نمونه سوال فصل ۷ ریاضی هشتم با جواب

اگر نمای مشترک $m$ باشد، قانون ضرب توان‌های با نماهای برابر به شکل $a^m\times b^m=(ab)^m$ است. در ضرب توان‌های هم‌پایه، نماها جمع می‌شوند؛ در تقسیم توان‌های هم‌پایه، نماها از هم کم می‌شوند؛ و در تقسیم توان‌های با نماهای برابر، نمای مشترک حفظ می‌شود (صفحه‌های ۱۰۲–۱۰۳ و ۱۰۶–۱۰۸). پاسخ: گزینهٔ 2

با استفاده از قاعدهٔ توانِ یک توان، $(3^2)^3=3^6$ است. بنابراین صورت برابر $3^6+3^6=2\times3^6$ و مخرج برابر $3^2\times3^3=3^5$ می‌شود. در نتیجه، $\dfrac{2\times3^6}{3^5}=2\times3=6$ (صفحه‌های ۱۰۳–۱۰۷). پاسخ: گزینهٔ 4

در $A=(-3)^4$، منفی جزئی از پایه است و چون نما زوج است، $A=81$. اما در $B=-3^4$، ابتدا توان محاسبه و سپس علامت منفی اعمال می‌شود؛ پس $B=-81$. بنابراین $A>B$ و $A+B=81-81=0$ است (صفحه‌های ۱۰۳–۱۰۵ و ۱۰۸–۱۰۹). پاسخ: گزینهٔ 1

در $40\,\mathrm{min}$ نخست، دو نوبت دوبرابرشدن رخ می‌دهد و تعداد باکتری‌ها به $3\times2^2=12$ می‌رسد. با برداشتن نیمی از آن‌ها، $6$ باکتری باقی می‌ماند. در $40\,\mathrm{min}$ بعدی نیز دو نوبت دوبرابرشدن داریم؛ بنابراین تعداد نهایی $6\times2^2=24$ است. این محاسبه بر الگوی تکثیر بیان‌شده در متن تکیه دارد (صفحه‌های ۱۰۸–۱۰۹). پاسخ: گزینهٔ 3

چون $36<45<49$، داریم $6<\sqrt{45}<7$؛ پس $-7<-\sqrt{45}<-6$. همچنین از $16<20<25$ نتیجه می‌شود $4<\sqrt{20}<5$. بنابراین عددهای صحیح مجاز از $-6$ تا $4$ هستند. تعداد آن‌ها برابر $4-(-6)+1=11$ است. تعیین جای تقریبی رادیکال‌ها با مقایسهٔ مربع‌ها و نمایش عددهای منفی روی محور انجام می‌شود (صفحه‌های ۱۱۰–۱۱۳ و ۱۱۷–۱۱۸). پاسخ: گزینهٔ 2

داده‌ها نشان می‌دهند $57.0025<58<58.5225$. چون عددهای مورد مقایسه مثبت‌اند، نتیجه می‌شود $7.55<\sqrt{58}<7.65$. تمام عددهای داخل این بازه، هنگام گرد کردن به نزدیک‌ترین یک‌دهم، به $7.6$ تبدیل می‌شوند. روش مقایسهٔ مربع‌ها برای تقریب جذر در درس ارائه شده است (صفحه‌های ۱۱۰–۱۱۲). پاسخ: گزینهٔ 1

با استفاده از خواص جذر حاصل‌ضرب و حاصل‌تقسیم، $\sqrt{\dfrac{49\times36}{9}}=\dfrac{7\times6}{3}=14$. همچنین $\sqrt{16}=4$ است. بنابراین مقدار عبارت برابر $14-4=10$ می‌شود (صفحه‌های ۱۱۷–۱۱۸). پاسخ: گزینهٔ 4

