سوال ۱۳۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۳۱ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۵، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۳۱ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۵ · سوال ۱۳۱ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی هشتم · فصل ۸: آمار و احتمال

دو دانش‌آموز، هر کدام تابلوهایی با شماره‌های ۱ تا $8$ در اختیار دارند، هر کدام به تصادف یک تابلو را انتخاب کرده و به هم نشان می‌دهند. اگر عدد روی تابلوی یکی، مضرب دیگری باشد، هر دو برنده جایزه می‌شوند. چند درصد احتمال دارد که آنها برنده شوند؟

گزینهٔ ۱: ۴۰
گزینهٔ ۲: ۶۲/۵
گزینهٔ ۳: ۵۰
گزینهٔ ۴: ۷۲/۵

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول ـ شمارش همهٔ حالت‌ها

نتیجهٔ انتخاب‌ها را با زوج مرتب $(a,b)$ نشان می‌دهیم؛ یعنی عدد دانش‌آموز اول و عدد دانش‌آموز دوم. هر دانش‌آموز $8$ انتخاب دارد، پس تعداد کل حالت‌های هم‌شانس برابر است با:
$8\times8=64$
این روش مانند جدول حالت‌های دو تاس است که در آن جای دو نتیجه اهمیت دارد (ریاضی هشتم، صفحه‌های ۱۳۴–۱۳۵).

گام دوم ـ شمارش حالت‌های برد

اگر دو عدد برابر باشند، شرط برقرار است؛ چون هر عدد مضرب خودش است. بنابراین $8$ حالت برابر داریم.

برای عددهای نابرابر، ابتدا عدد کوچک‌تر را در جای اول می‌نویسیم و مضرب‌های بزرگ‌تر از آن را تا $8$ پیدا می‌کنیم:

برای $1$ : عددهای $2،3،4،5،6،7،8$ ؛ یعنی $7$ جفت.
برای $2$ : عددهای $4،6،8$ ؛ یعنی $3$ جفت.
برای $3$ : فقط عدد $6$ ؛ یعنی $1$ جفت.
برای $4$ : فقط عدد $8$ ؛ یعنی $1$ جفت.

عددهای بزرگ‌تر از $4$ در این بازه مضربی بزرگ‌تر از خود ندارند. پس تعداد این جفت‌ها برابر است با:
$7+3+1+1=12$

هر جفت نابرابر دو ترتیب دارد؛ مثلاً $(2,6)$ و $(6,2)$ هر دو باعث برد می‌شوند. بنابراین تعداد کل حالت‌های مطلوب برابر است با:
$2\times12+8=32$

گام سوم ـ محاسبهٔ احتمال

برای حالت‌های هم‌شانس، تعداد حالت‌های مطلوب را بر تعداد کل حالت‌ها تقسیم می‌کنیم (ریاضی هشتم، صفحهٔ ۱۲۹):
$P=\frac{32}{64}=\frac{1}{2}$

در نتیجه درصد احتمال برد برابر است با:
$\frac{1}{2}\times100\%=50\%$

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است حالت‌های برابر بودن دو عدد را کنار بگذارید و سپس درصد حاصل را نادرست گرد کنید. با حذف این حالت‌ها، درصد $37.5\%$ به دست می‌آید، نه $40\%$ ؛ ضمن اینکه هر عدد مضرب خودش است و این حالت‌ها باید شمرده شوند.
گزینهٔ ۲: اگر حالت‌های «عدد اول مضرب عدد دوم است» و حالت‌های برعکس را جداگانه بشمارید و بدون حذف اشتراک جمع کنید، به $\frac{40}{64}=62.5\%$ می‌رسید. در این روش، حالت‌های برابر بودن دو عدد دوبار شمرده شده‌اند.
گزینهٔ ۴: این انتخاب می‌تواند از شمردن جفت‌های نامطلوب یا تکراری ناشی شود؛ فقط جفت‌هایی مجازند که تقسیم یکی از دو عدد بر دیگری، عددی طبیعی باشد. همچنین $72.5\%$ از $64$ حالت، برابر با $46.4$ حالت است و تعداد حالت‌های مطلوب نمی‌تواند غیرصحیح باشد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

روش شمارش حالت‌های هم‌شانس و نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به کل حالت‌ها را به یاد بیاورید. چون دو دانش‌آموز مشخص‌اند، جابه‌جایی دو عدد متفاوت، یک حالت تازه می‌سازد.
برابر بودن دو عدد هم باعث برد می‌شود؛ زیرا هر عدد مضرب خودش است. برای جلوگیری از دوباره‌شماری، حالت‌های برابر و نابرابر را جدا کنید.
ابتدا جفت‌های نابرابر را با قرار دادن عدد کوچک‌تر در جای اول فهرست کنید؛ عدد کوچک‌تر فقط می‌تواند یکی از اعداد $1$ ، $2$ ، $3$ یا $4$ باشد. سپس برای هر جفت، حالت جابه‌جاشده را نیز بشمارید و حالت‌های برابر را اضافه کنید.

فصل «آمار و احتمال» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.