتمال آبی بودن $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ است. برابر نبودن تعداد مهره‌های دو رنگ مانع از هم‌شانس دانستن دو رنگ می‌شود. (صفحه‌های ۱۲۸ و ۱۲۹) پاسخ: گزینهٔ 4

تعداد مهره‌های سبز در ابتدا $40\times\frac{3}{8}=15$ و تعداد مهره‌های غیرسبز $40-15=25$ است. با خارج کردن $5$ مهرهٔ غیرسبز، تعداد کل به $35$ و تعداد غیرسبزها به $20$ می‌رسد. پس احتمال موردنظر $\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$ است. نسبت حالت‌های مطلوب به کل باید برای وضعیت جدید کیسه محاسبه شود. (صفحه‌های ۱۲۹ و ۱۳۰) پاسخ: گزینهٔ 2

در پرتاب دو تاس، $6\times6=36$ حالت هم‌شانس داریم. زوج‌های دارای مجموع $8$ عبارت‌اند از $(2,6)،(3,5)،(4,4)،(5,3)،(6,2)$. با اعمال شرط متفاوت بودن اعداد، زوج $(4,4)$ حذف می‌شود و $4$ حالت مطلوب باقی می‌ماند. بنابراین احتمال برابر با $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$ است. (صفحه‌های ۱۲۹ و ۱۳۴–۱۳۵) پاسخ: گزینهٔ 1

برای هر یک از دو طرح، رنگ مشکی تنها یک حالت، یعنی بدون نشان، دارد. هر یک از رنگ‌های سفید و آبی نیز دو حالت با نشان و بدون نشان دارد. پس تعداد حالت‌های مجاز $2\times(1+2+2)=10$ است. حالت‌های سفید شامل دو طرح و دو وضعیت نشان است؛ بنابراین تعدادشان $2\times2=4$ و احتمال انتخاب آن‌ها $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ است. (صفحه‌های ۱۲۹، ۱۳۴–۱۳۶) پاسخ: گزینهٔ 4

احتمال اولیهٔ سفید بودن برابر است با $1-\frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{4}{15}$. چون $8$ مهرهٔ سفید داریم، تعداد اولیهٔ کل مهره‌ها $8\div\frac{4}{15}=30$ است. تعداد سبزها نیز $30\times\frac{2}{5}=12$ است. پس از افزودن مهره‌های سفید، تعداد سبزها تغییر نمی‌کند و با توجه به احتمال جدید، تعداد کل باید $12\div\frac{1}{3}=36$ باشد. بنابراین $36-30=6$ مهرهٔ سفید اضافه شده و تعداد سفیدها به $8+6=14$ رسیده است. احتمال نهایی سفید بودن $\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$ است. (صفحه‌های ۱۲۹ و ۱۳۰) پاسخ: گزینهٔ 3

در دسته‌های مجاور، قرار دادن مرز مشترک در یکی از دسته‌ها و کنار گذاشتن آن از دستهٔ دیگر، مانع شمارش دوبارهٔ داده‌های مرزی می‌شود. از طرف دیگر، چون آخرین حد جدول برابر بزرگ‌ترین داده است، باید این حد در دستهٔ آخر پذیرفته شود؛ وگرنه بزرگ‌ترین داده از دسته‌بندی بیرون می‌ماند. این قرارداد، برابر بودن فراوانی‌ها یا دقیق بودن میانگین تقریبی را تضمین نمی‌کند. (صفحهٔ ۱۲۱) پاسخ: گزینهٔ ۱

با استفاده از رابطهٔ مجموع داده‌ها با میانگین، مجموع نمره‌های کلاس اولیه برابر است با $20\times16=320$. پس از کنار گذاشتن دو دانش‌آموز، تعداد افراد $18$ نفر و مجموع نمره‌هایشان برابر $18\times16.5=297$ است. بنابراین مجموع دو نمرهٔ کنارگذاشته‌شده $320-297=23$ و نمرهٔ دانش‌آموز دوم $23-12=11$ است. این روش بر رابطهٔ میانگین و بررسی اثر حذف داده‌ها تکیه دارد. (صفحه‌های ۱۲۵ تا ۱۲۷) پاسخ: گزینهٔ ۲

هر چرخنده سه ناحیهٔ هم‌شانس دارد؛ بنابراین برای دو چرخنده $3\times3=9$ حالت هم‌شانس داریم. اگر چرخندهٔ اول قرمز و دومی زرد باشد، دو حالت مطلوب داریم، زیرا چرخندهٔ اول دو ناحیهٔ قرمز دارد. اگر اولی زرد و دومی قرمز باشد نیز دو حالت مطلوب دیگر داریم. پس تعداد حالت‌های مطلوب $2+2=4$ و احتمال موردنظر $\frac{4}{9}$ است. شماره‌گذاری ناحیه‌ها برای تشخیص حالت‌های هم‌شانس و شمارش ترکیب‌ها ضروری است. (صفحه‌های ۱۲۹ و ۱۳۳ تا ۱۳۴) پاسخ: گزینهٔ ۳

مرکز دسته‌ها به‌ترتیب $2$، $6$ و $10$ است. با نام‌گذاری فراوانی دستهٔ میانی به صورت $k$، رابطهٔ میانگین تقریبی چنین است: $\frac{2\times2+6k+10\times4}{2+k+4}=7$. بنابراین $44+6k=42+7k$ و در نتیجه $k=2$. تعداد کل داده‌ها $2+2+4=8$ است. چون هر داده شانس یکسانی برای انتخاب شدن دارد، احتمال انتخاب داده‌ای از دستهٔ میانی برابر $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ خواهد بود. روش میانگین دسته‌بندی‌شده در صفحه‌های ۱۲۵ و ۱۲۶ و رابطهٔ احتمال در صفحهٔ ۱۲۹ آمده است. پاسخ: گزینهٔ ۴