با نوشتن $8=2^3$ و $4=2^2$، عبارت زیر رادیکال به شکل $\dfrac{2^{3n}\times2^4}{2^{2n}}=2^{n+4}$ درمی‌آید؛ در این مرحله از قواعد توانِ یک توان و ضرب و تقسیم توان‌های هم‌پایه استفاده شده است (صفحه‌های ۱۰۲–۱۰۴ و ۱۰۶–۱۰۷). از طرفی، مربع جذر یک عدد نامنفی برابر همان عدد است؛ پس با مربع کردن دو طرف داریم $2^{n+4}=32^2=(2^5)^2=2^{10}$ (صفحه‌های ۱۰۸–۱۰۹). بنابراین $n+4=10$ و $n=6$. پاسخ: گزینهٔ 3

برای نمایش طول رادیکالی، فاصلهٔ نقطهٔ برخورد کمان تا مرکز برابر شعاع است (صفحهٔ ۱۱۴). چون $4<5<9$، داریم $2<\sqrt{5}<3$. مختصات نقطهٔ موردنظر $-3+\sqrt{5}$ است؛ بنابراین با افزودن $-3$ به طرف‌های نامساوی، به $-1<-3+\sqrt{5}<0$ می‌رسیم. پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق قواعد توان، در توانِ توان، توان‌ها ضرب می‌شوند و در ضرب توان‌های هم‌پایه، توان‌ها جمع می‌شوند (صفحه‌های ۱۰۲ تا ۱۰۴). داریم $\left[(-2)^3\right]^n=(-2)^{3n}$ و $4^2=2^4$. سمت راست مثبت است؛ پس $n$ باید زوج باشد. در این حالت، تساوی به $2^{3n+4}=2^{16}$ تبدیل می‌شود؛ بنابراین $3n+4=16$ و $n=4$. این مقدار زوج است و تساوی اولیه را برقرار می‌کند. پاسخ: گزینهٔ ۴

با استفاده از خاصیت جذر حاصل‌ضرب داریم $\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=6\sqrt{5}$ و $\sqrt{80}=\sqrt{16\times5}=4\sqrt{5}$؛ پس مجموع برابر $10\sqrt{5}$ است (صفحهٔ ۱۱۵). از $2.23^2<5<2.24^2$ نتیجه می‌شود $2.23<\sqrt{5}<2.24$؛ بنابراین $22.3<10\sqrt{5}<22.4$ (صفحه‌های ۱۱۱ و ۱۱۲). تمام این بازه پایین‌تر از $22.5$ قرار دارد؛ پس نزدیک‌ترین عدد طبیعی به عبارت، $22$ است. یافتن نزدیک‌ترین عدد طبیعی به عدد رادیکالی نیز در تمرین‌های صفحهٔ ۱۱۷ مطرح شده است. پاسخ: گزینهٔ ۱

با استفاده از قواعد توان و علامت توان‌های پایهٔ منفی، کسر $\dfrac{4(-2)^n}{2^n}$ برای $n$ زوج برابر $4$ و برای $n$ فرد برابر $-4$ است (صفحه‌های ۱۰۳، ۱۰۴ و ۱۰۸).
اگر $n$ زوج باشد، شرط به $0<4+\sqrt{3n+1}<9$ تبدیل می‌شود. کران پایین خودبه‌خود برقرار است و کران بالا می‌دهد $\sqrt{3n+1}<5$؛ پس $3n+1<25$ و $n<8$. مقدارهای زوجِ مثبتِ مجاز $2،4،6$ هستند؛ یعنی سه مقدار.
اگر $n$ فرد باشد، از $0<-4+\sqrt{3n+1}<9$ به $4<\sqrt{3n+1}<13$ می‌رسیم. چون همهٔ طرف‌ها مثبت‌اند، مقایسهٔ مربع‌ها می‌دهد $16<3n+1<169$؛ بنابراین $5<n<56$ (صفحه‌های ۱۱۲ و ۱۱۳). مقدارهای فردِ مجاز از $7$ تا $55$ هستند و تعدادشان $\dfrac{55-7}{2}+1=25$ است. در نتیجه، تعداد کل برابر $3+25=28$ می‌شود. پاسخ: گزینهٔ ۳