نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب

عدد صحیح منفی را می‌توان به صورت کسری با مخرج یک نوشت؛ برای نمونه، $-7=\frac{-7}{1}$، پس گویاست. از طرف دیگر، عدد منفی در مجموعهٔ عددهای طبیعی قرار نمی‌گیرد. گزارهٔ نخست به دلیل گویا بودن عددهای صحیح نادرست است؛ صفر نیز نمایش $\frac{0}{1}$ دارد و کسرهایی مانند $\frac{6}{2}=3$ صحیح‌اند. بنابراین تنها گزارهٔ دوم درست است. (صفحه‌های ۵ و ۹) پاسخ: گزینهٔ ۲

مختصات آغازین $-\frac{7}{6}$ است. حرکت نخست مختصات را $\frac{5}{4}$ افزایش و حرکت دوم آن را $\frac{2}{3}$ کاهش می‌دهد. بنابراین مختصات نهایی برابر است با $-\frac{7}{6}+\frac{5}{4}-\frac{2}{3}=\frac{-14+15-8}{12}=-\frac{7}{12}$. (صفحه‌های ۱۰ و ۱۱) پاسخ: گزینهٔ ۴

اگر $a$ مرکب باشد، می‌توان نوشت $a=bc$ که در آن $b>1$ و $c>1$ است. هر مضرب طبیعی مثبتِ آن به شکل $ka=b(kc)$ نوشته می‌شود؛ بنابراین مرکب است. در مقابل، اگر $a$ اول باشد، مضرب نخست آن، یعنی خودش، اول است. عدد $1$ نیز مضرب‌هایی مانند $2$ دارد که مرکب نیستند. پس دقیقاً عددهای مرکب این ویژگی را دارند و زوج بودن شرط لازم نیست. (صفحهٔ ۲۱–۲۲) پاسخ: گزینهٔ 2

در جفت نخست، $14=2\times7$ و $35=5\times7$ عامل مشترکِ $7$ دارند. در جفت دوم، $21=3\times7$ و $33=3\times11$ عامل مشترکِ $3$ دارند. در جفت سوم، $25=5^2$ و $40=2^3\times5$ عامل مشترکِ $5$ دارند. اما $16=2^4$ و $27=3^3$ هیچ عامل اول مشترکی ندارند؛ پس ب.م.م آن‌ها $1$ است. (صفحهٔ ۲۰–۲۲) پاسخ: گزینهٔ 4

برای منتظم بودن یک چندضلعی، باید هم ضلع‌ها با یکدیگر برابر باشند و هم زاویه‌ها اندازهٔ یکسانی داشته باشند. هیچ‌یک از این دو شرط به‌تنهایی کافی نیست و داشتن مرکز تقارن نیز جایگزین آنها نمی‌شود. بنابراین فقط توصیفی که هر دو شرط را هم‌زمان بیان می‌کند، کافی است. (صفحه‌های ۳۰ و ۳۱)
پاسخ: گزینهٔ 2

در میان چندضلعی‌های منتظم، شکل‌هایی که تعداد ضلع فرد دارند، مرکز تقارن ندارند. پس از مجموعهٔ داده‌شده، پنج‌ضلعی، هفت‌ضلعی و نه‌ضلعی انتخاب می‌شوند. تعداد محورهای تقارن یک چندضلعی منتظم برابر تعداد ضلع‌های آن است؛ بنابراین مجموع موردنظر برابر است با $5+7+9=21$. (صفحه‌های ۳۱ و ۳۲)
پاسخ: گزینهٔ 4

در جمله‌های متشابه، قسمت حرفی و توان هر حرف یکسان است؛ ضریب‌ها می‌توانند متفاوت باشند. با استفاده از جابه‌جایی عامل‌های ضرب، داریم $7y^2x=7xy^2$؛ بنابراین قسمت حرفی هر دو جملهٔ گزینهٔ اول، $xy^2$ است. در جفت‌های دیگر، دست‌کم یک حرف یا توان آن متفاوت است. (صفحه‌های ۵۳ و ۵۴) پاسخ: گزینهٔ ۱

برای حفظ تعادل، می‌توان هر دو طرف معادله را در یک عدد ناصفر ضرب کرد. با ضرب هر دو طرف در $3$ داریم: $3(4x+7)=3\times19$، پس $12x+21=57$. این تبدیل پاسخ معادله را تغییر نمی‌دهد. برای بررسی نیز پاسخ معادلهٔ اولیه $x=3$ است که فقط در تساوی گزینهٔ سوم برقرار می‌شود. (صفحه‌های ۵۱، ۶۴ و ۶۵) پاسخ: گزینهٔ ۳

حرکت اول از نقطهٔ $P$ آغاز می‌شود و حرکت دوم در نقطهٔ $R$ پایان می‌یابد. در روش سر به ته، برایند از ابتدای نخستین بردار به انتهای دومین بردار رسم می‌شود؛ بنابراین بردار مستقیم از $P$ به $R$ حاصل جمع دو بردار است. (صفحهٔ ۷۰–۷۱) پاسخ: گزینهٔ ۲

در رابطهٔ $\vec{b}=-\frac{2}{3}\vec{a}$، علامت منفی نشان می‌دهد که جهت دو بردار مخالف است. همچنین اندازهٔ بردار جدید برابر با $\frac{2}{3}$ اندازهٔ بردار اولیه است. راستای بردار تغییر نمی‌کند. (صفحهٔ ۷۴–۷۵) پاسخ: گزینهٔ ۴

طبق رابطهٔ فیثاغورس، مجموع مساحت مربع‌های روی دو ضلع زاویهٔ قائمه برابر مساحت مربع روی وتر است (صفحهٔ ۸۵). اگر مساحت مربع کوچک‌تر را $s$ بگیریم، مساحت مربع دیگر $s+14$ است؛ بنابراین $s+(s+14)=50$ و در نتیجه $2s=36$ و $s=18$. طول ضلع کوچک‌تر برابر $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ سانتی‌متر است. پاسخ: گزینهٔ ۲

از قائم بودن زاویهٔ $ABC$ داریم $AC^2=AB^2+BC^2=2^2+3^2=13$. در مثلث $ACD$ نیز زاویهٔ $ACD$ قائمه است؛ پس $AD^2=AC^2+CD^2=13+(\sqrt{3})^2=16$. چون طول مثبت است، $AD=4$ سانتی‌متر خواهد بود. در هر دو مرحله از رابطهٔ فیثاغورس استفاده شده است (صفحه‌های ۸۵ و ۸۶). پاسخ: گزینهٔ ۴

اگر نمای مشترک $m$ باشد، قانون ضرب توان‌های با نماهای برابر به شکل $a^m\times b^m=(ab)^m$ است. در ضرب توان‌های هم‌پایه، نماها جمع می‌شوند؛ در تقسیم توان‌های هم‌پایه، نماها از هم کم می‌شوند؛ و در تقسیم توان‌های با نماهای برابر، نمای مشترک حفظ می‌شود (صفحه‌های ۱۰۲–۱۰۳ و ۱۰۶–۱۰۸). پاسخ: گزینهٔ 2

با استفاده از قاعدهٔ توانِ یک توان، $(3^2)^3=3^6$ است. بنابراین صورت برابر $3^6+3^6=2\times3^6$ و مخرج برابر $3^2\times3^3=3^5$ می‌شود. در نتیجه، $\dfrac{2\times3^6}{3^5}=2\times3=6$ (صفحه‌های ۱۰۳–۱۰۷). پاسخ: گزینهٔ 4

برای مشاهدهٔ روند تغییر یک کمیت در طول زمان، نمودار خط شکسته مناسب است. برای مقایسهٔ سهم چند بخش از یک کل نیز نمودار دایره‌ای به کار می‌رود. بنابراین برای گزارش تغییرات مصرف، نمودار خط شکسته و برای گزارش سهم بخش‌ها، نمودار دایره‌ای مناسب است. (صفحهٔ ۱۲۰) پاسخ: گزینهٔ 1

بیشترین دادهٔ اصلاح‌شده برابر است با $135+15=150$. بنابراین دامنهٔ جدید $150-60=90$ و طول هر یک از دسته‌های هم‌اندازه برابر با $\frac{90}{6}=15$ خواهد بود. تغییر نکردن کمترین داده و تعداد دسته‌ها در این محاسبه مهم است. (صفحهٔ ۱۲۱) پاسخ: گزینهٔ 3

اگر فاصلهٔ خط از مرکز کمتر از شعاع باشد، خط دو نقطهٔ مشترک با دایره دارد؛ اگر برابر شعاع باشد، یک نقطهٔ مشترک دارد و اگر بیشتر باشد، نقطهٔ مشترکی ندارد. بنابراین، خط‌های با فاصله‌های $3$ و $0$ سانتی‌متر قاطع‌اند، خط با فاصلهٔ $5$ سانتی‌متر مماس است و خط با فاصلهٔ $7$ سانتی‌متر دایره را قطع نمی‌کند. چون محل‌های برخورد خط‌های مختلف روی دایره متفاوت‌اند، تعداد کل نقطه‌ها برابر است با $2+2+1+0=5$ (صفحهٔ ۱۳۸–۱۳۹). پاسخ: گزینهٔ ۲

عمود واردشده از مرکز دایره بر وتر، آن را نصف می‌کند؛ پس $AH=HB$ (صفحهٔ ۱۴۰). بنابراین $3x-1=x+7$ و در نتیجه $2x=8$ و $x=4$. اکنون $AH=3(4)-1=11\,\mathrm{cm}$ و طول کل وتر برابر است با $AB=2\times11=22\,\mathrm{cm}$. پاسخ: گزینهٔ ۴